慣導系統結構拓撲優化方法研究

楊晨曦，余盛強，閆紅松,袁大義，王永振

(北京自動化控制設備研究所，北京 100074)

0 引言

慣導系統是運載火箭等飛行器和其他載體中廣泛應用的精密測量儀器，其工作精度和可靠性直接影響著載體的控制精度和可靠性[1]。新一代飛行器要求飛行速度更快、射程更遠，在提升動力性能的同時，結構減重是目前一項亟待解決的關鍵技術難題。慣導系統作為飛行器的核心導航控制電子設備，在精度指標要求不斷提升的同時，還要求其具有小型化、輕質化、力學環境適應性強等特點。同時飛行器動力性能的提升使慣導系統面臨比以往更加嚴酷的振動、沖擊及噪聲環境條件，而傳統的結構設計模式主要基于現有的設計規范及設計師的個人經驗，在設計基本完成后進行力學仿真校核，結構減重主要依據個人經驗，缺少科學的計算數據支撐，這就造成了減重設計不合理及多輪的設計反復，影響了設計質量和研制周期。如何使慣導系統結構在滿足力學環境適應性要求的同時，又能實現大幅度輕量化，是慣導系統結構設計的一項重要研究內容。除采用輕質化的高強度材料外，基于結構拓撲優化技術的正向創新設計是目前最有效的一種技術手段。

近年來，國內已經開始把拓撲優化技術應用在慣導系統結構設計中。如李雄魁等對運載火箭慣組基座進行了拓撲優化設計，確定了一種輕質化、高剛度的懸臂慣組基座結構形式[2]；劉仲宇等對航空遙感慣性穩定平臺內框架進行了拓撲優化設計，減小了平臺內框架的總質量，提高了平臺的動態性能[3]；王平等對無人機慣導減振系統支架進行了拓撲優化設計，在減重的基礎上提升了一階模態頻率[4]；徐江濤等對光纖陀螺結構進行了結構優化設計，在滿足頻率和光纖環體積的條件下,減小了結構的質量,輕量化效果明顯[5]；陳興好等對慣性臺體結構進行了拓撲優化設計，在滿足一階頻率要求的前提下減重效果明顯[6]。上述工作均以質量或一階模態頻率作為目標函數，以一階模態頻率或質量作為約束條件，主要對結構振動這一典型工況進行優化，而沒有考慮結構在承受其他力學載荷(例如大氣壓力)等多種工況下的優化。此外，在邊界處理上也大多對安裝面直接進行理想剛性約束,這種假設與真實情況存在差異，一般來說拓撲構型也并不理想。王立平等將子模型技術引入裝配體結構的拓撲優化中，對邊界條件進行了精確提取[7]，但這種方法僅適用于靜力學工況，并不適用于慣導系統結構件所受的模態工況。

本文基于拓撲優化理論，提出了考慮多工況組合和等效邊界處理方法的慣導系統典型結構拓撲優化方法，梳理了適用于慣導系統結構的拓撲優化流程。并以某慣導系統蓋板、慣性臺體和外殼體組成的系統為實例進行拓撲優化設計，優化結果在滿足剛度和頻率約束的前提下，實現了結構質量大幅減小，拓撲優化構型清晰，取得了良好的優化效果。

1 結構拓撲優化理論與方法

結構優化是對結構設計的優化，根據設計變量的范圍大體分為三個層次：拓撲優化、形狀優化和尺寸優化，分別對應產品的概念設計、基本設計和詳細設計階段。拓撲優化主要是在規定的設計區域內，在給定的載荷和邊界條件下，通過改變結構的拓撲來滿足應力、頻率和位移等約束條件；形狀優化是在給定結構和拓撲的基礎上，對其邊界形狀進行優化；尺寸優化是在給定結構的類型、拓撲和形狀的基礎上，對構件尺寸進行優化。與尺寸優化和形狀優化相比，拓撲優化不僅待優化參數更多，對優化目標的影響更大，取得的效果也更好，是當今結構優化設計研究領域的熱點[8-9]。

結構拓撲優化方法主要有均勻化法、變密度法、獨立連續映射法(Independent Continuous Mapping，ICM)、漸進結構優化法(Evolutionary Struc-tural Optimization，ESO)和水平集法等[10]。均勻化方法尋優效率低，獨立連續映射法程序實現較難，漸進結構優化法通用性差，水平集法過程過于復雜，而變密度法設計變量少、通用性強、尋優效率高、程序易于實現、靈敏度計算較易，是目前工程上應用最為廣泛的方法[11-12]。

變密度法的基本思想是在優化中引入一種材料，其密度在[0 1]區間內連續可變，并假設結構材料的其他物理參數也與材料密度值有一定對應關系。優化過程中，設計變量為結構材料在[0 1]間連續可變的密度，當密度取值為0～1之間的中間值時，通過選用合適的懲罰函數因子對設計變量進行懲罰，使中間密度能夠向兩端靠近，從而使結構的優化模型能夠盡可能地只存在0和1兩種相對密度單元，得到實體和孔洞分明的優化結果[13-14]。

變密度法模型為

ρ=Xeρ0

(1)

式中：Xe為設計區域里的每個單元的相對密度；ρ0為拓撲優化的設計變量。當Xe為1時，則表示該單元材料為實，需要保留或添加此單元；當Xe為0時，則表示該單元材料為空，應該刪除此單元(孔洞)；當Xe在0～l之間時，根據密度設定來判斷對該單元進行保留或者刪除。

2 慣導系統結構拓撲優化方法

2.1 慣導結構拓撲優化數學模型

慣導系統一般由陀螺、加速度計、光源盒、導航計算機、直流電源、IF轉換電路、慣性臺體、系統主殼體、蓋板、減振器和連接器等零部件組成。其中，慣性臺體、蓋板和外殼體是結構設計的主要內容，也是結構輕量化設計的重點關注對象。

蓋板結構主要承受壓力載荷，在滿足剛度要求的條件下，結構頻率也是影響系統動力學性能的重要因素。因此，在進行蓋板類結構優化時，需要綜合考慮壓力載荷工況和模態工況，將結構最大變形和結構一階頻率作為設計約束，考慮工藝性，對蓋板施加制造約束。當蓋板左右對稱時，施加對稱約束；當蓋板安裝有電路板等組件時，還要考慮安裝位置接觸。

慣性臺體由于安裝在殼體內部，不承受壓力載荷。在進行慣性臺體拓撲優化時，主要考慮模態工況。

殼體和蓋板類似，主要承受壓力載荷，在進行殼體拓撲優化時，要考慮模態工況和壓力載荷工況。考慮到安裝工藝性，安裝支耳區域不進行優化。

慣導系統在工作中主要經受振動、沖擊、過載等動力學環境，以及高空環境壓力載荷、密封檢漏過程壓力載荷、重力載荷等多種組合工況，因此，拓撲優化模型中需要綜合考慮多種工況組合。經過大量分析研究與驗證，慣導系統結構拓撲優化的典型優化模型可以描述為以最大化剛度，暨柔度最小為目標的優化模型，結構體積分數、結構頻率、結構最大變形及具體制造約束等為約束條件的數學問題[15]

(2)

式中:設計變量X={x1,x2,x3,…,xi}T為經有限元離散后的單元相對密度;Ω為優化設計變量的集合;C為結構的柔度;K、U和F分別為結構的整體剛度、位移和外荷載矩陣;V(xi)和V*分別為結構的實際體積關于變量xi的函數和整個優化問題的約束體積分數值;G(X)和H(X)為一階固有頻率和最大變形函數,G*為設計頻率，H*為結構允許的最大變形；xmin和xmax分別為設計變量的上下限值;i為單元數量。

2.2 等效邊界處理方法

除目標函數與約束條件具體設置外，載荷工況與邊界條件是影響拓撲優化結果的關鍵因素。傳統拓撲優化方法中，如果僅導入單獨零件，并直接對其安裝面施加固定約束，在運算中會把固定面視為剛度無限大的剛體面，這種假設與實際情況有明顯差異，導致拓撲優化結果并不是真實工況下的最優解；而如果將待優化零件置于裝配體中進行優化計算，則會因結構復雜、接觸非線性等問題導致迭代緩慢，甚至難以收斂。為了盡可能準確地描述結構優化區域的邊界條件，考慮裝配連接剛度影響，本文在對蓋板和慣性臺體進行單獨拓撲優化時，提出了一種等效邊界處理方法：把外殼體上與蓋板和慣性臺體接觸的面向下切割分離，并對切割后的外殼體下表面固定約束。由于外殼體安裝支耳區域不進行優化，故不進行等效邊界處理。

2.3 慣導系統結構拓撲優化流程

慣導系統結構比較緊湊,尺寸、質量及安裝接口限制較多，需要預先考慮慣性器件、導航計算機和直流電源等零部件的空間擺放位置，形成方案的初始設計。在初始設計的基礎上，傳統設計主要通過挖減重孔、槽等實現輕量化設計，而這種輕量化設計方式主要基于工程師的設計經驗，布局不盡合理，并不是輕量化的最優解。本文提出的慣導系統結構拓撲優化方法是在初始設計方案的基礎上進行的，其主要流程如下：

首先分析了結構模型,以確定優化區域即優化模型中的設計區域，并根據可允許設計的空間限制，充分利用可以填充結構的空間,使設計區域在布局限制下最大化；其次，根據各零部件安裝接口位置，局部切割作為非設計區域；包含設計區域與非設計區域的模型建好后，進行有限元建模，并根據各結構件所受工況，施加載荷及邊界條件；進行優化模型定義，提交求解器計算；對拓撲優化結果進行模型重構，并對該結構進行具體工況下的仿真分析，若各性能指標不滿足設計要求，再在拓撲優化后的模型上進行局部針對性的尺寸優化，最終使各性能指標均滿足設計要求。圖1所示為適用于慣導系統結構的拓撲優化設計流程[16]。

圖1 拓撲優化流程Fig.1 Process of topology optimization

3 應用實例

3.1 模型分析

本文在研究的基礎上，以某慣導系統的三種典型結構件為實例，進行了拓撲優化分析。

某慣導系統慣性臺體組件主要由3個加速度計、3個陀螺、1個連接器和1個光源盒等構成。蓋板上裝有1塊電路板，通過一周法蘭面與外殼體進行螺栓連接。外殼體結構較為復雜，安裝有2塊電路板和4個連接器，通過4個安裝支耳進行固定。

預先考慮慣性臺體、蓋板、電路板和連接器等零部件的空間擺放位置和整體安裝接口位置，形成方案的初始設計。為了提高仿真計算效率，在導入有限元分析軟件分析之前，對模型進行了適當的簡化處理：

1)陀螺儀、加速度計、連接器和光源盒等按照實體建模，以等厚度的平板代替電路板。

2)螺釘預緊力對被連接構件的剛度不產生明顯影響，且兩接觸面不產生相對滑移，故將螺紋孔用構件材料填充，僅在螺釘頭壓緊的圓形區域內將兩構件的接觸面黏合在一起，圓形區域的直徑各取螺紋直徑d與螺釘頭直徑dk,min的1.5倍。

簡化后的慣導系統初始結構如圖2所示。

(a)蓋板

3.2 傳統設計模型

基于工程經驗，在初始設計的基礎上進行傳統設計，方案模型如圖3所示。

3.3 慣導系統優化

3.3.1 模型等效邊界處理

通過等效邊界處理方式，分別對初始設計的蓋板和慣性臺體模型進行處理，殼體結構不進行等效邊界處理，如圖4所示。

3.3.2 網格劃分

網格密度為3mm，各組件節點數和單元數如表1所示。

表1 各組件節點數和單元數

3.3.3 材料屬性

慣導系統結構件材料為2A12鋁合金。零部件采用等效密度,即零部件質量除以簡化后體積,各組件材料的彈性模量和泊松比采用工程經驗參數。

圖4 等效邊界處理后的慣導系統結構Fig.4 INS structural parts after equivalent boundary treatment

材料屬性如表2所示。

表2 材料屬性

3.3.4 優化參數設置

求解器計算，通過修改密度閾值，切除密度值小于0.5的材料。根據拓撲優化結果，各結構均得到了清晰的拓撲構型，可作為模型重構的參考。考慮到密封性，蓋板和主殼體上鏤空部分需要加一層蒙皮。慣性臺體拓撲構型呈現出桁架結構形式，需要根據模型重構后的仿真情況對局部進行尺寸優化，優化參數如表3所示。

表3 優化參數設置

3.3.5 重建模后仿真分析

將拓撲優化計算得到的結果導出STL文件，進入NX建模界面重建模。拓撲構型與重建模后的模型如圖5所示。重建模后的模型以上述分析方式分別進行模態分析，最終優化后的各結構仿真結果如圖6所示。

圖5 各結構的拓撲優化結果Fig.5 Topology optimization results of each structure

圖6 優化后的結構仿真分析結果Fig.6 The simulated analysis results of each optimized structure

3.4 傳統設計模型模態分析

對傳統設計進行模態分析，結果如表4所示，各結構一階模態振型如圖7所示。通過等效邊界建模進行分析的誤差均不超過10%，在可接受范圍內。

圖7 各結構一階模態振型Fig.7 First mode formation of each structure

表4 傳統設計模態分析結果

3.5 結果對比

傳統結構設計和采用拓撲優化設計后的一階模態、質量對比如表5所示。由結果可以看出，通過拓撲優化，慣導系統結構件在模態提升的情況下，質量大幅度減小，達到了輕量化的目的。

表5 傳統結構設計和采用拓撲優化設計后的一階模態、質量對比

4 結論

針對傳統慣導系統結構件拓撲優化中，沒有考慮除模態工況外，由密封等工藝條件而產生的低氣壓壓力載荷等工況，以及裝配體拓撲優化中，復雜程度和迭代速度與安裝面剛度的準確性存在矛盾，本文提出了考慮多工況組合和等效邊界處理方法的慣導系統典型結構拓撲優化方法，建立了適用于慣導系統結構的拓撲優化流程。并以某慣導系統結構件為實例，分別對其蓋板、慣性臺體和外殼體進行優化后，其各自和組合成的裝配體較傳統經驗設計結構模態均有所提升，質量明顯減小。本文提出的研究方法同樣適用于其他慣導系統結構件的拓撲優化設計。