夾層結(jié)構(gòu)屈曲模型的拓展及失效判據(jù)

2021-08-03 06:32:58曹鵬宇?？得?/span>

航空學(xué)報 2021年7期

關(guān)鍵詞：模型

曹鵬宇，?？得?/p>

北京科技大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100083

自20世紀40年代以來，夾層結(jié)構(gòu)就被廣泛地應(yīng)用于制造輕質(zhì)結(jié)構(gòu)，是航空航天、航海等重要工業(yè)領(lǐng)域中的一種常用結(jié)構(gòu)材料。尤其是在航空工業(yè)中，因其抗失穩(wěn)能力強，又能夠減輕飛機的重量，所以得到了廣泛的應(yīng)用。屈曲[1]是夾層結(jié)構(gòu)最主要的失效模式之一。

由于夾層結(jié)構(gòu)在工程上的重要性，為指導(dǎo)其結(jié)構(gòu)設(shè)計，自20世紀40年代開始，國際上進行了大量關(guān)于夾層結(jié)構(gòu)屈曲的理論研究，Allen[2]總結(jié)了早期夾層板屈曲的經(jīng)典理論。

中國自20世紀80年代起也開展了大量關(guān)于夾層結(jié)構(gòu)的理論及實驗研究，如丁運亮和劉毅[3]利用有限元技術(shù)對復(fù)合材料夾層結(jié)構(gòu)前機身進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。胡培[4]研究了飛機夾層結(jié)構(gòu)的芯層選擇方案和設(shè)計方法。在夾層結(jié)構(gòu)中，比較常用的面板材料有鋁板、纖維增強復(fù)合材料等，比較常用的芯層材料有泡沫芯層、蜂窩芯層?；诖耍瑴萚5]和王華吉[6]分別研究了泡沫夾層結(jié)構(gòu)復(fù)合材料和蜂窩夾層結(jié)構(gòu)復(fù)合材料的力學(xué)性能。在王興業(yè)[7]的著作中，詳細討論了夾層結(jié)構(gòu)的基本原理、穩(wěn)定性以及如何進行工程設(shè)計等。李汪穎等[8]針對夾層結(jié)構(gòu)聲學(xué)設(shè)計問題開展了聲輻射特性拓撲優(yōu)化研究。周華志和王志瑾[9]建立了帶有缺陷的皺褶芯材有限元模型并研究了幾何參數(shù)對M-型皺褶芯材能量吸收率的影響。陳曉和周賢賓[10]完成了夾層板精密成型數(shù)值模擬。許澤等[11]求解了彎扭載荷下夾層板的屈曲問題。

早期的學(xué)者們提出了很多經(jīng)典理論模型[2,12]，這些模型具有較大的分散性，針對不同類型的夾層板以及失效模式往往需要使用不同的模型。除此之外，由于在推導(dǎo)過程中引入了較多的假設(shè)，導(dǎo)致這些模型的精度較低，但是其形式上的簡潔便于工程師的使用。

此后的研究者嘗試建立更高精度的模型并尋找不同屈曲模式之間的聯(lián)系，進而建立一種形式上統(tǒng)一的模型。如Léotoing等[13]利用高階梁理論提出了一種同時適用于整體屈曲和3種局部屈曲模式的新模型。Cao和Niu[14]論證了采用高階梁理論對芯層建模會使得局部屈曲應(yīng)力的模擬結(jié)果存在一定偏差。Niu和Talreja[15-16]利用應(yīng)力函數(shù)法分別建立了適用于局部屈曲和整體屈曲的精確統(tǒng)一理論模型。Jasion等[17]完成了夾層梁和夾層圓板整體屈曲和局部屈曲的理論、數(shù)值及試驗研究。后來，Douville和Le Grognec[18]利用拉格朗日方程提出了一種新的模型，經(jīng)證明他們的結(jié)果與Niu[16]得到的結(jié)果是一樣的。

文獻[14-18]在解決夾層結(jié)構(gòu)的屈曲問題中采用了更精確的建模方法，提升了模型的精度并找到了各個屈曲模式間的聯(lián)系，但是尚未考慮面板在屈曲過程中的橫向剪切變形。筆者認為在局部屈曲模式下，更合理的建模方式是將面板視為由許多長度為l0的“短梁”組成，由于屈曲波長變得更短，根據(jù)Timoshenko梁理論[19]，這些“短梁”的橫向剪切效應(yīng)就不能夠隨意忽略。此外，由于復(fù)合材料層合板在夾層板面板上的應(yīng)用，因復(fù)合材料層合板相對于各向同性材料的剪切剛度更弱，橫向剪切對其造成的影響更大，面板的橫向剪切效應(yīng)更應(yīng)該受到重視。

本文首先基于彈性理論建立一個新的精確屈曲模型，并在建模過程中引入面板的橫向剪切效應(yīng)；然后，為建立高精度且形式簡單的屈曲公式，根據(jù)不同的屈曲模式化簡理論解，得到高精度且形式簡單的屈曲應(yīng)力表達式；最后，對比屈曲公式解與數(shù)值解，以期驗證建立的屈曲失效準則的精度。

1 經(jīng)典理論回顧

圖1 整體屈曲及3種局部屈曲模式

在早期的經(jīng)典模型中，Allen[2]首先給出了各向同性芯層夾層板3種局部屈曲模式下具有統(tǒng)一形式的臨界載荷表達式：

(1)

式中：σf為面板中的軸向壓應(yīng)力；上標f和c分別代表面板和芯層；B為參數(shù)，其值取決于模量比Ef/Ec和厚度比tc/tf；E和t分別為各層的拉伸模量和厚度。Plantema[12]改進了 Allen[2]的公式并在模型中引入了芯層的剪切模量：

(2)

式中：C為參數(shù)；G為剪切模量。式(2)可以應(yīng)用于具有正交各向異性芯層的夾層板(如蜂窩芯層)。Simitses和Hutchinson[20]采用經(jīng)典的彈性地基梁假設(shè)，得出關(guān)于式(2)在單邊屈曲模式下的不同形式：

(3)

式中：k為芯層作為彈性地基的彈簧剛度，k=Ec/tc；D為面板的彎曲剛度，對于梁結(jié)構(gòu)，D=EfI，其中I為梁截面關(guān)于中性軸的慣性矩。單邊屈曲模式可以認為是對稱屈曲模式的一半，因此式(3)也可以用來預(yù)測對稱屈曲模式的臨界應(yīng)力。

Allen[2]同時也建立了一種基于反對稱平面芯層假設(shè)的模型，確定了反對稱屈曲模式下的臨界應(yīng)力：

(4)

如果厚度比tc/tf?1，式(4)可簡化為

(5)

式(5)代表了一類稱為“剪切卷邊”的屈曲模式，指的是具有中等屈曲波長的屈曲模式。這類屈曲通常是由芯層的不穩(wěn)定性引起的，Davies[21]認為式(5)適用于跨度較短的夾層板。

屈曲波長定義為屈曲正弦波的一半，Allen[2]給出了半無限厚芯層夾層板的屈曲波長：

(6)

式中：νc為芯層的泊松比。對于單邊屈曲，Simitses和Hutchinson[20]采用彈性地基梁假設(shè)給出屈曲波長為

(7)

式(1)～式(7)為適用于夾層板屈曲的一些經(jīng)典模型，這些模型的特點是分散性較大，精度和適用范圍有待評估，但是形式簡單，適合于工程應(yīng)用。在工程設(shè)計中，針對不同的屈曲現(xiàn)象，設(shè)計者不得不采用不同的模型，即使對于同一個理論模型，不同的研究者對方程中的參數(shù)也取了不同的值。例如，對于式(1)中的參數(shù)B，由于模型的過度簡化，研究者們不得不采用經(jīng)驗系數(shù)B對模型進行修正。在第3節(jié)的分析中，會證實精確理論解在不同的條件下等同于經(jīng)典公式式(1)～式(5)。

2 理論解

2.1 基本假設(shè)

夾層結(jié)構(gòu)的面板被理想化為梁或板支撐在彈性的芯層介質(zhì)上；認為芯層是一個二維的連續(xù)彈性體，利用彈性理論，不引入關(guān)于芯層的任何假設(shè)。夾層板的面板被理想化為彈性梁結(jié)構(gòu)或板結(jié)構(gòu)，并利用Timoshenko梁理論建模，進而引入面板的橫向剪切效應(yīng)。芯層被假設(shè)處于平面應(yīng)力狀態(tài)下，在平面應(yīng)力假設(shè)下獲得結(jié)果可以轉(zhuǎn)化為平面應(yīng)變狀態(tài)的結(jié)果[19]。

2.2 彈性解析解

采用圖1中的坐標系，利用應(yīng)力函數(shù)法選取合適的應(yīng)力函數(shù)描述芯層中場的變化，應(yīng)力函數(shù)φ(x,z)必須滿足相容方程[19]：

(8)

選取φ(x,z)滿足艾里應(yīng)力函數(shù)的形式：

φ(x,z)=

(9)

式中：

(10)

假設(shè)夾層板在x方向是無限長的，其中一個面板的軸線縱向位移函數(shù)可以假設(shè)為余弦形式：

(11)

式中：An為振幅；n為波數(shù)；αn=tf/l0。對于另一個面板，?。?/p>

(12)

式中：η為振幅因子，用于定義上、下面板的振幅比。因為兩個面板是可交換位置的，所以可假設(shè)-1≤η≤1。參照圖1，η=0對應(yīng)單邊屈曲情況；η=1和η=-1分別對應(yīng)對稱和反對稱屈曲情況。

在芯層/面板界面處的位移邊界條件為

(13)

(14)

式中：κ為Timoshenko梁理論中的剪切修正系數(shù)；Qf為梁截面上的合剪應(yīng)力；A為梁的截面積；Gf為梁的剪切模量。由于界面上應(yīng)力的連續(xù)性，面板的一邊是無應(yīng)力的，而另一邊與芯層/面板界面的剪應(yīng)力相同；又由于面板厚度較薄，可以假設(shè)截面上的剪應(yīng)力呈線性分布。因此，上、下面板的剪切應(yīng)變分別為

(15)

(16)

圖2 夾層板軸向應(yīng)力平衡

(17)

(18)

由式(17)和式(18)可知，界面上剪應(yīng)力是引起面板軸線方向位移的主要因素。利用式(11)～式(13)、式(17)和式(18)，可以確定艾里應(yīng)力函數(shù)中的常數(shù)ci1～ci4和di1～di4。

基于Timoshenko梁理論，面板的總勢能為

(19)

式中：φf為梁截面的轉(zhuǎn)角；Df為面板的彎曲剛度；Pf為作用在面板上的軸向壓縮載荷；mf為作用在面板上的分布彎矩；qf為作用在面板上的分布正應(yīng)力。利用最小勢能原理，δΠf=0，可得

(20)

(21)

對式(20)求一次導(dǎo)數(shù)并代入式(21)中，可得關(guān)于φf的微分方程：

(22)

對式(21)關(guān)于x求二階導(dǎo)數(shù)，并將式(22)代入其中，可得關(guān)于wf的微分方程：

(23)

由于力在界面上的連續(xù)性，面板/芯層界面上的分布載荷由式(24)和式(25)定義：

(24)

(25)

最終，可以解得面板中的臨界壓應(yīng)力σf為

(1-η)(-Y1+Y2)/X2

(26)

式中：

(27)

根據(jù)式(26)可以看出臨界應(yīng)力與定義屈曲模式的因子η呈線性關(guān)系。因此，單邊屈曲(η=0)的臨界應(yīng)力是對稱屈曲(η=1)和反對稱屈曲(η=-1)的臨界應(yīng)力平均值。如果將對稱模式與反對稱模式的臨界應(yīng)力相減，并利用條件K>1及cosh(αntc)>sinh(αntc)，可以得到

Ks(2+s2){48+s[8+s(1-νc)]+

12(1-νc)}+2K2s2(12-s2)(3-νc)×

(1+νc)+Ts{2+s[s+K(2-s)(1+νc)]}×

{12+s{8s+s3+2K[3(2-s)+s2]×

(1+νc)}}}/{[(2+s2)cosh(Ts)+

Ks(3-νc)(1-νc)sinh(Ts)]2-[2+

s2+KTs2(1+νc)2]2}

(28)

式中：σII和σIII分別為對稱屈曲和反對稱屈曲的臨界應(yīng)力。

式(28)在條件式(29)成立時總是成立的：

(29)

式(29)在梁理論的假設(shè)下總能成立，因此可以得出結(jié)論：反對稱屈曲模式的臨界應(yīng)力總是低于對稱屈曲模式的臨界應(yīng)力。

式(26)可以化簡為以夾層板厚度比tc/tf、模量比Ef/Ec為參數(shù)、面板與屈曲波長比值tf/l0為自變量或芯層與屈曲波長比值tc/l0為自變量的函數(shù)。圖3和圖4分別給出了以tf/l0和tc/l0為自變量的由式(26)所得精確解的應(yīng)力曲線。

圖4 橫坐標為tc/l0時不同參數(shù)下式(26)所得精確解的應(yīng)力曲線

首先，從圖3中可以看出，反對稱模式的臨界應(yīng)力總是低于對稱模式的臨界應(yīng)力，這與式(28)的分析吻合。隨著屈曲波長的減小，反對稱模式和對稱模式的臨界應(yīng)力變得幾乎完全相等。當(dāng)厚度比增加至某一臨界值時，應(yīng)力曲線在短波區(qū)域形成了一個極值，這一極值對應(yīng)著局部屈曲應(yīng)力；此時，局部屈曲的應(yīng)力值有可能低于整體屈曲應(yīng)力(取決于夾層板的長度)，進而變?yōu)槭紫瘸霈F(xiàn)的失效模式。除此之外，可以看到對稱模式與反對稱模式的局部屈曲應(yīng)力是相等的，這意味著當(dāng)夾層板的厚度增大至某一臨界厚度后，上、下面板的屈曲將不再相互干涉。又由于式(26)關(guān)于η是線性的，3種局部模式的局部屈曲應(yīng)力實際上是相等的。

以不同的自變量描述臨界屈曲應(yīng)力函數(shù)具有不同的物理意義。例如，在圖3中，以tf/l0為自變量時，可以看到在短屈曲波長范圍內(nèi)，夾層板的局部屈曲應(yīng)力及對應(yīng)的面板厚度與波長之比tf/l0只受夾層板的模量比Ef/Ec影響。根據(jù)引言中提到的“短梁”假設(shè)，tf/l0即代表了“短梁”的細長比；根據(jù)Timoshenko梁理論，tf/l0衡量面板的橫向剪切效應(yīng)。因此，面板的橫向剪切效應(yīng)大小只受夾層板模量比的影響。綜合對比圖3可以得出結(jié)論，tf/l0是隨著夾層板的模量比Ef/Ec的減小而增大的，也即模量比Ef/Ec越小，局部屈曲應(yīng)力受面板橫向剪切效應(yīng)的影響越大。

當(dāng)以tc/l0為自變量時(圖4)，可以看到隨著厚度比增大到某一臨界值后，局部屈曲應(yīng)力不再發(fā)生改變；這代表當(dāng)芯層厚度大于屈曲波長達到某一臨界值后，上、下表面的屈曲將不再相互干涉，此時芯層相當(dāng)于無限厚；tc/l0可用來衡量芯層的這一臨界厚度，當(dāng)芯層超過這一厚度時，上、下表面的相互作用幾乎為0，故局部屈曲應(yīng)力不受厚度比變化的影響。從圖4可以看出，這一臨界tc/l0約為1.5。

需要指出的是，參數(shù)范圍選擇是具有普適性的。在模量比Ef/Ec的變化范圍為10～1 000的情況下選取了較寬范圍的厚度比，并涵蓋了臨界厚度比。

3 理論解的近似公式

注意到在式(11)中波數(shù)n的取值范圍為1～∞。當(dāng)屈曲波數(shù)n=1時，意味著屈曲波長l0等于夾層板的長度L，對應(yīng)整體屈曲模式。當(dāng)n較大時，對應(yīng)周期性的局部屈曲模式。通過界定屈曲波長范圍建立式(26)所得精確解在全屈曲波長范圍內(nèi)的近似公式(式(32)、式(44)及式(46))，并討論了一些經(jīng)典解的適用性。隨后，根據(jù)近似公式式(32)、式(44)及式(46)建立了夾層結(jié)構(gòu)受壓縮載荷和彎曲載荷的屈曲失效準則。

3.1 長屈曲波長范圍

在長屈曲波長情況下，如果芯層和屈曲波長的比值很?。?/p>

(30)

利用等價關(guān)系cosh(αntc)≈1+(αntc)2/2和sinh(αntc)≈αntc+(αntc)3/6，式(26)可以化簡為

6Ktctf+4(tf)2(2-3Kνc)]}}/

(31)

近似表達式式(31)仍然以η的值定義3種屈曲模式。當(dāng)夾層板受軸向壓縮載荷時，根據(jù)式(31)，利用函數(shù)求極值的方法可獲得反對稱屈曲模式下(η=1)的臨界應(yīng)力為

(32)

此時的屈曲波長為

(33)

進一步，如果L2?π(tc)2、4K?tc/tf，式(32)可以化簡為

(34)

式(34)與Allen[2]建立的基于反平面芯層假設(shè)、面板較厚的夾層板屈曲公式相同。這說明相比于精確解析解，Allen的模型[2]只適用于一些特殊的夾層板，如當(dāng)面板的厚度較薄時及面板與芯層模量比K較小時，式(32)和式(34)是不能近似相等的。對于跨度L較短的夾層板，式(34)等號右側(cè)第1項可近似為經(jīng)典公式式(5)。這說明對于長度較短的夾層板，式(5)可以作為整體屈曲應(yīng)力的設(shè)計準則。但在大多數(shù)情況下，采用式(32)能得到更精確的結(jié)果。

當(dāng)η=0時，可以求得單邊屈曲模式在長屈曲波長范圍內(nèi)的近似公式。然而，直接利用函數(shù)求極值的方法計算式(31)存在一定困難，所以額外引入了假設(shè)Ktf/tc?1，式(31)化簡為

(35)

利用式(35)及函數(shù)求極值的方法，可得單邊屈曲的臨界應(yīng)力值為

(36)

對應(yīng)的屈曲波長為

(37)

如芯層的泊松比為0，式(36)等號右側(cè)第1項與Simitses和Hutchinson[20]得到的式(3)是一樣的，屈曲波長式(37)和式(7)是一樣的。實際上，由于在數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程中引入了額外的假設(shè)，式(36)并不能對單邊屈曲的臨界應(yīng)力給出很好的預(yù)測結(jié)果。例如，當(dāng)厚度比tc/tf較大時，式(36)等號右側(cè)第1項趨于0，但是另外兩項會變得很大。此時由式(36)計算的臨界應(yīng)力會變得過分保守，因此它提供的并不是一個可靠的結(jié)果。進一步詳細討論如何合理地利用式(36)建立夾層板承受彎曲載荷下的近似公式。

3.2 短屈曲波長范圍

在短屈曲波長情況下，如芯層和屈曲波長的比值很大，即

(38)

那么此時可以得到

(39)

利用條件式(39)，式(26)針對所有屈曲模式可以化簡為統(tǒng)一形式的表達式：

s(1-νc)]+12(1-νc)}}}}/{2Ks(6+s2)×

{2+s[s+K(3-νc)(1+νc)]}}+

(40)

如果忽略面板的剪切效應(yīng)，即tf/l0?1，式(40)可以化簡為

(41)

進一步，如果假設(shè)Kαntf?1，式(41)可化簡為

(42)

數(shù)值結(jié)果顯示，式(42)中括號內(nèi)的第3項對臨界應(yīng)力σf的貢獻很小。因此忽略第3項并對式(42)求極值，得局部屈曲的近似波長為

(43)

式(43)與假設(shè)芯層是半無限大的式(6)得到的屈曲波長是一樣的。將式(43)代入式(42)可得局部屈曲臨界應(yīng)力的近似公式：

(44)

式(44)的特點在于應(yīng)力只取決于夾層板的材料參數(shù)，而不涉及夾層板的幾何參數(shù)。式(44)等號右側(cè)第1項與Allen[2]和Zenkert[22]得到基于彈性地基梁模型、只考慮芯層對面板正應(yīng)力的局部屈曲應(yīng)力表達式是相同的。這證明式(44)等號右側(cè)第1項是由芯層對面板的正應(yīng)力引起的，其余兩項則是由芯層/面板界面上的剪應(yīng)力引起的。Allen[2]曾指出，如果面板的厚度很薄，由界面剪應(yīng)力引起的彎矩對屈曲載荷造成的影響是可以忽略的。但根據(jù)式(44)，局部屈曲應(yīng)力是不受面板厚度影響的。實際上，通過計算可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)面板與芯層的模量比K較小時，忽略后兩項所引起的誤差會很大。例如，經(jīng)計算當(dāng)K=10、νc=0.3時，這一誤差達到了約15%。式(44)是在tf/l0?1條件成立的前提下得到的，注意到因模量比Ef/Ec較低時，tf/l0會逐漸變大，因此式(44)與精確解析解(26)之間的誤差會有微小的增加，但是由圖3 可知，這一誤差仍在可接受范圍之內(nèi)，在工程上利用式(44)預(yù)測臨界應(yīng)力仍然可以給出可靠的結(jié)果。

3.3 屈曲失效判定準則

在3.1節(jié)和3.2節(jié)中，以波長為界定范圍，從數(shù)學(xué)角度建立了精確解在不同波長范圍內(nèi)的近似公式。根據(jù)3.1節(jié)和3.2節(jié)的近似公式，建立了夾層結(jié)構(gòu)在兩種典型載荷(軸向壓縮及彎曲)下的屈曲失效判定準則。

首先，圖5給出了式(26)的彈性解析解與式(32)的長波近似公式解的對比。可以看到在長屈曲波長范圍內(nèi)(tc/l0?1)，式(32)的長波近似公式解都與式(26)的彈性解析解吻合得很好，因此可以用式(32)預(yù)測長波屈曲的臨界應(yīng)力。當(dāng)厚度比tc/tf較大時，應(yīng)力曲線在短波區(qū)域內(nèi)形成了一個新的峰值，這個峰值對應(yīng)著局部屈曲應(yīng)力，根據(jù)3.2節(jié)中的分析，利用近似公式式(44)可以更好地預(yù)測這一臨界應(yīng)力。

圖5 長波近似解與精確解對比

要建立精確的屈曲準則不僅需要考慮長波屈曲和短波屈曲范圍內(nèi)的臨界應(yīng)力，還需要考慮處于過渡范圍內(nèi)的臨界應(yīng)力(也即中等波長范圍，tc/l0的數(shù)量級約為1左右)。實際上，由圖4可以看出，在中等波長的范圍內(nèi)，式(44)仍然對臨界應(yīng)力給出了較為準確的預(yù)測，直到長波近似公式式(32)給出的臨界應(yīng)力更低。因此，在工程上當(dāng)夾層板受軸向壓縮載荷時，提出設(shè)計準則：

(45)

當(dāng)夾層板受彎曲載荷時，對應(yīng)單邊屈曲失效模式(η=0)。根據(jù)2.2節(jié)中的分析，在短屈曲波長范圍內(nèi)，單邊屈曲的局部屈曲應(yīng)力等同于對稱屈曲模式和反對稱屈曲模式的局部屈曲應(yīng)力。但是存在一些較為特殊情況，當(dāng)夾層板的厚度比變得非常小時，夾層板的屈曲應(yīng)力對應(yīng)于長波屈曲范圍(見圖6)，此時彎曲臨界應(yīng)力和式(44)預(yù)測結(jié)果誤差較大。

在3.1節(jié)的分析中提到，當(dāng)η=0時，單邊屈曲近似公式式(36)后兩項產(chǎn)生的結(jié)果不適用于預(yù)測長波范圍內(nèi)的屈曲應(yīng)力。但是如果只取式(36)等號右側(cè)第1項(與用于預(yù)測單邊屈曲的經(jīng)典模型式(5)近似)，即