剪切氣流中無黏液體橫向射流破碎機理

2021-08-03 03:45:56鄧甜李佳周陳偉

航空學報 2021年7期

鄧甜，李佳周，陳偉

中國民航大學中歐航空工程師學院，天津 300300

高超聲速飛行器成為世界各國的熱門研究問題，液體橫向噴霧射流是這類飛行動力裝置中典型的燃油霧化技術[1]。液體噴射入橫向氣流場中，在氣動力及液體不穩定性作用下破碎成液滴。液滴直徑和速度分布影響液霧穿透和蒸發速率，直接影響燃燒室的性能。所以世界各國研究者們圍繞液體橫向射流的破碎霧化機理問題進行了大量的實驗、理論和數值研究。而液體燃料的霧化過程、特別是初始霧化過程非常復雜，至今無法建立準確的初始霧化模型。因此需要從機理入手，對液體橫向射流的破碎過程進行深入的研究，為后續進一步建立半經驗半理論霧化模型，建立液體燃料橫向射流提供準確的邊界，幫助設計和預估燃燒室燃燒性能奠定基礎。

對于橫向射流破碎現象的理論分析可以歸納為時均力分析和脈動力(表面波)分析。早在20世紀60年代，Adelberg[2]就分析了高速橫向氣流中液體射流表面波的運動及發展，認為波是導致破碎的主要原因，且表面張力誘發的小波最先增長，當其達到某一尺度時將以加速波的形式增長。Inamura[3]建立了亞聲速液體橫向射流的半經驗模型，并對射流軌跡進行預測。該模型基于Clark[4]的液滴破碎模型，忽略表面波影響，假定液體射流的橫截面在氣動力的作用下由圓形變形為橢圓形，且截面面積不變。Mashayek等[5-7]在此模型的基礎上考慮了液柱彎曲造成氣流作用到液柱上角度的變化，并應用液滴破碎經驗公式計算液柱的質量損失，提高了模型的精度。預測結果與實驗得到液柱橫截面的形變和軌跡值相符性較好，通過計算得到的時均阻力系數值位于1.6～1.7范圍。同時，由液滴的剝離使液柱的質量發生變化對射流的深度有很大的影響?？梢园l現在橫向射流中，表面波，即不穩定性，對破碎至關重要。

關于射流破碎過程的不穩定性理論分析，最早起源于Rayleigh[8]對低速、無黏圓柱液體自由射流進行的研究。他發現對于無黏及層流狀況下液體射流的軸對稱波，僅當射流的周長小于波長時，表面張力的作用使射流變得不穩定，且不穩定的擾動將隨著射流發展而增長。Yooh和Heister[9]繼承了Rayleigh的理論并增加了液體射流黏性的影響因素，得出了適用性更高的低速射流破碎理論。該結果與Rayleigh的分析結果很接近，且表明黏性效果只減小不穩定表面波的增長率，而不改變波長。此后，Sterling和Sleicher[10]重新考慮了射流速度分布的影響，推導出有黏二維自由射流色散方程，同時給出了射流完整段的長度與增長率的關系式和Oh數的影響。在此基礎上，Reitz和Bracco[11]提出了更為通用的軸對稱二維圓柱射流的色散方程，該理論不僅考慮了液體黏性，同時假設液體的速度在徑向上具有梯度(但最終的方程中將該速度簡化為常量)，充分考慮了速度分布的影響。以上結論都是基于軸對稱假設得出的，Yang[12]將其擴展到非對稱模態，推導出了三維無黏射流色散方程，其中的角變量提出能夠很好解釋實驗中出現的蛇形表面波，同時Yang討論了該色散關系中的臨界韋伯數以及增長率與不同階角變模態的影響。為了了解空氣霧化噴嘴中環形膜射流破碎機理，Panchangnula等[13]對內外不同氣流速度的環膜射流進行了分析，并考慮了旋流對射流穩定性的影響，得到三維無黏環形射流色散關系式，通過數值計算給出了有旋和無旋的條件下的擾動增長率與韋伯數和周向與軸向波數的關系。

綜上所述，表面波(擾動波)對橫向氣流中液體射流的破碎起著至關重要的作用。因此，本文采用線性不穩定性分析法(Linear Instability Analysis)對二維剪切橫向氣流中的液體射流破碎機理進行研究。

1 理論建模

1.1 模型建立

首先考慮均勻橫向氣流的情況，即密度為ρl、表面張力系數為σ、橫截面半徑為a的圓柱液體射流，以速度Ul噴入均勻橫向氣流場中，建立柱坐標系，r、θ和z分別為徑向、周向和軸向，如圖1所示。其中，橫向氣流的來流速度為Ug，氣體密度為ρg。假定：氣體和液體均為無黏、不可壓流體，且忽略重力影響。噴嘴出口中心為坐標原點。射流橫截面可以看作典型的氣體圓柱繞流。液體表面波在射流初始段，即噴嘴出口附近形成，隨射流向下傳播，且波長基本保持不變[14-15]。對于初始段而言，液柱的彎曲與射流橫截面的形變基本上可以忽略。

圖1 液體橫向射流示意圖

考慮無黏不可壓液體通過圓形噴嘴射入無黏橫向氣流射流中的情況。氣流基本流為(pj,Uj),j=1,2分別代表液相和氣相。對柱坐標下流體的控制方程即歐拉方程作小擾動(pj+p′j,Uj+Vj)并進行線性化處理有[16]：

(1)

j=1,2

(2)

在射流初始段，氣體流過射流可近似看作氣體圓柱繞流，因此氣體的速度分量vg和wg可以分別表示為

(3)

(4)

式中：α為繞流的圓周角，如圖2所示。

圖2 液體橫向射流橫截面

當射流受到一個微弱擾動，射流的邊界以正則模的形式可以表示為[17]

r=a+η(θ,z,t)=a+η0ei(kz+mθ)+ωt

(5)

式中：η為擾動幅度;η0為初始擾動幅度;t為時間;k和m分別為軸向(z軸方向)和周向(θ軸方向)擾動的波數;ω為復數,可以表示為ω=ωR+iωI，實部ωR為擾動波的增長率，虛部ωI為擾動波的頻率。

由于流體初始沒有漩渦，因此可以認定為無旋流動，即

(6)

式中：Φ為勢函數。射流和氣流的勢函數可以寫為

Φl=Ulz+Φ′l

(7)

(8)

式中:上標′表示擾動。

同樣，勢函數還可以表示為

(9)

(10)

擾動勢函數正則模形式為

Φ′l=φl(r)ei(kz+mθ)+ωt

(11)

Φ′g=φg(r)ei(kz+mθ)+ωt

(12)

式中：φj(r)(j=1,2)必須滿足常微分方程(OED)的邊界條件，即當r→0時,φl(r)→0；當r→∞時,φg(r)→0。

將式(7)、式(8)、式(11)和式(12)代入式(6)中，有

Φ′l=AIm(kr)ei(kz+mθ)+ωt

(13)

Φ′g=BKm(kr)ei(kz+mθ)+ωt

(14)

式中：Im(kr)與Km(kr)分別表示第1類與第2類修正的m階貝塞爾函數；A和B為常數，可由邊界條件進行確定。將擾動速度代入式(2)中，得到壓力擾動量為

p′l=-A[ωIm(kr)+UlikIm(kr)]ρlei(kz+mθ)+ωt

(15)

(16)

在液體與氣體的界面上，Φ′l和Φ′g需要滿足運動邊界條件以及動力邊界條件。

運動邊界：流體保持質量守恒，即流體無法穿透相界面，因此，

(17)

(18)

動力邊界條件：應力在邊界面上連續，即

pl-pg=Δp

(19)

式中：Δp為壓力躍變，由液體表面張力誘發而產生。射流液氣界面上的氣體靜壓力pg可以表示為[18]

(20)

式中：p∞為無窮遠處未受擾動的靜壓力。

將式(20)代入式(19)中，動力邊界條件變為

(21)

由于在射流的初始段，氣動力剛剛作用到液柱上，而液柱形變需要一段時間。因此，假定射流液柱的橫截面未發生明顯的形變。

假定液柱所受氣動力影響的徑向有效厚度為h，其值應小于或等于射流半徑a。表面張力及圓柱繞流產生的壓力梯度作用到射流液柱上，形成加速度，即

(22)

式中：g(α)為氣動力形成的加速度，該加速度為關于繞流圓周角α的函數。

將瞬態值代入動力邊界中，并減去時均邊界，可以得到擾動量的動力邊界：

(p′l-p′g)-Δp′=ρlg(α)η

(23)

由式(22)和式(23)可得

(24)

在界面r=a+η(θ,z,t)上，擾動量誘導的瞬態表面張力可以表示為

(25)

通過邊界條件式(17)、式(18)、式(24)和非定常伯努利方程可以得到關于未知常數η0、A和B的方程，3個未知數有非零解的必要條件為其系數行列式為零。設特征長度為a、特征時間為a/Ul、氣液速度比Γ=Ug/Ul、氣液密度比Q=ρg/ρl，進而得到無量綱形式的液體橫向射流的色散方程：

(26)

式中：s=ak;I′m(s)和K′m(s)分別為Im(s)和Km(s)的導數。

1.2 方程驗證與求解

對于色散方程式(26)，當Ug=0時，即橫向氣流速度為零，色散方程簡化為

(27)

式(27)與Mashayek和Ashgriz[6]推導的自由射流的色散方程一致(氣流速度為零)。

色散方程式(26)有一對共軛的復數根，其中，復根的實部ωR為擾動波的增長率，是線性穩定性分析中重要的參數。把ω=ωR+iωI代入方程式(26)中，可將方程拆成實部和虛部2個方程，求解出增長率ωR：

(28)

1.3 二維剪切氣流表征

實際工況中，氣流往往是非均勻且復雜多變的。下文從二維剪切橫向氣流入手，探究氣流的非均勻性對射流破碎的影響。二維剪切氣流為具有線性速度梯度的氣流，其速度剖面形狀如圖3所示，速度型為

圖3 剪切速度梯度示意圖

Ug(z)=b1z+b2

(29)

式中：b1和b2為常量,若b1>0，則該氣流具有正速度梯度；若b1<0，則該氣流具有負速度梯度。將其無量綱化為

(30)

式中：L為氣流場寬度;b3和b4為常數。因此有

(31)

(32)

可見，相比于均勻氣流，剪切氣流主要對氣體韋伯數Weg(z)和氣液速度比Γ(z)帶來影響。

2 結果分析

由1.2節中式(28)可以看出，橫向氣流中液體射流表面波的增長率受軸向波數s=ka、橫向氣流速度Ug、液體射流速度Ul、有效厚度h、繞流圓周角α和周向波數m等因素的影響?，F在將增長率分解為3個部分，如式(28)所標示，其中，A1是由速度剪切誘導產生;A2是由液體表面張力誘導產生;A3則是由橫向氣動力誘導產生，即，A1表示K-H不穩定性，A2表示Rayleigh不穩定性，A3表示R-T不穩定性。

Wu等[19]的實驗中發現，迎風面的表面波最為顯著，即α=0,m=0。下面的計算與討論均針對迎風面表面波，則式(28)簡化為

(33)

由貝塞爾函數的性質代入式(33)中，得到

(34)

貝塞爾函數I0(x)單調遞增，故I1(x)=I′0(x)為正值；K0(x)單調遞減，故K1(x)=-K′0(x)也為正值。則對于射流表面波無量綱增長率ωR,A1與A3項均大于零，這表明速度剪切和橫向氣動力將促進表面波形成及發展，即K-H不穩定性與R-T不穩定性必然存在。對于A2，當s<1時，A2項的值大于零，表面張力也會促發射流表面波，Rayleigh不穩性存在；而當s>1時，A2項的值小于零，表面張力會抑制射流表面波的形成與發展，此時無Rayleigh不穩性。由此發現，隨無量綱波數s從0增大到1時，3種不穩定性均存在，射流擾動的增長率變化很快；而當無量綱波數s大于1以后，Rayleigh不穩性消失，表面張力起抑制作用，將減緩表面波的發展。

在射流的迎風面，即α=0,m=0時，有

(35)

從式(35)中可以看出，與均勻橫向氣流相比，在射流迎風面剪切橫向氣流改變A3項，即影響橫向氣動力誘導對射流表面波的作用。

對式(35)求導可以得到射流表面波的最大增長率及最不穩定波數：

(36)

(37)

因此由式(37)可得到最不穩定表面波波長為

(38)

式中：氣體韋伯數的所采用特征長度為射流半徑a，區別于實驗中通常采用的直徑。

2.1 均勻氣流中液體射流不穩定性分析

2.1.1 氣體韋伯數的影響

由式(28)可以看出，氣體韋伯數僅對增長率中的A3部分有影響。氣體韋伯數的特征長度選取為射流半徑a，有效厚度h設定為a/8[20-21]，射流相關參數詳見表1。圖4中給出了射流無量綱增長率在不同氣體韋伯數下隨軸向波數的變化曲線，圖4(a)中展示了小韋伯數(Weg≤8)工況，圖4(b)展示的為大韋伯數的工況(Weg≥15)。由圖中可以看出，當氣體韋伯數Weg=0時，表面波最大的增長率所對應的最不穩定波數為0.76，該值稍大于Rayleigh[8]得到的最不穩定波數0.697，因為本文的模型推導中考慮了氣項，而Rayleigh的分析中忽略了氣體的影響，即ρg=0。由此可見，增加考慮氣體會減小射流的最佳波長。同時，隨氣體韋伯數的增大，橫向射流不穩定波數的區間及相應的增長率均顯著增加。當氣體韋伯數從0增大到120時，軸向無量綱增長率最大達到22.5，不穩定波數的上限值(圖4橫坐標)從1.3 增大到21.1。從以上的分析均表明橫向氣動力的增大會增加射流的不穩定性并加速擾動波的增長，即增大橫向氣流速度會加速射流破碎。

表1 射流與氣體相關參數

圖4 無量綱增長率隨波數的變化

對于射流的表面波，具有最大增長率就意味著該波發展最快，最不穩定；相對應的波數即為最佳波數。因此，具有最佳波數的波主導射流的表面波，并對射流的破碎起重要的作用[13,20]。氣體韋伯數越大，射流液柱上的表面波的波數越大，波長越小，這與Wu[19]、Sallam[20]和Mazallon[21]等的實驗觀測一致。

由此得出橫向氣流速度較大時，射流的表面波振幅的增長速率更快，射流更易破碎。所以，R-T不穩定性為液體橫向射流破碎過程中重要的因素。

2.1.2 液體韋伯數的影響

由式(28)和第1節分析可以看出，液體韋伯數對射流表面波的增長率同樣有顯著影響。不同液體韋伯數下，橫向射流表面波的增長率隨波數的變化曲線如圖5所示，徑向有效厚度h為a/8，其他參數見表1。同氣體韋伯數的影響類似，增大液體韋伯數，橫向射流不穩定波數的區間及相應的增長率均顯著增大。與自由射流情況一樣，增大射流的速度會強化射流的不穩定性，使其產生小波長的擾動波，并加快振幅的增長，促進射流更快破碎。因此，K-H不穩定性同樣為橫向射流破碎中的重要因素。

圖5 增長率隨波數的變化

2.2 剪切氣流中液體射流不穩定性分析

2.2.1 速度梯度的影響

當b3>0時，氣流速度和氣體韋伯數均隨著射流的發展而逐漸增大；反之則相反。由2.1節的分析知，增大氣體韋伯數會增加射流不穩定性并加速擾動波的增長，加速射流破碎。如圖6所示，設定液體韋伯數Wel=176，保持氣體平均韋伯數Weg,avg=8，即氣流無量綱平均速度Uavg=6.2不變時，不同速度梯度b3對應的最不穩定波數及最大增長率。從圖6中可以看出，b3>0時，最不穩定波數及最大增長率在射流的發展方向逐漸增大。在噴嘴出口附近(z/L<0.2)，與均勻橫向氣流(b3=0)相比，二者的值均較小，且最大增長率上升較緩慢，不穩定波發展較慢，射流不易破碎；b3<0時，最不穩定波數及最大增長率初始時較大，尤其是b3=-8時，最佳不穩定波數是均勻橫向氣流時的1.57倍，不穩定波最大增長率也達到均勻橫向氣流時的4.6倍，這說明最不穩定波的波長更小，發展更快，射流更容易破碎。由此可見，在橫向氣流流量不變的前提下，負梯度剪切橫向氣流模式可以加速射流的破碎。

圖6 不同速度梯度下的最佳波數和最大增長率，Wel=176, Weg,avg=8

2.2.2 氣體韋伯數的影響

保持液體韋伯數Wel=176，即液體速度為Ul=5 m/s。增大氣體平均韋伯數到Weg,avg=80，即氣流無量綱平均速度Uavg=19.6，不同速度梯度時最佳波數及最大增長率的情況如圖7所示。與圖6相比，相同位置處的最佳波數及最大增長率值明顯增大。隨著氣流平均速度整體地增大，當b3的絕對值較小時，剪切氣流對不穩定波發展的影響與均勻氣流差別不大。當氣體平均韋伯數Weg,avg從8增大到80，b3=-8時，噴嘴出口軸向最佳不穩定波數由5.66增大到12.7；最大增長率由1.66增大到21.2，與均勻氣流的趨勢一致。因此，增大氣體平均韋伯數Weg,avg會增加液體射流的不穩定性，加速射流破碎。

圖7 不同速度梯度下的最佳波數和最大增長率，Wel=176, Weg,avg=80

2.2.3 液體韋伯數的影響

保持氣體平均韋伯數Weg,avg=80。增大液體韋伯數到Wel=703，即液體速度Ul=10 m/s，不同速度梯度b3值時最佳波數及最大增長率情況如圖8所示。與圖6相比，相同位置處的最佳波數及最大增長率值明顯增大。隨著射流速度的增大，當b3的絕對值較小時，橫向剪切氣流對不穩定波的發展與均勻橫向氣流差別不大。b3=-8時，噴嘴出口軸向最佳不穩定波數由12.7 增大到25.3；最大增長率由21.2增大到43.6，與均勻橫向氣流中趨勢一致。因此，增大液體韋伯數Wel會增加液體射流的不穩定性，加速射流破碎。

圖8 不同速度梯度下的最佳波數和最大增長率，Wel=703, Weg,avg=80

2.2.4 臨界動量比的影響

由式(35)可以看出，在最佳波數時，若A1(sopt)>A3(sopt)，則最不穩定波主要受速度剪切影響，即由K-H不穩定性主導；A3(sopt)>A1(sopt)，則最不穩定波主要受橫向氣動力影響，即由R-T不穩定性主導。令A1(sopt)=A3(sopt)，可解得臨界值：

(39)

根據定義，液氣韋伯數之比恰為液氣動能比q(z)，即

(40)

圖9給出了qcr與Weg的常用對數關系曲線。隨著Weg的增大，qcr逐漸減小。對該曲線進行擬合，可得

(41)

擬合相關系數為0.996。當s=sopt時，若q(z)>qcr，則A1(sopt)>A3(sopt)，此時射流破碎由K-H不穩定性主導；反之，A3(sopt)>A1(sopt)，射流破碎由R-T不穩定性主導。如圖9所示，在Weg≤10、q≤500的區域，即圖像的左下方，主要由R-T不穩定性主導射流的破碎。而Weg≤10時，橫向射流的破碎模式一般為袋式破碎，因此，R-T不穩定性為袋式破碎的主導因素。