多措并舉：讓學生的數學智慧自然生成

摘要：在“分數的意義”教學中，要引領學生在多元表征中內化分數的份數定義，在數形結合中明確分數的雙重“身份”，在變式對比中巧妙完善分數概念的外延，在正向遷移中建構分數雙重身份的相應解題模型，在一題多解與算法優化中強化分數的運算意義。以此有效地促進數學概念的內化，實現知識與智慧的自然生長，提升學生的理性思維，培養學生的核心素養。

關鍵詞：多元表征;數形結合;變式對比;正向遷移;算法優化

人教版教材對分數五種意義的教學進行了精心的安排與合理的布置。最新審定的人教版教材將“分數五種意義的教學”分為三個階段進行教學，其中第二階段的“分數的意義與性質、分數的加減運算”是五年級下冊的內容，它是在三年級上冊分別教學了一個物體的幾分之一（幾）和一群物體的幾分之一（幾）的基礎上進行教學的，其中就涉及到了分數五種不同意義中的前四種，即關系（部分與整體的關系、兩個同類量之間的關系）、商（分數與除法的關系）、直線上的分數，以及分數加減法運算等。第三階段即六年級安排的認識“比”和分數的乘除法運算。實踐中我發現，目前學生“分數的意義”學習效率較低，其主要原因一是教師沒有引導學生對分數的兩種身份（表示分率或數量）建構清晰的認識和相應的解題模型，二是沒有很好地引領學生在變式、對比中打破原有認知圖式的束縛，實現“分數的意義”在更高層面上的知識順應與重構。浙江省特級教師俞正強認為：“解決之道是讓學生先深刻經歷關于量的分數的認識，諗熟之后，再經歷關于分率的分數的認識。在此基礎上比較兩個認識的差別，以此解決量與分率的混淆問題。”

一、在多元表征中內化分數的份數定義

教學中，我鼓勵學生用不同的表征方式讓具象的分數抽象化，讓抽象的分數形象化，并且把不同表征形式聯系起來，體現轉換，促使學生真正理解分數的概念。

在教學人教版《義務教育教科書·數學》五年級下冊“分數的意義”時，為了讓學生真正內化“分數表示部分與整體的關系”這一數學模型，我們引領學生開展了以下的表征活動。

（一）看圖說分數的含義，在激活與喚醒中積累豐富的表象

先出示平均分的情境圖，讓學生說說怎樣可以得到以下的分數，是怎么想的。引導學生完整回答如下：

1.把一個月餅平均分成（4）份，表示這樣的（1）份就是它的[14];

2.把一盤面包平均分成（4）份，表示這樣的（3）份就是它的[34];

3.把一堆糖平均分成（3）份，表示這樣的（2）份就是它的[23];

4.把一堆糖平均分成（6）份，表示這樣的（5）份就是它的[56]。

認識了單位“1”后，讓學生再次看著圖和分數說說剛才四個分數，分別是把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的幾份。

（二）看分數說含義，在逐步抽象中自然生成“分數的意義”

先看圖寫分數，完成教材第47頁的第1～3題，在實踐中豐富學習經驗。讓學生看著4個抽象的分數，在頭腦里想象相應的圖形，并說一說它們各自的含義。學生回答如下：

1.[34]表示把單位“1”平均分成四份，表示這樣的三份;

2.[（_）8]表示把單位“1”平均分成八份，表示這樣的一份或幾份;

3.[3（_）]表示把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的三份;

4.[（_）（_）]表示把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份。

在追問中學生自然概括出分數的意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫做分數。

（三）看分數涂顏色，通過由抽象到形象的外化活動深刻理解分數的份數定義

學生之前一直在“說分數”，這時可以提問他們：“你會‘畫分數嗎？”讓學生完成教材上第47頁的第4題“按要求涂色。涂完后，很據實際情況，繼續提問：“有同學將花朵剩余的三分之二和氣球剩余的二分之一都涂上了喜歡的黃色。黃色的花和黃色的氣球都各有6個，為什么各自對應的分數卻不同呢？”

這一問使學生明白：雖然黃色的花和黃色的氣球都各有6個，但它們各自所屬的整體不一樣，即每個單位“1”所含的物體總個數不同，平均分的份數和取的份數也不同，所以對應的分數也不同。

在以上過程中，我有意識地引領學生借助圖形表征、情境表征、言語表征、符號表征等，經歷了由具體到抽象再到具體的多元表征過程，使得有關分數意義的鮮活表象與抽象符號間建立起了“非人為”的實質性聯系，從而真正實現了分數概念的意義建構。

二、在數形結合中明確分數的雙重“身份”

我國著名的數學家華羅庚說：“形缺數時難入微，數缺形時少直觀。” 面對一個比較復雜抽象的數學概念，如果我們能借助幾何直觀，用畫圖的辦法把它描述刻畫出來，抽象難懂的概念會立刻變得簡明、形象，更利于理解與內化。

如在教學“分數的意義”第一課時后半段，我借助畫圖對比和動態演示，引導學生明確了分數的兩種“身份”：表示具體數量或倍比關系。

（一）說生活中分數的具體意義，完善分數“份數定義”的內涵

出示題目：五年級一班學生中，會打乒乓球的占[59]。

生：把全班人數看作單位“1”，平均分成9份，會打乒乓球的人數有這樣的5份。

師：我們可以用一條線段來表示總人數，將它平均分成9份，其中的5份表示打乒乓球的人數。可見，這里的分數表示的是一個數量中部分與整體的關系。（如圖1）

生：（齊讀）分數可以表示部分與整體的關系。

這時，我出示過渡問題：分數還可以表示怎樣的關系呢？通過研究學生會發現，分數既可以表示部分與整體的關系，又可以表示兩個量之間的關系。這時，又可以順勢提出一個相關的概念：表示關系的分數還可以稱為分率。

（二）用直線上的點表示分數，在幾何直觀中滲透分數的測量意義

在學生了解了分數的內涵之后，還可以繼續延伸：其實分數還可以用直線上的點的來表示。出示題目：若把直線上從0到1的這一段看成單位“1”，圖2中把單位“1”平均分成了幾份？你能填出相應的分數嗎？獨自想一想、填一填。

可以啟發學生：括號里的分數，還可以怎樣填？你是怎么想的？這樣，他們的思維被激活了，順勢就可以得出結論：表示整數1的點，用[12]作為計數單位，是[22];用[13]作為計數單位，是[33]，等等。用不同的分數單位來測量同一個對象，得到的分數是不一樣的，這是真正的數學思維。

（三）在首尾互應中巧妙拓展，明晰分數的兩種“身份”

分率與數量是數形結合中分數的雙重“身份”，在本節課的教學中，引導學生明晰分數的這兩種“身份”，是教學的重點和難點內容之一。可以通過分數的含義和表示入手，強化學生對分率與數量的認知。使學生徹底明確分數的兩種“身份。”

著名數學教育家張奠宙認為：“分數的份數定義可以作為起點，但是，不宜過分強調，應該迅速向更抽象的分數定義轉移。”我發現，通過以上的直觀教學，不僅幫助學生成功地內化了分數的“份數”定義，明確了分數可以表示同一量中部分與整體的關系或兩個同類量之間的關系，還借助直線上的點讓學生感受了更抽象的表示測量意義的分數，培養了學生的抽象思維、發散思維與創新思維;同時，在多媒體的直觀演示中，讓學生一目了然、易如反掌地認識到分數還表示具體數量。通過巧妙設疑，激發他們去研究下節課要學習的分數與除法的關系，滲透了分數的商定義，可謂一舉多得。

三、 在變式與對比中完善分數概念的外延

數學家開普勒說：“數學就是研究千變萬化中不變的規律。”教師針對學生學習上的難點或易混淆的認知誤區，有意創設一些變與不變的對比情境，可以幫助學生深刻領悟分數意義的內涵與外延，提升靈活運用知識的能力，實現思維的通透和知識的整體建構。

如在教學“分數的份數定義”（即分數表示部分與整體的關系）時，很多學生對單位“1”概念的相對性與變化性理解不透，同時“在這一層面的意義中，在解釋大于1的分數時存在困難。”最典型的表現就是學生在完成類似圖3的練習時常將假分數寫成了真分數。因為他們對誰是單位“1”搞不清，不明白此圖中是將每一個圖形都看作單位“1”，共有2個單位“1”，而大括號表示求2個單位“1”中涂色部分共有幾個幾分之一。同時，學生還沒有清醒地認識到，只有用一個集合圏將許多物體圈在一起時才表示是將一群物體看作單位“1”的。

為了幫助學生突破以上的學習難點，澄清認知上的誤區，我在教學真分數和假分數時創設了以下兩個重要環節。

（一）說說身邊的分數，在變與不變中感受單位“1”的變化性與相對性

我提出問題：如果將1個手指看作一個計數單位，那一只手中的手指可以用數幾來表示？

生：用5表示。

師：如果將5個手指看作一個計數單位，那其中的一個手指只能用多少來表示？

生：[15]。

師：如果將10個手指看作單位“1”，那其中的一個手指只能用多少來表示？

生：[110]。

師：以此類推，教室里的每個人相當于誰的幾分之一？能說出不同的分數嗎？

生：我們每個人相當于一桌人的二分之一。

生：我們每個人相當于4人合作小組的四分之一。

生：我們每個人相當于一豎排人數的七分之一。

生：我們每個人相當于一大組人數的十四分之一。

生：我們每個人相當于全班人數的五十六分之一。

生：我們每個人相當于全年級人數的三百三十二分之一。

師：每一份里都是一個人，為什么會得到不同的分數呢？

生：單位“1”不同。

這時應當明確地做出總結：單位“1”不同，就是計數標準不同。同一對象用不同的計數單位來計量，得到的結果也就不同。

（二）用分數表示涂色部分，在觀察符號的異同中打破“分數總是小于1”的原有認知

我提出問題：請觀察圖4，它們分別是將幾個大長方形看作單位“1”的？涂色部分如何表示？你是怎么想的？

生：第一個圖是用一個集合圈將2個長方形圈在一起了，表示將2個長方形看作一個整體也就是單位“1”，涂色部分是2等份中的1等份，所以用[12]表示。

師：圖中有集合圈嗎？可見，這里是把什么看作單位“1”的？有幾個 “1”？

生：這里沒有集體圈，所以是將每個長方形都看作單位“1”，有2個“1”。

師：圖中的大括號表示什么意思？涂色部分一共是幾分之幾？

生：大括號表示將左右兩邊涂色部分合并起來看，一共有多少個四分之一？我數了一下，是7個四分之一，是[74]。

生：我們也可以用加法算，[44]+[34]=[74]。

在以上的過程中，我沒有像教材中安排的那樣，直接讓學生在簡單的涂色操作中認識真分數與假分數，而是緊扣知識的內核和學生的思維誤區，先明確產生分數的關鍵前提——誰是單位“1”， 單位“1”不同，同一對象的計數結果也是不同的。在巧妙的對比情境中，學生明晰了有集合圈的是將一群物體看作單位“1”，沒有集合圈的是將每一個物體看作單位“1”;在數一數或算一算中，學生創造出了小于1的真分數和等于1或大于1的假分數，從而成功地打破了“分數只能小于1”的認知局限，豐富了分數的外延，實現了有關分數意義的認知拓展與重構。

四、在正向遷移中建構分數雙重身份的相應解題模型

學生學習新知的時候，如果這個新知與原來的經驗相吻合的，就容易接受;如果這個新知需要另起爐灶，那么學習就相對慢一點。因此，我們要尋找到學生學習分數的生長點與銜接點。其實，分數既可以表示關系又可以表示數量的特性，他們在整數的身上就能找到。而且，利用整數除法建構的求每份數量和兩量倍比關系的數學模型，可以很完美地遷移到分數意義的實際運用中來，從而突破學習分數意義的另一大難點——清晰地分辨出分數的兩種“身份”并用固定的數學模型分別求出表示每份分率的分數和表示每份數量的分數。

為此，我在教學“分數與除法的關系”時，先按教材的安排完成其第49頁例1和例2的教學，引導學生建構數學模型a÷b=[ab];之后，引導學生及時將所學的知識與整數除法中的相關知識進行橫向地勾連與梳理，并引導學生建構了相關的除法模型。

（一）緊扣“平均分”，建構求每份數量與每份分率的數學模型

在教學時，要有內容的銜接和過渡：通過前面的學習，我們知道了1個月餅的[14]是[14]個，3個月餅的[14]是[34]個。這里的[14]個和[34]個是帶單位的分數，表示的是具體數量，而不帶單位的分數[14]表示的是部分與整體的關系，表示關系的分數我們也稱為分率。其實，我們之前學習的整數也有這樣的特性。然后，提出相關問題：比如，把8塊餅平均分給4人，每人幾塊餅？8塊餅是4塊餅的幾倍？如何列式？

生：8÷4=2（塊），8÷4=2。

師：這里的2個“2”，哪個表示具體數量，哪個表示兩個量的倍比關系？

生：2塊餅表示具體數量，2倍表示的是8塊餅與4塊餅的倍比關系。

師：在整數王國里，求每份數量或是求兩量之間的倍比關系，都運用了什么運算來求的？

生：都是用除法來計算的。

師：這一方法同樣適用于分數王國。比如，“把3塊餅平均分給4個小朋友，每人分得幾分之幾塊？每人分得這些餅的幾分之幾？”，這里的兩個問題中，哪個是求每份分率，哪個是求每份數量？怎么看出來的？

生：第一問求的是每份數量，因為后面帶單位，第二問求的是每份分率，后面沒有單位。

師：如何用除法來解答？數量關系是怎樣的？

生：總塊數÷總人數=每人塊數，3÷4=[34]（塊）。

這里的第一個問題是求每份數量，可以引導學生抓住問題中的關鍵詞，從后往前找出相應的關系式。然后，應進行小結：跟整數一樣，分數可以表示數量，也可以表示分率，總數量÷總份數=每份數量，1份數÷總份數=每份分率。

（二）緊扣“倍比關系”，建構“求一個數是另一個數的幾分之幾”的模型

人教版教材五年級下冊“分數的意義”中的例3，是求一個數是另一個數的幾分之幾的實際問題。為了讓學生借助 “倍的認識”來同化“求一個數是另一個數的幾分之幾”的新知識，我做了如下的精心安排。

師：請看，將圖5中的黃彩帶長度看作一份，紅彩帶有這樣的幾份？紅彩帶長度是黃彩帶的幾倍？如何列式？

生：把黃彩帶的長度看作1份，紅彩帶有這樣的4份，紅彩帶長度是黃彩帶的4倍，4÷1=4。

師：4÷1=4是根據怎樣的數量關系來列式的？

生：紅彩帶的份數÷黃彩帶的份數=倍數。

師：如果知道紅彩帶是4米，黃彩帶是1米，紅彩帶長度還是黃彩帶的4倍嗎？如何列式？

生：4÷1=4，用紅彩帶的米數÷黃彩帶的米數=倍數。

師：這是我們在學習整數除法時就掌握的舊知識。以此類推，如何求黃彩帶的長是紅彩帶的幾分之幾？

生：1÷4=[14]，用黃彩帶的米數÷紅彩帶的米數=分率。

生：也可以說成是用黃彩帶的份數÷紅彩帶的份數=分率。

師：這里的分數[14]表示具體數量還是表示兩量間的倍比關系？怎么想的？

生：這里的分數表示的兩量間的倍比關系，因為這個分數后面沒有單位。

師：對比一下我們會發現，求一個數是另一個數的幾倍或幾分之幾，都可以怎么計算？

生：都可以用除法來計算。

師：我們可以抓住問題中的關鍵詞，從前往后找出相應的關系式。

紅彩帶的長度是黃彩帶的幾倍？

紅彩帶的份數÷黃彩帶的份數=倍數;

紅彩帶的米數÷黃彩帶的米數=倍數。

黃彩帶的長是紅彩帶的幾分之幾？

黃彩帶的份數÷紅彩帶的份數=分率;

黃彩帶的米數÷紅彩帶的米數=分率。

師：根據以上的解題方法，你能完成教材中第50頁的例3和做一做中的第2題嗎？請寫出相應的數量關系和算式。

求表示兩個量間倍比關系的分率時，我們可以像“求a是b的幾倍”那樣，抓住問題中的關鍵詞，從前往后找出相應的關系式，即前量份數÷后量份數=分率，或，前量數量÷后量數量=分率。

在教學分數的意義中，有這樣一個問題：把12塊糖平均分給6個小朋友，每人幾塊？12塊是2塊的幾倍？這一問題學生對答如流，可為什么變為“把5塊糖平均分給6個小朋友，每人幾分之幾塊？每人分得總塊數的幾分之幾”，學生就不知所措了呢？這里只是數據變了，數量關系并沒有改變。設身處地地換位思考后我發現，整數除法中所謂的解答正確，學生多數是根據數的大小來直接判斷的，是用大數除以小數。可是到了分數領域里，靠直覺層面的“懵”是全然行不通的，要想做對，必須對每一個問題的數量關系有準確地把握。我發現，跟數學思維中的順推與逆推一樣，求每份數量時都要抓住問題中的關鍵詞，按從后往前的思路找關系式。因為最終問題是求每份數量，就要用相應的總數量除以總份數;而求兩個量之間的分率跟求兩個量之間的倍數關系一樣，要用前量除以后量，按從前往后的順序來找關系式。通過抓問題、圈關鍵詞、辨明分率與數量、明確思維方向找準關系式，學生對此類問題的認識頓時徹悟了。至此，利用分數與除法的關系來解決的實際問題，跟整數除法中的歸一問題和倍數問題等合并建模，從而讓學生認識到整數與分數之間的本質聯系，使得數的龐大體系與相應的解題模型在學生心中自然生長，進而成功地實現了數學知識的整體建構和數學智慧地自然提升。

總之，我引領學生在多元表征中內化分數的“份數”定義，在數形結合中明確分數的雙重“身份”，在變式對比中巧妙完善分數的的外延，在正向遷移中建構分數雙重身份的相應解題模型，在一題多解與算法優化中強化分數的運算意義。這樣，有效地促進了分數概念的內化，實現了知識與智慧的自然生長，提升了學生的理性思維能力，培養了學生的數學核心素養。

參考文獻：

[1] 鄭毓信.分數的教學與數學思維[J].小學教學，2010 （5）.

[2]俞正強.“分數的認識”怎么教[J].小學數學教師，2018（9）.

[3]馮桂群.引領多元表征，培育數學思維[J].課程教材教學研究（小教研究），2019（5）.

（責任編輯：楊強）