基于Kalman濾波與滑模控制的倒立擺控制器設計

韓治國， 許 錦， 陳能祥

（1.西北工業(yè)大學航天學院，西安710072；2.深圳前海格致科技有限公司，廣東深圳518052）

0 引 言

倒立擺實驗系統(tǒng)具有結構簡單、成本低等諸多優(yōu)點，是進行經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗教學與科研平臺［1-2］。倒立擺實驗系統(tǒng)具有非線性、強耦合等工程中十分普遍的特性，因模型本身具有右半平面極點，是一個天然不穩(wěn)定系統(tǒng)，控制難度較大。在控制領域中，為了解決許多典型問題而提出的控制策略均可通過倒立擺實驗系統(tǒng)進行驗證，并且其控制效果可以通過擺桿和小車的穩(wěn)定性很直觀地體現(xiàn)出來。因此，對該實驗系統(tǒng)的深入研究具有重要的理論及實際意義［3］。

針對倒立擺系統(tǒng)，目前已有較多成熟控制方法實現(xiàn)了對倒立擺的良好控制，如PD控制［4］、線性二次型最優(yōu)控制［5-7］、輸出反饋控制［8］等，這些方法均在實驗條件下得到了較好的實驗效果。但是，這些方法在進行控制器設計時均假設系統(tǒng)狀態(tài)全部可測，或通過微分環(huán)節(jié)、高通濾波器獲取系統(tǒng)不可測狀態(tài)信息，這些方法要么不符合工程實際，要么會對噪聲進行放大，影響控制效果。針對該問題，文獻［7］中通過Kalman濾波降低噪聲對控制器設計帶來的影響。

本文在上述研究的基礎上，根據(jù)建立的直線一級倒立擺數(shù)學模型，基于連續(xù)時間Kalman濾波方程，實現(xiàn)對系統(tǒng)全部狀態(tài)的有效估計，并降低噪聲對系統(tǒng)狀態(tài)的影響。在此基礎上，基于滑模變結構控制理論進行了控制器設計。利用Matlab工具進行了仿真分析，并利用倒立擺實驗裝置成功驗證了本文設計的控制器。

1 直線一級倒立擺模型建立

直線一級倒立擺模型如圖1所示，在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質桿組成的系統(tǒng)。圖中，l為擺桿轉動軸心到擺桿質心的長度；F為加在小車上的力；x為小車位置；φ為擺桿與垂直向上方向的夾角。

圖1 直線一級倒立擺模型

本文采用深圳前海格致科技有限公司（原深圳市元創(chuàng)興科技有限公司）的倒立擺實驗裝置進行實驗驗證，該倒立擺的控制模式為采用電動機加速度作為控制輸入。因此，根據(jù)公開文獻，可建立如下式所示的以電動機加速度為輸入，小車位置、速度、擺桿角度和角速度為系統(tǒng)狀態(tài)、小車位置和擺桿角度為輸出的狀態(tài)空間模型：

式中：

u（t）為電動機加速度，也即本文的設計變量，m/s2；g＝9.81 m/s2為重力加速度，l＝0.152 5 m。

注釋1 本文未給出詳細建模過程，詳細過程讀者可查閱文獻［1-7］以及相關公開文獻。

式（1）所示系統(tǒng)模型是一個確定性的線性方程。但是，現(xiàn)實世界總是存在各種不確定性，如采集小車位置以及擺桿角度的編碼器，總是存在測量噪聲等。因此，需要在上述模型中考慮噪聲影響，因此，完整的數(shù)學模型如下式所示：

式中：G＝I4×4；w（t）、v（t）分別為過程噪聲和測量噪聲，并且滿足：

式中：q（t）是非負定對稱陣；r（t）是正定對稱陣。

從式（1）或（2）可以看出，該實驗系統(tǒng)能夠采集的信息為小車位置和擺桿角度，對于小車速度與擺桿角速度是不可測量的。因此，在進行控制器設計時，能夠利用的測量信息只有小車位置和擺桿角度。

2 連續(xù)時間Kalman濾波方程

由式（2）可知，實際系統(tǒng)模型包含過程噪聲和測量噪聲，因此，為了降低噪聲對系統(tǒng)狀態(tài)的影響，采用Kalman濾波理論對系統(tǒng)模型式（2）進行濾波。對于倒立擺系統(tǒng)，基于現(xiàn)代控制理論進行控制器設計時，需要利用系統(tǒng)的所有狀態(tài)信息進行控制律設計。但是，對于本文采用的倒立擺實驗裝置，只能測量小車的位移與擺桿的角度，采用現(xiàn)代控制理論進行控制器設計存在困難。因此，針對上述問題，本文采用連續(xù)時間系統(tǒng)Kalman濾波方法（系統(tǒng)模型為連續(xù)模型）降低噪聲對系統(tǒng)狀態(tài)的影響，同時獲取系統(tǒng)的全部狀態(tài)信息，方便控制器設計。連續(xù)時間Kalman濾波算法如下［9］：

式中：K（t）為Kalman濾波增益矩陣；P（t）為協(xié)方差矩陣。連續(xù)時間Kalman濾波狀態(tài)估計框圖如圖2所示［9］。

圖2 連續(xù)時間Kalman濾波狀態(tài)估計框圖

根據(jù)連續(xù)Kalman濾波原理及狀態(tài)估計框圖可以看出，通過Kalman濾波不僅可以降低噪聲對系統(tǒng)狀態(tài)的影響，而且可以對系統(tǒng)狀態(tài)進行估計。因此，通過Kalman濾波為后續(xù)基于現(xiàn)代控制理論進行控制器設計提供了便利。

3 滑模控制器設計

3.1 控制器設計

滑模變結構控制的運動過程可由兩個階段組成：第1階段是趨近階段，它完全位于滑模面之外，或者有限次地穿過滑模面；第2階段是滑動模態(tài)階段，完全位于滑模面上的滑動模態(tài)區(qū)［10-12］。因此，可將滑模變結構控制分為切換控制與等效控制：即

本文針對模型式（5），采用線性滑模面［13-14］：

為使系統(tǒng)能快速接近切換面，并且改善其抖振現(xiàn)象，采用如下新型趨近律［15-16］：

式中，

式中：arsh為反雙曲正弦函數(shù)；0＜δ＜1，η＞0，ε＞0；δ為fal（s，η，δ）在原點附近正負對稱線性段的區(qū)間長度，并且fal（s，η，δ）為非連續(xù)函數(shù)。

針對本文設計的滑模面（7）與趨近律（8），設計的控制律如下式所示：

3.2 穩(wěn)定性證明

證明 選擇如下的Lyapunov函數(shù)：

求導可得：

將設計的控制律式（10）～（12）代入式（14），可得：

因此，本文設計的控制律漸進穩(wěn)定。

4 仿真分析

4.1 計算機仿真

本文針對系統(tǒng)模型式（2），采用本文設計的控制律式（10）進行仿真驗證。滑模面參數(shù)：δ＝0.02，k＝6，η＝0.5，ε＝0.01。設定小車跟蹤位置x＝0 m，擺桿角度φ＝0°。噪聲方差：

根據(jù)上述仿真參數(shù)，仿真結果如圖3～7所示。

圖3 小車位移隨時間的變化曲線

圖4 小車速度隨時間的變化曲線

圖3 ～6（圖中，紅色曲線為實際值，綠色曲線為理論值，藍色曲線為濾波值）分別為小車位移、速度、擺桿角度、角速度曲線。從圖中可以看出，在系統(tǒng)含有噪聲情況下，通過Kalman濾波，能夠獲得對系統(tǒng)狀態(tài)的高精度估計（藍色曲線幾乎與綠色曲線重合，只是小車位移略有偏差，但是偏差在5 mm范圍內(nèi)）。同時，能夠降低噪聲對系統(tǒng)狀態(tài)的影響（見圖5和圖6中藍色曲線低于紅色曲線）。

圖5 擺桿角度隨時間的變化曲線

圖6 擺桿角速度隨時間的變化曲線

圖7 為系統(tǒng)控制量曲線，可以看出，在系統(tǒng)穩(wěn)定過程中，系統(tǒng)控制量均很小，最大約2.3 m/s2。另外，從圖中可以看出，3 s后，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，但是受噪聲影響，系統(tǒng)控制量在微小范圍內(nèi)存在波動現(xiàn)象。

圖8 為系統(tǒng)理論控制量變化曲線。對比圖7和圖8可以看出，采用Kalman濾波估計的系統(tǒng)狀態(tài)進行控制器設計所得結果與采用理論狀態(tài)進行控制器設計所得結果幾乎完全相同，只是在系統(tǒng)穩(wěn)定后，系統(tǒng)噪聲依然對控制性能具有一定的影響。

圖7 控制量隨時間的變化曲線

圖8 系統(tǒng)理論控制量變化曲線

圖9 采用微分方式獲取系統(tǒng)狀態(tài)仿真結果

作為對比，本文給出部分文獻采用du/dt方式獲取小車速度與擺桿角速度后進行控制實驗，仿真結果如圖8所示。從圖中可以看出，利用微分方式獲取的系統(tǒng)狀態(tài)，采用同樣的控制方法，無法實現(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)的有效控制。

4.2 實驗驗證

根據(jù)本文設計的控制器，采用倒立擺實驗裝置進一步驗證本文所設計的控制器的有效性，實驗控制程序界面如圖10所示（目前已實現(xiàn)的算法有10余種），實驗結果如圖11～13所示（設定小車跟蹤位置為0.1 m，擺桿跟蹤角度為0°）。圖11為實驗效果圖，可以看出，利用本文設計的控制器，倒立擺擺桿穩(wěn)定性很好。圖12為倒立擺實驗小車位移曲線，可以看出，在實際實驗時，小車不可能完全靜止，會在較小的范圍（0.02 m）內(nèi)來回波動。圖13為倒立擺實驗擺桿角度曲線，可以看出，擺桿控制精度非常高。

圖10 實驗控制程序界面

圖11 運行中的倒立擺實驗系統(tǒng)

圖12 倒立擺實驗小車位移曲線

圖13 倒立擺實驗擺桿角度曲線

注釋2 因本文沒有給出倒立擺起擺過程，實驗時用手旋轉倒立擺至豎直狀態(tài)，故實驗開始時，輸出曲線不是期望值，采集幀數(shù)約為1 000次后，系統(tǒng)進行穩(wěn)定狀態(tài)。

5 結 語

本文針對倒立擺控制器設計中存在的測量噪聲與系統(tǒng)狀態(tài)不完全可測的問題，基于Kalman濾波與滑模變結構控制理論進行了控制器設計。基于Kalman濾波理論，降低噪聲對系統(tǒng)狀態(tài)的影響，同時能夠獲取系統(tǒng)所有狀態(tài)信息。根據(jù)獲取的系統(tǒng)全部狀態(tài)信息，基于滑模變結構控制理論進行了控制器設計。通過理論分析、計算機仿真驗證與實驗驗證，驗證了本文設計的控制器的有效性，解決了工程應用中噪聲的影響以及系統(tǒng)狀態(tài)不完全可測的應用難題。