第二類曲面積分的計算方法與技巧
——基于天津市大學數學競賽試題的分析

郭閣陽

（天津職業技術師范大學理學院，天津300222）

第二類曲面積分是高等數學微積分教學中的一個重點，也是一個難點，其物理意義抽象難以理解，計算方法多變，計算技巧多樣，相關數學知識面涉及較廣，對大多數學生來說，掌握起來有一定難度。此外，由于各學校學生基礎不同，教學要求也不同，一些學校只學習了第二類曲面積分的一些最基本的計算方法[1-3]，如直接積分法、Gauss公式、兩類曲面積分之間關系轉換法，導致學生無法應對一些計算復雜、計算量大、需要轉化技巧的積分題目，導致恐懼心理。本文以天津市大學數學競賽試題為例，結合十多年競賽輔導經驗，通過對競賽試題的深入分析，在第二類曲面積分常規計算方法的基礎上，給出一些重要的計算技巧。這些計算方法和重要技巧的結合使用，使得第二類曲面積分的被積函數便于簡化，實現積分簡單計算。同時，對每種方法和技巧的解題思路和適用條件做了充分說明，以幫助學生加深理解，加強對基本解題方法與技巧的掌握。

1 第二類曲面積分的計算方法

1.1 直接積分法

第二類曲面積分的直接積分法是指將曲面積分化為二重積分進行計算，這是計算第二類曲面積分的最基本方法[4-6]。基本原則的通俗表達就是“一求”“二代”“三定域”（有時也被稱為“一投”“二代”“三定號”）。以計算積分為例。“一求”是指根據曲面所給定的側求出“±”號，特別有前側、右側、上側為“+”；有后側、下側、左側為“-”[7]。“二代”是指將曲面方程代入被積函數，即將曲面方程z=z（x，y）代入被積函數R（x，y，z）中替換掉z，得R（x，y，z（x，y））。“三定域”是指將曲面向指定坐標面投影，得到投影區域Dxy，進而得到

關于直接積分法的兩點說明：

（2）注意多值問題的處理。多值問題是指曲面向某坐標面投影時，曲面是2個曲面，如單位球面在第一、五卦限的部分曲面，當向xoy平面作投影時，曲面就分為第一卦限部分和第五卦限部分對于多值問題，若采用直接積分法硬算，計算量很大，且有很多重復計算，所以一般可采用奇偶對稱性技巧簡化計算。

1.2 Gauss公式

關于使用Gauss公式的幾點說明：

（1）方向性問題。外側為正，內側為負。

（2）是否封閉問題。若不封閉，則需要補面，使之封閉。

（3）有無奇點問題。若Ω內含有使得P、Q、R一階導不存在的點，需要補面摳除該點。

（4）Gauss公式的適用性問題。Gauss公式并不適用于所有的第二類曲面積分，一般要求積分域規則，且很簡單，否則不能使用Gauss公式。

1.3 類型轉換法

化第二類曲面積分為第一類曲面積分[8-9]

關于類型轉化法的兩點說明：

（1）該方法非常適用于被積函數P、Q、R中含有抽象函數的題目。

（2）若對于第二類曲面積分的奇偶對稱性和輪換對稱性不了解的情況下，使用類型轉化法，將第二類曲面積分化為第一類曲面積分，進而使用一類曲面積分的奇偶對稱性和輪換對稱性技巧，可簡化計算。

1.4 投影轉換法

投影轉換是指由dydz=cosads，dydz=cosβds，dydz=cosγds，得

從而

關于投影轉化法的兩點說明：

（1）對于被積函數P、Q、R都不恒為0的情況下，若用直接積分法，需算3個積分，過程較復雜，可使用投影轉換法，只計算1個積分，便于計算。

（2）對被積函數P、Q、R中含有抽象函數的問題，使用該方法也可行。

1.5 參數方程法

則有

雅克比行列式為r2sinφ。

2 第二類曲面積分的計算技巧

2.1 代入性

第二類曲面積分的代入性是指積分曲面是由積分變量的等式給出的，可將曲面方程代入到被積函數中，以簡化被積函數。

2.2 垂直性

2.3 奇偶對稱性

第二類曲面積分的奇偶對稱性是指若曲面∑關于xoy面對稱，當R（x，y，-z）=-R（x，y，z）時，

2.4 輪換對稱性

第二類曲面積分的輪換對稱性[10]是指：

（1）被積函數滿足輪換對稱性，即被積表達式中x，y，z的按輪換次序：x→y→z→x代換后，被積表達式不變。

（2）積分曲面及其指定側也具有輪換對稱性，這是指曲面在各坐標面上的投影區域相同，且所給的符號也相同。

這表明若被積表達式的變量互換位置，被積表達式不變，且區域的邊界方程中的變量互換位置，區域也不變，則互換后積分值不變。

3 典型例題分析

本文通過對2道典型的天津市大學生數學競賽試題的分析，結合前面給出的計算方法和重要技巧，給出試題的各種解法。

例1（2016年天津數學競賽試題）計算，其中曲面1被平面z=0，x-y+z=2所截出部分的外側。

解法 先利用可代入性將x2+y2=1代入積分，化簡積分得

由Gauss公式得

其中，對積分I1應用Gauss公式計算三重積分得

對積分I2應用垂直性得

直接積分得

對積分I3應用投影轉換法，其中∑2法向量為（1，-1，1），方向余弦為直接積分得

綜上，得

注1Gauss公式法是對第二類曲面積分的最常用方法，但本題需要補一個斜的平面，這是不多見的，隨之產生的計算量也增加了很多，讀者可將本題作為一個典型題目。

注2整個解題過程利用到了第二類曲面積分的可代入性、垂直性、Gauss補面、投影轉換法、二重積分奇偶對稱性技巧。

例2（2015年天津數學競賽試題）計算曲面積分，其中z2=1外側。

分析 一般第二類曲面積分，先考察Gauss公式，從Gauss公式使用的4點注意上看，雖然外側、封閉沒有問題，但有奇點且無法摳除，同時易見第4條，很復雜，不便于計算，故不能直接使用Gauss公式。這時，可考慮用各種技巧化簡積分，進而再用直接積分法。

解法1觀察球面∑：x2+y2+z2=1及被積函數，該二類曲面積分具有輪換對稱性，即

從而

由第二類曲面積分的奇偶對稱性得

下面計算I1，由于第二類曲面積分是多值問題，取可用奇偶對稱性處理，得到積分

進而，利用第二類曲面積分的直接積分法可得

注1該解法需要對第二類曲面積分的奇偶對稱性和輪換對稱性有較深的理解和熟練計算的能力，一般課堂上對該知識點很少介紹和講解，更多見于數學競賽試題或考研試題中。

注2整個解題過程利用到了第二類曲面積分的輪換對稱性、奇偶對稱性、第二類曲面積分的多值問題以及直接積分法。

解法2利用類型轉換法，化第二類曲面積分為第一類曲面積分。曲面∑的法向量為（cosα，cosβ，cosγ）=（x，y，z），進而得

由第一類曲面積分的奇偶對稱性得

由輪換對稱性得

故

進而，利用一類曲面的直接積分法可得

注1該解法充分利用了學生對第一類曲面積分的奇偶對稱性和輪換對稱性較深的理解和熟練的計算，利用類型轉化法轉到第一類曲面積分問題，進而求解。

注2整個解題過程利用到了類型轉化法、第一類曲面積分的奇偶對稱性、第一類曲面積分的輪換對稱性、第一類曲面積分的多值問題，以及一類曲面積分直接積分法。

解法3球面參數方程法，解法2中最后一個積分的計算可以采用球面參數方程法。設球面的參數方程為

則

4 結語

本文通過一題多解，比較了每種解法的計算量和復雜性，可以看出計算方法和技巧選取的重要性。在計算第二類曲面積分時，應根據被積函數和積分曲面的特點，結合本文所給的計算方法和技巧的使用條件，選擇恰當的方法和技巧，降低問題的復雜性，簡化計算。理解第二類曲面積分的計算方法是基礎，掌握第二類曲面積分的計算技巧是關鍵。對于學生來說，認真分析，究其本質，融會貫通，必定能起到事半功倍的效果。