簡諧振動圓頻率教學引入方法探討

王金華

（天津職業技術師范大學理學院，天津300222）

圓（角）頻率ω是大學物理中非常重要的概念，一般在講授簡諧振動這一知識點時引入。由于理工科公共基礎課程的課時關系，教師無法對其深入講解，在教學過程中，學生對圓頻率的理解和接受存在許多困惑。同時，理工科專業《大學物理》教科書在引入圓頻率時，大部分采用“定義”方式，即“定義”或“令ω=（以彈簧振子簡諧振動為例）[1-9]”，直接稱其為圓頻率；同時部分參考書依據圓頻率與頻率間關系，將圓頻率表示為2πs內完成振動的次數[10-11]。有些物理教學工作者對此提出異議，認為2π沒有“s”的涵義[12]，因此，學生容易對圓頻率這一概念產生不解和困惑。本文對理工科專業大學物理授課過程中圓（角）頻率ω的引入方法進行探討，提出基于學生“形象化”思維習慣，在講授旋轉矢量分析法時引入圓（角）頻率ω概念，可以減少學生理解圓（角）頻率ω時的困惑。

1 形象化理解圓頻率ω的分析討論

頻率是單位時間內完成（事件）的次數。由于中學物理中講授諸多物理原理和概念時，大多從日常生活中的現象入手，所以學生在理解物理概念和原理時有“形象化”思維慣性[13]。因此，學生在面對圓頻率時，易簡單、機械、形象化地將“圓頻率”與“頻率”建立直接聯系，在腦海中尋找相關物理或幾何圖像。“圓頻率”概念在“頻率”前面冠以“圓”字，但是以彈簧振子為模型的振動方程講授過程中不存在“圓”的信息或圖像，此處引入“圓頻率”概念，對于學生常按幾何物體、物理圖像、物理現象為知識基礎和思維習慣的學習行為來講，理解圓頻率這一概念時就會產生諸如“為什么稱之為圓頻率，它與頻率是否是同一概念，與圓有什么關系”等困惑。一般地，理工科常見參考書以講授彈簧振子簡諧振動為例，彈簧振子的振動如圖1所示。

圖1 彈簧振子的振動

一輕彈簧（質量忽略不計）勁度系數為k，左端固定，右端連一質量為m的物體，放在光滑水平面上，物體所受阻力忽略不計。物體位于O處時，彈簧具有自然長度。根據胡克定律與牛頓第二定律，有

求解方程（2），得到簡諧運動方程

運動方程（3）為周期函數，其函數值隨自變量變化周期性循環出現。因此，從x=A cosθ（t）的周期性來看，“頻率”也與其函數值的周期性變化相關。

簡諧運動方程x=A cosθ（t）中相位（相角）是極其重要的量，其不僅是該周期函數的自變量，反映周期函數在同一函數值下的不同時間或時間差，還包含了相位（相角）隨時間變化的快慢。進一步求解，得到

與后續講授的旋轉矢量分析法相結合，旋轉矢量分析法示意圖如圖2所示。

圖2 旋轉矢量分析法示意圖

以上是基于學生形象化的思維習慣，結合大學物理旋轉矢量分析法知識點，對彈簧振子簡諧振動的動力學方程、運動方程、相位、相關函數關系的周期、頻率、圓（角）頻率等概念引入過程的重新解讀，有助于理工科專業學生在學習大學物理時基于“形象化”思維習慣，進一步理解和掌握相關概念。但是，這種有益的理解方式并非真正的理解，而是為減少學習過程中暫時出現的困惑，畢竟對物理量、物理概念的理解和掌握要從物理學的發展歷史、實驗背景、數學處理方法等角度綜合把握。

2 形象化思維習慣的圓頻率ω授課引入方法

上述關于形象化理解“圓頻率”的分析思路是基于熟練掌握圓頻率所涉及微分方程、余弦函數周期、簡諧振動振動特點、旋轉矢量分析法等知識的前提下形成的，如把旋轉矢量分析法與求解彈簧振子動力學微分方程合并講解，進行“前后呼應”分析。此處的“前后呼應”是指利用旋轉矢量法的幾何圖像，從“形象化”角度幫助區分或理解頻率和圓頻率，并非利用旋轉矢量法定義圓頻率。在大學物理實際教學過程中，由于授課順序、學時的關系，無法按照上述思路對這一系列知識點進行整體講授，因此參考書或課堂授課過程常出現直接“定義”或“令（以彈簧振子簡諧振動為例）”，并稱其為圓頻率。該模式下講授彈簧振子簡諧振動并涉及圓頻率時，由于受授課順序、課時限制等原因影響，不能做到“及時呼應”，或前后呼應時間間隔太長（因課時關系，講授彈簧振子簡諧振動動力學方程、運動學方程、周期、頻率等與旋轉矢量分析法這一知識點存在課次間隔）。對于“圓頻率”這一直接定義的物理量，學生容易對定義為圓頻率、圓頻率的本質等產生一系列疑惑。

基于學生的形象化思維習慣，以及授課順序、課時限制等矛盾，建議可在授課過程中采用如下兩種方案引入圓（角）頻率ω：

3 結語

在物理學公式、原理、概念的學習過程中，學生常基于形象化思維習慣理解相關概念。簡諧振動中圓頻率概念，因沒有“圓”形象，學生易對“頻率”和“圓頻率”概念產生困惑。本文提出旨在減少學生理解困惑的引入方法或講授圓頻率的方法，考慮到授課順序及學生形象化思維習慣，在求得x=A cosθ（t）運動方程后，不直接定義為圓頻率；待講授至旋轉矢量分析法時，結合其“圓”形象特征及振幅矢量的旋轉角速率，給出圓頻率符號、概念數量關系等。利用這一方法講授圓頻率概念，有助于學生在“圓”形象基礎上理解圓頻率，避免理解頻率、圓頻率時產生混淆和困惑，達到提高課堂授課效果的目的。