ARMA 模型在股票價格預測中的應用
——以格力電器為例

劉 潔

（仲愷農業工程學院 經貿學院，廣州 510220）

0 引言

時間序列是將某個統計量的數值按照時間先后的順序排列而成的序列，即同一個體在不同時點上的數據。在現實的經濟、金融領域中有很多問題，如股票價格、石油價格、利率變動或匯率變動都是時間序列。而股票價格雖影響因素眾多，變幻莫測，表面看上去毫無規律，但利用時間序列的分析也可找出一些變化規律，不管是對需要及時了解價格波動的投資者，還是需要把握市場動態、維護穩定交易環境的市場管理者來說都意義重大。ARMA 模型在處理平穩時間序列的問題上有較好的擬合效果，是處理時間序列非常有效的工具。將ARMA 模型應用在股票價格的擬合和應用方面，可以讓我們更好地了解股市波動特點，總結相關規律，不管是對理論還是實踐都有重要的指導意義。

本文將根據格力電器股票價格的歷史數據，利用ARMA理論建立模型并進行預測，從而推斷格力電器股價未來變化趨勢。

1 ARMA 模型介紹和建模步驟

1.1 模型介紹

ARMA 是自回歸移動平均過程（Auto Regressive Moving Average）的縮寫，由G.E.P.Box 和G.M.Jenkins 在1970 年出版的《Time Series Analysis Forecasting and Control》中提出，ARMA就是由自回歸和移動平均兩部分共同構成的一個隨機過程，通常記為ARMA（p，q），數學表達式如下：

其中，｛et｝是白噪聲序列，其中p、q 分別表示自回歸和移動平均部分的滯后階數。當p 等于0 時，ARMA（p，q）模型退化成AR（p）模型；當q 等于0 時，ARMA（p，q）模型退化成MA（q）模型。

需要注意的是，ARMA 模型僅可對平穩時間序列進行分析，如果某時間序列非平穩，則需要進行預處理，生成一個新的平穩時間序列后才能應用。在實踐中，通常采用對數差分或差分的方式進行預處理，而經過d 次差分后平穩的序列，可以寫成ARIMA（p，d，q）的形式，d 的取值通常不會超過2。

1.2 滯后階數p、q 的確定方法

滯后階數p、q 的確定可以通過自相關圖和偏自相關圖來確定。若某平穩序列的自相關函數是拖尾的，偏自相關函數是截尾的，則該序列可建立AR（p）模型；若某平穩序列的自相關函數是截尾的，偏自相關函數是拖尾的，則該序列可建立MA（q）模型；若某平穩序列的自相關函數與偏自相關函數都是拖尾的，則可建立ARMA（p，q）模型。此外，還需要利用AIC 信息準則和SC 信息準則來判斷，p、q 的選取若能使AIC 和SC 取值最小，即為最佳的階數。

1.3 建模步驟

第一步，判斷時間序列是否平穩，可以通過建立該組序列的時序圖，或用統計軟件Eviews10 生成自相關和偏自相關圖來判斷。第二步，如果該序列平穩，便可以建立ARMA（p，q）模型；若該序列不平穩，則需要進行預處理，將其轉換成平穩序列，而通常轉化的方法是進行差分或對數差分。第三步，利用Eviews10 生成新序列的自相關圖和偏自相關圖，預估p，q 的階數。第四步，估計參數并進行檢驗，選出符合AIC 和SC 信息準則最小化的模型。第五步，對生成的殘差序列實施白噪聲檢驗。最后，檢驗模型擬合結果，對序列進行短期預測。

2 實證分析

2.1 數據選擇和來源

本文選取格力電器（000651）2018 年12 月3 日至2019 年11 月29 日的股票收盤價格，共240 個數據建立模型，最后對2019 年11 月29 日數據進行預測，并與真實交易價格對比，由此來檢測本模型預測的效果和準確性。

2.2 數據的平穩化檢驗與處理

將格力電器原始收盤價（記為X）導入Eviews10 得到圖1，該組數據（2018 年12 月3 日至2019 年11 月29 日）不是一個平穩的時間序列，雖有波動，但總體是一個向上的趨勢。為了驗證原收盤價格非平穩，需要對該組數據進行ADF 單位根檢驗。由圖2 的檢驗結果可知，P 值為0.320 7 不具有顯著性，T統計量也大于10%的臨界值，因此存在一個單位根，該組數據是非平穩時間序列。此外，還可以對原序列做出自相關－偏自相關圖，由圖4 可以發現原序列相關系數減弱很慢，也可以說明該組數據是非平穩時間序列。

圖1 格力電器（000651）股價時序圖

圖2 股價原序列X 的ADF 單位根檢驗

圖3 對數差分序列DX 的ADF 單位根檢驗

圖4 原序列X 的自相關-偏自相關圖

由于原序列非平穩，如需建立ARMA 模型進行分析預測，則必須消除這種不平穩特征，因此嘗試在原序列基礎上進行差分。對于股票價格來說我們更應該關心收益率，因此我們先對原始收盤價格取對數，再求差分。在此首先利用Excel 求得對數差分后的新序列（記為DX），并將其導入Eviews 10，做出時序圖（如圖5 所示）。由圖5 可知，一階差分后序列看起來更加平穩，除了個別時刻波動較大，整體圍繞0 值上下波動，可以大致判斷經過對數差分后的序列為平穩時間序列。但是僅僅從圖形得出結論是不準確的，為了驗證這一結論，需要對新序列進行ADF 單位根檢驗，得到結果如圖3。由圖3 可以看出，P 值小于0.05 具有顯著性，且T 統計量為－7.607 414，均小于1%、5%和10%的臨界值，因此可以拒絕原假設，新序列不存在單位根，新序列是一組平穩的時間序列，可以在此基礎上建立模型。

圖5 對數差分后新序列DX 時序圖

2.3 模型識別與估計

根據ARMA 的識別準則，若某平穩序列的自相關函數是拖尾的，偏自相關函數是截尾的，則該序列可建立AR 模型；若某平穩序列的自相關函數是截尾的，偏自相關函數是拖尾的，則該序列可建立MA 模型；若某平穩序列的自相關函數與偏自相關函數都是拖尾的，則可建立ARMA 模型。作為時間序列分析的始祖，Box，Jenkins and Reinsel 認為，對于大多數情況，p≤2與q≤2 就足夠了。為了保險起見，可以讓p 與q 更大些，但具體如何確定p 和q，需要根據信息法則來判斷。

因此運用Eviews10 可得，格力電器股票價格經過一階差分后的自相關系數和偏自相關系數圖。由圖6 可見，序列DX的ACF 和PACF 都是拖尾，又因一階差分，因此可以建立ARIMA（p，1，q）模型，而模型的滯后階數p、q 則要根據p 值、AIC 準則和SC 準則加以確定。

圖6 對數差分后序列DX 的自相關-偏自相關圖

根據對數差分后序列DX 的自相關－偏自相關圖，本文嘗試了ARIMA（1，1，1），ARIMA（1，1，2），ARIMA（2，1，1），ARIMA（2，1，2）四種模型，并根據AIC 準則和SC 準則最小的原則，建立ARIMA（2，1，1）模型。從圖7 可以看出，ARIMA（2，1，1）模型p 值小于0.05，系數的顯著性符合要求，并且AIC 和SC 均為最小。更進一步我們可以加大滯后階數對模型進行過度擬合，發現效果仍然沒有很大改善，因此可以確定ARIMA（2，1，1）就是合適的模型。最后，該模型的數學表達式可寫為：

圖7 ARIMA（2，1，1）模型輸出結果

式中，et為殘差序列。

2.4 模型的診斷與檢驗

在經過參數估計后，還需要對殘差進行白噪聲檢測以確認建立的ARIMA 模型是否合適。因此對Eviews10 中對殘差進行時序圖分析和Ljung－Box 檢驗（即Q 統計量檢測），得到結果如圖8 和圖9。圖8 顯示殘差基本在0 值上下波動，殘差是一個平穩的時間序列。圖9 的自相關和偏自相關圖顯示，兩個系數都在兩條虛線內，且p 值大于0.05，說明Q 統計量小于檢測水平為0.05 的卡方分布臨界值，即已經建立的模型的隨機誤差項是一個白噪聲序列，因此該模型是合理的。此外我們還可以通過檢驗殘差的正態性來檢驗模型，如果模型正確，則分位數－分位數圖應該有一條直線穿過眾多的點，而從圖10 中也可以看到，除了少數幾個點偏離直線較多，其余點都分布在直線附近，從而驗證了模型的準確性。

圖8 殘差時序圖

圖9 殘差自相關-偏自相關圖

圖10 序列分位數-分位數圖

2.5 對股票價格進行預測

由于已經建立好的ARIMA（2，1，1）模型通過了白噪聲檢測，因而其可以對格力電器股票未來收盤價格進行預測。在Eviews10 軟件中可以選擇靜態預測或動態預測，首先進行動態預測，而動態預測值基本呈水平線，說明動態預測效果不好。然后進行靜態預測，由于靜態預測只能一步向前，得到結果見圖11，可以看出靜態預測效果還是比較好的。這是因為股票價格變動較大，隨著預測期數的增加，所得到的結果誤差也增大，因此應用ARIMA 模型對股票價格進行預測短期效果比較合適。

圖11 靜態預測圖

由已建立的ARIMA（2，1，1）模型對格力電器2019 年11月29 日的收盤價進行短期預測，可得結果為57.62，當天實際收盤價為57.71，誤差為0.09，比較接近，也由此可以證明用ARIMA 模型對股票價格進行預測短期效果比較好。

3 結語

綜上所述，ARMA 對描述股價波動有一定參考性，對股價短期的預測效果也比較好，對投資者有一定參考價值。但是應用ARMA 模型對于股票價格的長期預測就有較大偏差，因為ARMA 模型只是對時間序列本身的屬性進行分析，而股票價格的預測一直是一個難題，且股票市場的影響因素眾多，如市場規則、國家宏觀經濟政策和公司內部結構的變化等都會對股票價格產生重大影響，因此對股票價格的預測還需要結合其他條件進行綜合判斷。