基于平面展成原理的雙圓弧齒輪精確建模方法

王偉東，李吉偉，曹黎萍，李良燕，姜宏奎，任少英

(1.山東柳杭減速機(jī)有限公司，山東 淄博 255200；2.北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，北京 100191)

0 引言

雙圓弧齒輪傳動具有承載能力高、抗膠合能力強(qiáng)、齒面接觸強(qiáng)度高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于冶金、建材、化工、交通等領(lǐng)域的重載齒輪傳動。目前在雙圓弧齒輪建模方面的研究很多，但是許多建模方法并沒有基于展成原理，而是采用簡化方法，無法得到精確的齒輪模型。精確的三維模型對于雙圓弧齒輪的實(shí)際生產(chǎn)加工和理論研究有著重要的意義。本文基于齒輪平面展成的原理來建立雙圓弧齒輪數(shù)字模型，用標(biāo)準(zhǔn)齒條輪廓展成雙圓弧齒輪齒廓，將求解的過程用MATLAB進(jìn)行編程、生成軟件，輸出三維軟件識別的.txt文件，用三維軟件讀取該文件完成建模過程。最后，采用立體視覺測量法測量齒輪零件，來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。因該方法與實(shí)際雙圓弧齒輪的加工原理相同，所構(gòu)造的三維模型可以等同于實(shí)際加工得到的齒輪，對實(shí)際加工和研究有著一定的實(shí)用價值。

1 基于嚙合原理的雙圓弧齒輪精確齒廓設(shè)計(jì)

雙圓弧齒輪精確建模技術(shù)是建立在嚙合原理的基礎(chǔ)上的，它是在基本齒條齒廓的基礎(chǔ)上通過展成而得到的，雙圓弧齒輪與標(biāo)準(zhǔn)齒條刀具的嚙合關(guān)系如圖1所示，標(biāo)準(zhǔn)齒條刀具展成雙圓弧齒輪的過程如圖2所示。雙圓弧齒輪精確齒廓設(shè)計(jì)的過程就是將齒條展成齒廓的過程采用數(shù)學(xué)方程式的形式表示，并通過求解方程式得到雙圓弧齒輪的齒廓。

圖1 雙圓弧齒輪與標(biāo)準(zhǔn)齒條刀具的嚙合關(guān)系

圖2 標(biāo)準(zhǔn)齒條刀具展成雙圓弧齒輪的過程

對于雙圓弧齒輪精確模型的建立，首先需要建立基本齒條刀具齒廓的數(shù)學(xué)方程式。GB/T12759—1991標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了雙圓弧齒輪基本齒條在法向平面的齒廓，基本齒條刀具齒廓是與其相共軛的齒廓。如圖3所示，通過標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的雙圓弧齒輪基本齒條齒廓，繪制出基本齒條刀具齒廓，此基本齒條刀具齒廓就是滾刀的法截面齒廓。凹凸曲面是由齒條刀具上的兩個圓弧曲面通過展成運(yùn)動形成的，這兩個圓弧曲面投影在平面上分別是圓弧曲線1和圓弧曲線3。

圖3 雙圓弧齒輪基本齒條齒廓及其幾何參數(shù)

圖3中的三條圓弧曲線可用向量方程表示如下：

(1)

其中：r1為齒條齒廓上的點(diǎn)向量;xi和yi為圓弧曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；ri為圓弧曲線的半徑；ai，bi為三條圓弧曲線中心；θ為圓弧曲線變量，與實(shí)際所取的圓弧段有關(guān)。假設(shè)雙圓弧齒輪的螺旋角為β，將公式(1)進(jìn)行投影就得到端面齒廓：

(2)

在空間嚙合過程中，為了保證連續(xù)、平穩(wěn)的傳動，齒條齒面和齒輪齒面在任意時刻都是相切接觸的，切點(diǎn)處存在公共的切平面及公法線n，而切點(diǎn)處的相對運(yùn)動速度v12必然和法線n垂直，這樣才能保證兩個齒面能夠連續(xù)地滑動接觸。基于展成原理，接觸點(diǎn)處必須滿足下面的條件：

f(v,n)=v12·n=0.

(3)

求解雙圓弧齒輪的齒廓需要建立齒條坐標(biāo)系與齒輪坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。如圖1所示，初始時，齒條坐標(biāo)系S1(O1,X1,Y1)與機(jī)架坐標(biāo)系Sf(Of,Xf,Yf)重合，一段時間后，齒條坐標(biāo)系沿節(jié)線移動了距離L，同時齒輪坐標(biāo)系S2(O2,X2,Y2)沿節(jié)圓中心轉(zhuǎn)過了角度φ。從坐標(biāo)系S1到S2的變換矩陣可表示如下：

r2=MφMLr1.

(4)

聯(lián)立公式(2)和公式(3)，可求得：

θ=f(φ).

(5)

將公式(5)代入公式(4)便可求得雙圓弧齒輪齒面上的點(diǎn)：

(6)

2 雙圓弧齒輪精確齒面生成程序的編制

對于第1節(jié)所推導(dǎo)的雙圓弧齒輪端面齒廓方程(6)，在進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用時一般不需要解出方程的解析解，而是通過數(shù)值方法在規(guī)定的定義域內(nèi)進(jìn)行求解。采用數(shù)值離散的方法求解步驟如下:

(1) 將θ在定義域內(nèi)進(jìn)行離散；

(2) 求解對應(yīng)于某一θ的φ角；

(3) 求解與之對應(yīng)的L，將θ、φ和L代入公式(6)；

(4) 求解下一個θ點(diǎn)，直到完成整個齒面的創(chuàng)建。

將離散化數(shù)值求解過程用MATLAB進(jìn)行編程，并界面化，生成的軟件界面如圖4所示。

圖4 雙圓弧齒輪設(shè)計(jì)軟件界面

3 雙圓弧齒輪參數(shù)化建模

由自主開發(fā)的程序計(jì)算得到齒形，并輸出齒面的離散點(diǎn)，再由三維繪圖軟件生成齒輪，雙圓弧齒輪參數(shù)化建模過程如圖5所示。

圖5 雙圓弧齒輪參數(shù)化建模過程

為了更方便地生成三維模型，將程序設(shè)計(jì)成由SolidWorks2015可以識別的宏程序，利用宏程序來實(shí)現(xiàn)曲面的構(gòu)造，其部分代碼如下:

Sub main ()

Set swApp = Application.SldWorks

Set part = swApp.ActiveDoc

part.InsertCurveFileBegin

boolstatus = Part.InsertCurveFilePoint(0.0076，-0.0325，-0.0780)

……

part.InsertCurveFileEnd

End Sub

最后建立的雙圓弧齒輪組參數(shù)化模型如圖6所示。

圖6 雙圓弧齒輪組參數(shù)化模型

4 參數(shù)化模型與實(shí)物對比

為了驗(yàn)證模型與實(shí)物的一致性，采用現(xiàn)場視覺測量方法對齒輪實(shí)物進(jìn)行測量。通過激光掃描得到齒輪實(shí)物的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，并將測量得到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)與本文所建立的三維模型相比較，從而得到模型與實(shí)物的相符合程度。齒輪的三維模型是基于齒輪加工刀具的實(shí)際參數(shù)來計(jì)算和建立的，避免了實(shí)際刀具與標(biāo)準(zhǔn)刀具的差異而帶來的模型誤差。雙圓弧齒輪現(xiàn)場測量過程和結(jié)果如圖7所示。

圖7 雙圓弧齒輪的現(xiàn)場測量過程和結(jié)果

利用相位和立體視覺技術(shù)對齒輪表面輪廓進(jìn)行測量，通過與模型比較，兩者的齒廓偏差在20 μm以內(nèi)，兩者整個齒面相符合程度很高。測量結(jié)果驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。

5 結(jié)論

本文在平面展成原理的基礎(chǔ)上建立了雙圓弧齒輪齒面數(shù)學(xué)方程，編寫了齒輪設(shè)計(jì)軟件，并詳細(xì)地介紹了雙圓弧齒輪精確三維建模的過程，最后，在三維模型的基礎(chǔ)上采用視覺測量法對齒輪實(shí)物進(jìn)行了測量。通過對比實(shí)物與模型，驗(yàn)證了建模方法的正確性。此方法具有通用性，不僅適用于標(biāo)準(zhǔn)齒廓的雙圓弧齒輪，也適用于定制的非標(biāo)齒輪。本文的研究成果為雙圓弧齒輪的檢驗(yàn)評定、力學(xué)分析及動態(tài)仿真提供了準(zhǔn)確的三維模型。