一種MEMS陀螺儀零偏建模與估計方法

王國棟，孫麗艷，王振凱，楊 亮

(北京航天控制儀器研究所，北京 100094)

0 引言

隨著微機電系統(Micro-Electro-Mechanical System，MEMS)慣性器件精度的不斷提升，微納衛星、機器人、無人機和影視特拍等軍、民用領域越來越多地采用MEMS慣性器件作為姿態測量和導航的重要部件產品[1-2]。高精度的MEMS陀螺儀作為角速率測量的慣性器件，是實現精確姿態測量和導航的核心關鍵[3-4]。MEMS陀螺儀的精度取決于儀表的設計、加工、標定和誤差補償等多個環節[5-7]。其中，設計和加工是保證MEMS陀螺儀精度的前端環節，標定和補償是保證和提升MEMS陀螺儀精度的后端環節。對于MEMS陀螺儀標定和補償的前提是其各項誤差參數具有穩定的性質或變化規律，這樣才能通過標定予以去除和補償。陀螺儀的零偏具有一定的漂移性，很難通過常規的全溫標定方法[8-9]予以完全補償。這是由于MEMS陀螺儀的零偏取決于自身結構以及封裝應力、材料缺陷、電路偏移等多種因素，所有這些因素都與溫度有關。隨著溫度的變化，各種影響因素的特性會發生變化，導致陀螺儀的零偏產生相應的漂移。當陀螺儀工作時，其零偏漂移主要由自身發熱所引起[10]，以及在整個器件工作過程中其他變化因素變化而引起的漂移。

為了消除溫度對陀螺儀零偏的影響[11]，往往會通過測量不同溫度點下的陀螺儀零偏，建立零偏關于溫度的數學模型，實現陀螺儀的零偏誤差補償[12]。然而，這種模型一般是針對陀螺儀整個工作溫度范圍而建立的，在大的溫度變化范圍內能夠實現零偏的誤差建模和補償。由于建模的溫度范圍跨度大、取樣點有限，必然存在模型誤差，因此常規的溫度建模方法建立的模型僅能夠近似地給出某溫度下的陀螺儀零偏值。將零偏估計值從陀螺儀的輸出中予以扣除，一定程度上實現了MEMS陀螺儀的零偏誤差補償。通過這種方式建立的零偏溫度模型，對于大的溫度范圍內的零偏變化是有效的，對于溫度小幅度變化范圍內的零偏漂移，難以有效描述。此外，隨著時間的推移，慣性儀表的結構應力等材料特性會發生變化，使得前期建立的溫度模型精度下降。由于受到系統拆裝和成本等因素的制約，往往難以重復開展溫度建模標定。在實際應用中，陀螺儀在連續工作過程中，其溫度會隨著環境溫度的變化在溫度平衡點附近小范圍內做上下波動，這種小幅的波動也會導致陀螺儀的零偏變化和測量精度下降。溫度是影響MEMS陀螺儀零偏變化的主要因素，因此可以通過建立零偏關于溫度的關系模型，進一步實現陀螺儀的零偏估計和補償。

針對MEMS陀螺儀在使用過程中溫度小幅波動引起的零偏漂移問題，提出了一種零偏建模和估計方法，實現了MEMS陀螺儀的零偏有效估計，為陀螺儀的誤差補償和精度保持提供了技術基礎。

1 MEMS陀螺儀零偏建模

建立系統的數學模型包括兩種方式，一是分析方法，二是系統辨識的方法。分析方法是利用系統工作的內在物理客觀規律以及結構參數，推導出系統的數學模型。然而由于系統的復雜性和某些結構參數的不可測性，導致很難基于分析方法建立系統的數學模型。系統辨識的方法是基于系統的輸入輸出測量值等先驗知識，假定系統的數學模型，選擇合適的估計方法估計模型的參數，并通過試驗加以驗證。

MEMS陀螺儀由于結構的復雜性，很難采用分析方法建立零偏關于溫度小幅度變化的模型，因此采用系統辨識的方法建立其模型。MEMS陀螺儀零偏隨著溫度的變化是一個連續動態平衡過程，這種連續過程可以采用微分方程的形式予以描述[13]；對于數字量輸出系統，一般采用差分方程[14]的形式予以描述。如圖1所示，2020年5月26日在實驗室內測得某型MEMS IMU陀螺儀的零偏和溫度變化曲線，1h取一個零偏均值，連續通電測試24h內的零偏數據。從圖1中可以看出，由于環境溫度的變化，陀螺儀的溫度是一個連續動態平衡過程，溫度在整個測試過程中有小幅變化。整個過程中，隨著溫度的上升和下降，陀螺儀零偏經歷先下降后波動，再上升之后下降的過程。采用傳統的代數方程多項式，難以描述零偏跟溫度之間的關系。因此，選用差分方程進行零偏和溫度的數學關系描述。

圖1 陀螺儀零偏、溫度變化曲線Fig.1 Bias and temperature of the gyroscope

以溫度T為輸入變量，零偏Y為輸出變量，建立系統的差分方程

Yn+a1Yn-1+a2Yn-2+…+akYn-k=

b0Tn+b1Tn-1+b2Tn-2+…+bmTn-m

(1)

式(1)中，k為差分方程的階次，Yn-k，…，Yn-1，Yn為從n-k時刻到n時刻的陀螺儀零偏；Tn-m，…，Tn-1，Tn為從n-m時刻到n時刻的陀螺儀溫度；a1，…，ak，b0，…，bm為方程的系數，k≥m，共有k+m+1個待求系數。差分方程階次k可以根據系統的建模誤差和樣本點波動情況進行選取。樣本點的取樣間隔越小，零偏波動越劇烈，選擇的差分方程階次越高；反之，則方程的階次越低。基于陀螺儀的試驗數據分析，可以選擇較為合適的差分方程階次。

由式(1)可得

Yn=-a1Yn-1-a2Yn-2-…-akYn-k+

b0Tn+b1Tn-1+b2Tn-2+…+amTn-m

(2)

從式(2)可以看出，陀螺儀零偏Yn不僅與當前時刻的溫度Tn有關，還跟以前時刻的Yn-1，…，Yn-k和Tn-1，…，Tn-m有關。如果已知(n-k) ～(n-1)時刻的陀螺儀零偏和(n-m)～(n-1)時刻的陀螺儀溫度，就可以根據式(2)遞推得到n時刻以及后續時刻的陀螺儀零偏，從而實現陀螺儀的零偏估計。

2 模型參數的辨識流程

在建立MEMS陀螺儀零偏和溫度的誤差模型之后，根據式(2)可以開展模型的參數識別。具體實施步驟如下：

1)數據采集。根據設定的取樣間隔Δt，獲取一段時間內的MEMS陀螺儀零偏和溫度值，零偏和溫度值均取時間間隔Δt內的數據均值。

2)基于式(2)，得到一系列的差分方程組，方程的個數(N-n)>(k+m+1)，如式(3)所示

(3)

將式(3)用矩陣表示，可以簡化為

Y=Z·C

(4)

式中，Y是式(3)左側零偏輸出構成的列向量矩陣；Z是式(3)右側陀螺儀零偏和溫度構成的矩陣；C是式(3)右側差分方程的系數構成的列向量矩陣。

3)基于最小二乘法，可以得到系數向量C

C=(ZTZ)-1ZTY

(5)

根據式(5)，可以得到系統的建模誤差

Δ=norm(Y-ZC)

(6)

4)零偏-溫度構成的系統穩定性分析。由式(1)可得系統的Z變換

(7)

通過求解方程1+a1Z-1+…+an-1Z-k=0的所有特征根z1,z2,…,zk，并判斷所有特征根是否位于Z平面的單位圓內，即特征根的模值|zi|<1，以確定系統是否穩定。如果有一個特征根不在單位圓內，則系統不穩定，需要重新選擇模型的階次k和m值，重復步驟2)～4)，直到找到合適的系統參數為止。建模及模型參數的辨識流程如圖2所示。

圖2 建模及參數辨識流程Fig.2 Flow chart of modeling and parameter identification

3 試驗驗證與分析

為了驗證提出方法的有效性，設計了驗證試驗。在實驗室內，將某型高精度短時自主導航用MEMS IMU置于大理石平板上，給MEMS IMU連續通電。如圖3所示，MEMS IMU東北天放置，監測MEMS IMU東向陀螺儀的輸出即零偏值，測試時長為72h。該MEMS IMU試驗前期經過了三軸溫箱轉臺全溫范圍的標定和溫度補償。MEMS IMU內置的MEMS陀螺儀為四質量塊對稱結構陀螺儀，通過檢測電容的變化實現對外界角速率的敏感。

圖3 測試環境Fig.3 Testing environment

在5月26日—28日連續通電測試，得到72h的樣本數據。以1h為一個取樣間隔，1h內的溫度和零偏均值作為一個樣本數據對，共獲得72對樣本數據。前24對樣本數據如圖1所示，用于零偏建模和模型參數識別；后48對樣本點用于模型的性能驗證，如圖4所示。由圖4可知，由于實驗室環境溫度的變化，陀螺儀的溫度在25℃～28℃之間波動，是一個動態熱平衡的過程。連續2d的溫度變化規律趨于一致。陀螺儀的零偏隨著溫度的變化呈現出一定的規律，當溫度上升時下降，當溫度下降時上升。

圖4 模型性能驗證的取樣數據Fig.4 Sampling data used to verify the model

利用提出的方法建立系統的差分方程，經過建模和參數識別過程，通過比較1～4階的建模誤差，選擇模型的階次為3(k=3,m=3)，差分方程的系數如表1所示。

表1 三階差分模型系數

(a)單步估計

(a)二階多項式模型估計

表2 模型估計的誤差

4 結論

1)通過分析MEMS IMU陀螺儀在穩態工作過程中零偏隨溫度的變化規律，建立了零偏關于溫度的差分方程模型，并給出了差分模型的參數識別過程；

2)通過試驗驗證，給出了某型MEMS IMU陀螺儀的零偏三階差分模型，試驗結果表明：零偏溫度差分模型能夠實現陀螺儀零偏的高精度估計，模型多步估計的誤差是三階多項式模型估計誤差的65.37%；

3)多步估計是基于含有誤差的估計值遞推得到的，由于不斷引入誤差，估計的誤差相比單步估計會有所增加；

4)基于零偏的歷史數據，實現對零偏漂移的精確單步估計和多步估計，可以有效地估計和補償陀螺儀零偏的漂移，滿足多種場景下的應用需求。