非線性調頻模態分解-同步提取變換方法及其在滾動軸承故障診斷中的應用

李志農, 胡志峰, 毛清華, 張旭輝，陶俊勇

(1.南昌航空大學 無損檢測技術教育部重點實驗室，江西 南昌 330063；2.國防科技大學 裝備綜合保障技術重點實驗室, 湖南 長沙 410073；3.西安科技大學 陜西省礦山機電裝備智能監測重點實驗室，陜西 西安 710054)

0 引言

軸承是旋轉機械中應用最廣泛的零部件之一，通常也是旋轉機械產生故障來源的主要零部件之一，一旦旋轉機械的軸承發生局部故障，其故障特征往往隱含在振動信號中，因此對振動信號進行故障特征提取是對滾動軸承進行故障診斷的有效方式[1]。由于旋轉機械傳動系統工況環境復雜，滾動軸承產生的故障振動信號往往夾雜著大量噪聲，且非平穩性特征明顯，傳統的時頻分析方法往往具有自身難以改善的缺點，難以識別出這類信號的故障特征。例如：短時傅里葉變換(STFT)方法具有窗函數固定、時頻分辨率較低的缺點；小波變換方法則需要提前選擇合適的小波基，其適應性差；魏格納-威爾變換方法雖具有高的時頻精度，但存在嚴重交叉項[2-4]。因此，如何從高噪的滾動軸承振動信號中提取出故障特征信號，對滾動軸向的故障診斷是非常重要的，有必要引入新的滾動軸承故障特征提取方法。

同步提取變換(SET)是Yu等[5]在同步擠壓變換方法[6]思想基礎上提出的一種新的非平穩信號處理方法，目前該方法已經應用在石油勘探[7]、引力波探測[8]、電力故障診斷[9-10]、機械故障診斷[11-14]、建筑檢測[15]等領域中，該方法旨在擺脫海森堡不確定性原理的影響，構建信號的理想時頻譜。然而，現有的SET方法在處理強噪聲干擾、強調頻調幅信號時，單一SET并不能準確地提取出故障信號的時頻信息，因此往往需要對信號進行前處理。在處理多分量非平穩復雜信號時，各相鄰分量的瞬時頻率又需要滿足相鄰模態的瞬時頻率差要大于所選取SET窗函數頻率支撐范圍的2倍[16]，然而滾動軸承的故障振動信號不一定能滿足該條件。因此，為了發揮SET方法的非平穩信號處理優勢，克服其存在的不足，有必要在SET處理前對多分量信號進行分解。傳統的分解方法如經驗模態分解方法雖然對噪聲敏感，但缺乏數學依據，而且存在虛假分量和端點效應[17]；經驗小波分解方法在處理信號包含接近的模態時，可能會使某些頻率成分無法分解[18]；變分模態分解(VMD)方法雖然在分解信號包含接近的模態時有較好的分解能力，但不能分解具有重疊頻譜的寬帶模態；非線性調頻模態分解(VNCMD)[19]方法是基于VMD[20]以及稀疏算法框架，通過結合解調手段以及VMD的聯合優化方案來有效處理頻率臨近甚至交叉的非平穩信號,該方法在分析非平穩信號尤其是包含閉合模態甚至交叉模態的信號時具有很好的效果。基于VNCMD方法的獨特優勢，將VNCMD引入SET中，能夠有效克服SET處理復雜非平穩信號的不足。

基于此，本文結合VNCMD方法和SET方法各自的優勢，提出一種新的VNCMD-SET處理方法并進行仿真研究；同時與傳統的SET方法進行對比研究，將提出的方法應用到滾動軸承的故障診斷中，通過實驗結果進一步驗證了所提方法的有效性。

1 VNCMD-SET方法原理

VNCMD是一種新型信號處理方法。該方法通常將信號表示成以下形式：

(1)

式中：x(t)為待分析信號，t為時間；i為分量信號的個數；Q為模式分量個數；ai(t)、fi(s)表示瞬時幅值和瞬時頻率，s為時間變量；φi為相位；n(t)表示噪聲。利用解調技術可以將(1)式轉換為

(2)

由于所分析的數據以離散形式采樣，當采樣區間t=t0,…,tN-1(N為離散采樣時間的個數)時，所得到的約束問題表現形式如下：

(3)

式中：Γ表示懲罰函數；w為噪聲變量，w∈RN+1；Ω為2階差分算子，用于消除邊界效應；pi=[pi(t0) …pi(tN-1)]T；qi=[qi(t0) …qi(tN-1)]T；x=[x(t0) …x(tN-1)]T，Ci=diag[cos(φi(t0)) … cos(φi(tN-1))]，Di=diag[sin(φi(t0)) … sin(φi(tN-1))].

引入拉格朗日乘子λ′，相應的增廣拉格朗日表達式如下：

Lα({pi},{qi},{fi},w,λ′)=

(4)

式中：Lα為增廣拉格朗日函數，其變化可以改變時頻濾波器的帶寬，因此可影響所得分量信號的性能；α為懲罰參數。

然后，引入乘子交替方向法，更新所得解調信號和瞬時頻率，具體步驟如下：

步驟1更新兩個解調信號：

(5)

(6)

式中：k為迭代的個數；m為分量信號個數。

步驟2更新瞬時頻率：

(7)

(8)

式中：μ為用于控制瞬時頻率的一個參數；I為單位矩陣；η為一個比例系數，η∈(0,1)，通常取0.5.

步驟3對信號進行重構：

(9)

最后對重構信號進行STFT處理，得到STFT時頻系數G(t,ω)，

(10)

Te(t,ω)=Ge(t,ω)·δ(ω-ω0(t,ω))，

(11)

δ(·)為delta函數,

(12)

ω0(t,ω)為瞬時頻率，

(13)

當Ge(t,ω)不為0時，上述表達式在任意時間范圍內，滿足在頻率范圍[ω0-Δ，ω0+Δ]內瞬時頻率數值恒為ω0，其中Δ為SET窗函數的頻率支撐范圍。由SET的時頻系數Te(t,ω))即可得到信號的二維時頻表征。

2 仿真研究

為驗證本文所提方法的抗混疊和抗噪性能，構造如下仿真信號，該仿真信號有兩個調頻分量信號組成，其表達式如(14)式所示。設置采樣頻率為500 Hz，采樣時間為4 s，其時域波形如圖1所示。

圖1 信號x(t)的時域圖

(14)

式中：x1(t)、x2(t)、x(t)分別為第一分量信號、第二分量信號、合成仿真信號。

對該仿真信號，分別采用傳統SET方法和VNCMD-SET方法進行處理，結果如圖2所示。

圖2 SET方法和VNCMD-SET方法對信號x(t)處理的結果比較

由圖2(a)可知，在開始時間段到1.5 s的時間段，由于兩分量信號瞬態頻率較為接近，傳統SET方法處理該信號時，在兩瞬時頻率中間產生了頻率混疊，在兩個特征頻率曲線間產生一個虛假頻率成分。而經過本文方法處理該信號，開始時間段到1.5 s的時間段，虛假頻率成分明顯消失，未發生混疊情況，且能夠準確識別出兩分量信號的瞬態頻率。這是因為傳統SET方法要求處理多分量非平穩復雜信號時，各相鄰分量的瞬時頻率又需滿足相鄰模態的瞬時頻率差大于所選取的SET窗函數的頻率支撐范圍的2倍，否則會產生混疊。而本文提出的方法很好地克服了傳統SET方法的不足。

為了進一步驗證所提方法的有效性，在上述仿真信號基礎上加入一個信噪比為6.018 dB的噪聲干擾，其時域波形圖如圖3所示。同樣地，對該干擾信號分別采用傳統SET方法和VNCMD-SET方法進行分析，得到時頻分布如圖4所示。

圖3 加噪信號x(t)的時域圖

圖4 SET方法和VNCMD-SET方法對加噪信號x(t)處理的結果比較

由圖4可知，由于高噪聲的影響，傳統SET處理時，信號頻率混疊情況更加嚴重，混疊頻率段從原來的0～1.5 s時間段變成了0～2 s時間段，并且干擾依然存在。由此可見，本文所提方法對含高噪聲的信號進行處理，虛假頻率成分已經消失，而且噪聲干擾得到了很大的抑制，時頻結果仍然清晰可見，本文方法在處理噪聲干擾的非平穩信號，比傳統SET方法具有明顯的優勢。

3 實驗研究

為進一步驗證VNCMD-SET方法的有效性，將該方法應用到滾動軸承故障診斷中，采用美國西儲大學電氣工程實驗室的軸承試驗數據進行分析。軸承類型為深溝球軸承，軸承振動信號由加速度傳感器采集，采樣頻率為12 kHz，采樣點數為4 096，轉速為1 797 r/min，在軸承外圈用電火花加工直徑為0.177 8 mm與0.535 1 mm的缺陷，用來模擬軸承外圈的輕微損傷和嚴重損傷。可計算出外圈故障特征頻率為107 Hz.圖5、圖6分別為兩種不同損傷程度的時域圖，相應的頻譜圖如圖7、圖8所示。

圖5 直徑0.177 8 mm缺陷的軸承外圈時域圖

圖6 直徑0.535 1 mm缺陷的軸承外圈時域圖

圖7 直徑0.177 8 mm缺陷的軸承外圈頻譜圖

圖8 直徑0.535 1 mm缺陷的軸承外圈頻譜圖

由圖7、圖8可知，外圈故障出現，表現為故障特征頻率和相應的豐富頻率成分，當損傷嚴重程度增加時，故障特征頻率明顯豐富得多。從頻譜圖上雖然可以反映出故障頻率，然而不同的特征頻率隨時間的變化完全反映不出來。為此，分別對不同嚴重程度的滾動軸承外圈故障采用VNCMD-SET方法和傳統SET方法進行分析，得到時頻分布如圖9、圖10所示。

圖9 處理直徑0.177 8 mm缺陷信號的SET方法和VNCMD-SET方法比較

圖10 處理直徑0.535 1 mm缺陷信號的SET方法和VNCMD-SET方法比較

由圖9、圖10可知，針對軸承輕微損傷，SET方法和VNCMD-SET方法均能識別出故障頻率及倍頻，但倍頻周期變化在圖9(a)中反映更為明顯，且未發生頻率混疊情況，在圖9(b)中倍頻間存在頻率混疊情況，時頻聚集性不佳。針對軸承嚴重損傷情況，由圖10(b)可知，SET處理的結果不能較好地識別出故障頻率及其倍頻，時頻聚集性不強，發散嚴重，周期性沖擊倍頻顯示不明顯；而在圖10(a)中，VNCMD-SET方法處理結果能夠反映嚴重損傷情況下的故障頻率及其倍頻，與傳統SET方法相比，處理結果更佳，時頻聚集性較好，因此本文所提出的VNCMD-SET方法明顯優于傳統SET方法。

4 結論

1)針對傳統SET方法抗頻率混疊性和抗噪性能的不足，本文通過引入一種新穎的分解方法(即VNCMD方法)構造出VNCMD-SET方法，該方法兼顧了VNCMD方法和SET方法的優勢，與單一SET方法相比，有效地解決了傳統SET方法存在的頻率成分交叉或重疊問題，時頻聚集性能得到較大提高。

2)為了驗證本文所提方法的有效性，將該方法與傳統SET方法進行了對比研究。仿真結果表明，本文所提方法能夠很好地解決傳統SET方法處理結果發生混頻的情況，并具有一定的抗噪能力，驗證了所提方法的有效性。

3)本文所提方法引入滾動軸承外圈的故障診斷中，實驗結果表明，SET方法雖然能識別輕微故障的頻率特征，但存在較多的頻率混疊情況；而對于嚴重的外圈故障，識別的效果大幅度降低，受到很大影響，時頻精度不佳，頻率混疊情況嚴重，且周期性沖擊高倍頻的時頻表征不明顯。本文所提VNCMD-SET方法不存在頻率混疊情況，時頻聚集性好，能識別出周期故障特性，且周期性沖擊高倍頻的時頻表征明顯，能充分反映不同軸承故障嚴重程度的特征信息。