太陽翼驅動機構機電耦合建模及微振動控制穩定性分析

鄭照明月 程 偉

北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191

0 引 言

隨著新一代航天器對能量需求的不斷提高，衛星太陽翼的尺寸越來越大。但由于其阻尼弱、剛度低，對衛星姿態控制系統和太陽翼驅動機構(SADA)的穩定性提出了更高的要求[1-2]。由于步進電機具有定位精度高，無累計誤差，驅動線路簡單等優點[3]，以往SADA采用步進電機作為執行機構。但步進電機固有的脈沖激勵，使SADA驅動太陽翼過程不斷產生微振動，影響衛星穩定度。目前SADA采用永磁同步電機作為驅動裝置，并通過微步驅動方法來驅動太陽翼[4]。永磁同步電機采用三環控制方法，控制參數選取不當易導致太陽翼轉動失穩，同時在軌環境不存在空氣阻力，太陽翼的低頻結構振動難以衰減，并且會通過SADA與航天器本體發生耦合振動，影響有效載荷的成像精度[5]，甚至會導致衛星姿態失穩的故障[6]。因此需分析永磁同步電機SADA驅動柔性太陽翼的動力學模型，確定控制參數的選取方法，為航天器在軌穩定運行提供支撐。

太陽翼驅動系統包括執行機構和柔性太陽翼兩個主要結構部件，其中柔性太陽翼旋轉運動會導致剛體運動和柔性耦合，并且執行機構與柔性太陽翼直接的相互作用使系統具備機電耦合特點，所以對系統的建模和穩定性分析具有一定的復雜性。Iwata等[7]在研究中將太陽翼簡化為剛性體，主要分析了執行機構的控制環節。Zhang等[8]將SADA簡化為剛性連接，研究了柔性太陽翼的振動抑制。張恒浩等[9]給出了一種針對撓性航天器的剛柔耦合動力學模型控制方法。張可墨等[10]在考慮電流環摩擦力矩的基礎上建立了永磁同步電機為驅動源的SADA模型，研究了其驅動剛性負載的微振動問題。上述研究中均簡化了執行機構或負載柔性，不能準確反映兩者的耦合關系。

而在考慮機電耦合特點的建模及穩定性分析中，多以步進電機為驅動源，永磁同步電機驅動柔性太陽翼的分析較少。Zhu等[11]將步進電機SADA與太陽翼考慮成相互耦合的整體系統，給出了步進電機SADA與太陽翼機電一體化耦合模型。Chen等[12]通過簡化和線性化電磁轉矩，建立了步進電機的振動方程，并以兩自由度柔性系統開展了仿真分析。Mariyam[13]根據拉格朗日能量法建立了步進電機SADA與剛性負載運動學和微振動耦合的動力學模型，在壓電測力臺上開展了仿真和實驗。程俊波等[14]以永磁同步電機SADA為對象，建立了驅動柔性負載的控制模型，給出了一種T-S模糊控制與校正網絡相結合的控制方法。

為此，本文建立了一種SADA驅動柔性太陽翼的模型，給出了系統的三環微步驅動方法，并討論了控制參數的穩定條件。

1 SADA驅動柔性太陽翼模型

1.1 使用微步驅動方法的永磁同步電機模型

如圖1所示，使用同步旋轉坐標系(d-q軸)來描述永磁同步電機的數學模型，d軸定義為永磁同步電機永磁體N極的指向，也稱轉子直軸，q軸定義為沿逆時針方向超前d軸90°電角度，也稱轉子交軸。永磁同步電機的定子電壓方程為：

圖1 永磁同步電機坐標系

(1)

磁鏈方程：

(2)

電磁轉矩方程：

(3)

運動方程為：

(4)

式中：uq和ud分別為d軸和q軸的電壓，id和iq為d軸和q軸的電流，Ld和Lq為d軸和q軸電感，R為三相定子電阻，ψf為轉子磁鏈，θ為轉子軸線與A軸夾角，pn為極對數，ψd和ψq分別為d軸和q軸的磁鏈。在運動方程中，b0為粘性阻尼系數。

將定子電流矢量is進行d和q軸分解，電流的d軸和q軸分量分別表示為：

(5)

式中：γ為定子電流矢量與轉子直軸的夾角。將式(5)代入式(3)，可得

(6)

采用id=0的矢量控制策略，定子電流矢量與轉子直軸的夾角為90(，此時，電磁轉矩可表達為：

(7)

式中：極對數pn和永磁體產生的磁鏈ψf均為定值，因此轉矩和q軸電流具有線性關系。因此，可通過控制定子電流矢量與轉子直軸的夾角γ，以實現永磁同步電機的定位和調速。

在初始定位過程中，記錄θ0為轉子的初始位置，給定定子電流矢量與轉子直軸的夾角為90°，定子電流矢量的幅值為定值Is，可給出如下控制信號依次控制電機的定位和按照一定速率ωr勻速轉動：

(8)

采用數字化控制的永磁同步電機，其定子電流矢量產生的磁場是離散的多邊形磁場，定義相鄰離散定子電流矢量的夾角為微步角θm，均勻改變定子電流矢量的時間間隔為dT，則微步角可描述為：

θm=ωdT=pnωrdT

(9)

此時，永磁同步電機的對轉子的驅動可視為類似于步進電機的微步驅動方式，同時隨著均勻改變定子電流矢量的時間間隔越小，即控制頻率越高，控制連續性越好。

將式(8)給出的控制策略代入式(7)，可以得到PMSM微步驅動時的電機轉矩的方程為：

(10)

式中：θ指轉子當前的機械角位置，i表示微步的序號。該方程第一行表明永磁同步電機的轉矩具有使轉子位置回歸初始位置的復位能力，即實現了電機的定位功能。而第二行則說明在給定轉速時，電機轉矩將驅動轉子按給定轉速微步轉動，即實現了調速功能。

微步角的物理含義是，永磁同步電機在定位和驅動時，兩個連續電脈沖信號之間，轉子當前的角位置總位于一個微步角以內，即：

-θm<θ0-θ<θm
-θm<θ0+ipnωrdT-θ<θm

(11)

衛星在軌運行時，SADA大部分時間以較低轉速驅動太陽翼，微步角很小，因此式(10)可線性化為：

(12)

將式(12)代入運動方程式(4)，經整理可得簡化后的微步驅動永磁同步電機的動力學方程為：

(13)

(14)

1.2 SADA驅動柔性太陽翼模型

為了縮減柔性太陽翼有限元模型的自由度，提高控制仿真效率，采用動態子結構方法，將永磁同步電機驅動柔性太陽翼的耦合系統分為2個子結構：子結構1為永磁同步電機，子結構2為柔性太陽翼。如圖2所示，A點為太陽翼與永磁同步電機的連接點。它只有繞Y軸轉動的自由度θ，激勵只有繞Y軸的轉矩Tl。

圖2 柔性負載模型

(15)

根據固定界面模態綜合法，子結構的假設模態集由主模態和約束模態構成，子結構2的主模態和約束模態的求解方法為：

(16)

(17)

定義p為柔性太陽翼的模態矩陣對應的模態坐標列向量，其與位移列向量的變換關系為：

(18)

根據第二行可知，最后一個模態坐標pθ與物理坐標θ相等，說明無論是在模態坐標中還是物理坐標中，兩者均代表了界面節點A繞Y軸的扭轉，具備相同的物理含義。所以，后續推導中均用θ表示此扭轉自由度。結合簡化后的永磁同步電機的動力學方程(13)，可得SADA驅動柔性太陽翼的動力學方程：

(19)

式中：pl的物理含義為柔性太陽翼保留的前l階模態坐標，θ表示界面節點A繞Y軸的扭轉自由度，故經變換后的耦合結構動力學方程僅有l+1階，相比于有限元模型的上千階的物理坐標自由度而言，大大降低了動力學方程的自由度，為后續控制仿真提供了基礎。

為了便于控制仿真，引入下述坐標變換：

(20)

將SADA驅動柔性太陽翼的動力學方程改寫為狀態空間方程的形式：

(21)

式中：

(22)

為了保證系統的穩定性，PMSM采用三環控制策略，根據永磁同步電機模型，可將三環控制方程表示為：

(23)

e1=θ0-θ

(24)

(25)

(26)

(27)

式中：KPP為位置環的比例控制參數；KVP和KVI分別為速度環的PI控制參數；KCP和KCI為電流環的PI控制參數。永磁同步電機安裝在剛性界面時，輸出力矩的反作用力即為耦合系統產生的微振動力矩。

2 控制器穩定性分析

在引入PI調節器抵消電流環的大慣性環節后，電流環開環頻率特性的截止頻率將遠高于速度環的截止頻率，即電流環對永磁同步電機驅動太陽翼的角位移、角速度穩定性影響較小。因此，在分析角位移、角速度穩定性時，將電流環做降階處理，即電流環的傳遞函數簡化為1。為了分析轉矩和角速度之間的傳遞關系，暫不考慮結構阻尼和外部干擾的影響，即α=β=0和Fu=0,Tr=0，對式(19)按行展開，進行拉普拉斯變換，可得：

(28)

整理得到角速度和轉矩之間的開環傳遞函數GV：

(29)

(30)

由式(30)可知，在柔性負載的各階模態中，扭轉分量較大的模態(對應耦合系數xi為較大值)對角速度控制穩定性有影響，而無扭轉分量的模態(對應耦合系數xi為0)對控制穩定性影響不大。假設柔性負載具有m階具備扭轉分量的模態，則角速度和轉矩之間的開環傳遞函數GV有m對共軛零點，其對應頻率為ωi；存在m+1對共軛極點，對應的頻率為耦合系統的固有頻率，在這些耦合系統固有頻率下可能發生微振動。速度環使用PI控制器，如圖3所示。

圖3 速度環框圖模型

根據林納德-奇帕特判據，為保證系統處于穩定狀態，速度環的控制參數KVI應滿足以下條件：

(31)

控制參數將改變耦合系統的自然振動頻率，因此需選取可抵消自然振動頻率的控制參數?？紤]魯棒性和響應時間選取恰當的控制參數，繪制了角速度與轉矩之間的傳遞函數和經PI控制器校正后的速度環開環系統、閉環系統的伯德圖，如圖4 所示。

圖4 伯德圖：角速度與轉矩的傳遞函數、速度環開環、速度環閉環

開環傳遞函數在柔性負載與扭轉相關模態對應頻率2.78Hz和7.29Hz處各存在一個零點，在2個頻率附近存在3個極點。以消除幅頻曲線的3個極點導致的振蕩頻率為目標，選取合適的控制參數。校正后，閉環系統消除了自然振動頻率，相穩定裕度大于60°。由閉環系統的幅頻曲線可知，轉矩仍可能在一階扭轉頻率附近的2.73Hz處產生微振動。若控制參數選取不滿足式(31)，則導致開環系統的幅頻曲線在一階扭轉頻率2.78Hz處穿越，此時系統出現相位失穩。

3 仿真分析

通過數值仿真可以驗證上文提出的控制參數確定方法的有效性。為準確模擬SADA驅動太陽翼的力學過程，為工程實踐提供依據，設計了一種與真實太陽翼具備相似力學特征的對稱結構柔性模擬負載。使用商用軟件Abaqus建立了柔性負載的有限元模型，從柔性負載的有限元模型中提取了質量矩陣和剛度矩陣，并根據式(15)至式(22)所述縮聚過程，經計算得到柔性負載的狀態空間方程。再根據式(23)至式(27)，使用商用軟件Matlab中的Simulink模塊，建立了永磁同步電動機驅動柔性負載的仿真模型，如圖5所示。表1給出了仿真參數。

表1 仿真參數

圖5 SADA驅動柔性負載模型

圖6給出了在2種不同速度環的控制參數下，永磁同步電機SADA驅動柔性負載的微振動仿真結果。根據仿真結果可以得到2個結論： 1)2種工況下耦合系統微振動均發生在2.688Hz，與圖4 中閉環系統bode圖預測的振動頻率2.73Hz僅相差1.48%，說明仿真模型與理論分析基本一致；2)比較2種工況下系統產生的微振動量級可知，當控制參數選取不當時，即不滿足式(31)給出判據時，耦合系統產生的微振動將提高一個數量級，這對衛星而言是非常不利的。

圖6 SADA驅動柔性負載仿真頻域曲線

4 實驗驗證

設計了如圖7所示實驗，驗證永磁同步電機SADA驅動柔性太陽翼的模型，并驗證控制參數確定方法的有效性。使用微振動測力臺可獲取耦合結構產生的微振動[15]。

圖7 SADA驅動柔性負載實驗

圖8給出了在2種不同速度環的控制參數下，永磁同步電機SADA驅動柔性負載產生微振動的頻域實驗結果。頻域曲線的結果表明，2種工況下耦合系統的微振動發生在2.688Hz，與圖6中給出的仿真結果一致，而實驗與仿真在2.688Hz的微振動峰值誤差小于9.7%。再結合圖9給出的微振動的仿真與實驗的時域結果對比可知，仿真與實驗的微振動時域結果基本吻合，所以仿真模型能準確輸出耦合系統產生的微振動。比較2種工況下微振動量級可知，當控制參數選取不當時，耦合系統產生的微振動提高了一個數量級，驗證了式(31)給出的控制參數穩定性判據的準確性，說明給出的控制參數確定方法是有效的。

圖8 SADA驅動柔性負載實驗頻域曲線

圖9 SADA驅動柔性負載時域曲線

5 結論

建立了SADA驅動柔性太陽翼的模型，給出了系統的三環微步驅動方法和控制參數的穩定條件。仿真和實驗結果表明：所建模型能準確模擬耦合結構的微振動，控制參數的穩定條件有效可行。以上結果可應用于遙感衛星太陽翼驅動機構的在軌控制參數調節，為提高遙感衛星圖像質量和振動抑制提供了有力的支撐。