基于PSO-Powell混合算法的軟磁復合材料二維矢量磁滯特性模擬

趙小軍 徐華偉 劉小娜 李永建 杜振斌

（1.華北電力大學電力工程系 保定 071003 2.西安華為技術有限公司 西安 710075 3.河北工業大學電磁場與電器可靠性省部共建重點實驗室 天津 300130 4.河北省輸變電裝備電磁與結構性能重點實驗室 保定 071056）

0 引言

近年來，軟磁復合材料（Soft Magnetic Composite, SMC）因其獨特的電磁性能被大量應用于電機及電力電子設備中。與傳統電工硅鋼材料相比，SMC材料具有磁熱各向同性、中高頻渦流損耗低、加工形狀多樣化、制造成本低等優點[1-2]，更有利于復雜電磁結構的關鍵設計和三維磁路拓撲結構的開發，在電樞式爪極電機、橫向磁通電機等電磁設備中得到廣泛的應用[3-5]。磁滯現象是磁性材料固有的重要特征，其復雜的非線性磁滯特性對電氣設備的優化設計及運行特性分析具有十分重要的影響。因此，針對 SMC材料磁滯特性的準確測量和模擬成為其研究應用的關鍵[6-7]。

傳統的標量磁特性模擬只能體現軟磁材料在交流激勵下的磁特性，然而在實際工程中，旋轉電機定子及電力變壓器鐵心拐角處通常運行在交變與旋轉磁化激勵下[8]，此時磁場強度和磁通密度并非總是沿著同一方向，且由旋轉激勵引起的損耗大于單方向的交變損耗[9-11]。因此，在實際應用中，相關研究者更關注 SMC材料在旋轉激勵下的矢量磁滯特性[12-13]。

國內外許多學者利用一些最新開發的測量方法[14]提出了不同的矢量磁滯模型。E.C.Stoner和E.P.Wohlfarth提出一種矢量滯后模型[15]，該模型設計為具有對稱回環的單疇單軸磁滯算子磁特性的矢量疊加和，因此無法擬合非對稱磁滯小回環，并且還未完全實現計算模型分布函數的參數辨識。基于上述缺點，I.D.Mayergoyz提出了經典矢量Preisach模型[16]，可用于擬合二維和三維材料的各向同性磁滯特性，該模型在磁滯建模中具有明確的物理意義及精準的擬合效果，因此被廣泛應用于電磁計算當中。然而，大量實驗表明，與交流激勵下 SMC材料呈現出的各向同性磁特性不同，在旋轉激勵下，材料將呈現出部分各向異性[17-18]。因此，經典矢量Preisach模型不再適用，需要進一步改進。M.Kuczmann在此基礎上提出了基于神經網絡的改進矢量Preisach模型及其模型參數辨識的方法[19-20]，使其可考慮材料的部分各向異性特征，該模型僅通過引用方向角的關聯參數來改善磁場強度曲線形態，在較低磁通密度幅值下的擬合結果誤差較大。此外，M.Enokizono和 N.Soda提出考慮旋轉磁化的 E&S矢量磁滯模型[21]，該模型針對旋轉激勵條件下較明顯的各向異性磁特性擬合，但由于模型中包含眾多參數，需要大量實驗數據擬合得到，嚴重地限制了其應用。

本文利用矢量磁特性測量平臺[22]，對 SMC材料在旋轉激勵下的二維磁滯特性進行測量和分析。通過在經典矢量磁滯模型中引入幅值及方向角的關聯參數改善曲線形態，提出一種能夠考慮 SMC材料各向異性特征的改進矢量Preisach模型。基于不同方向的極限磁滯回線，采用數值方法生成一階回轉曲線（First Order Reversal Curves, FORCs），構造標量和矢量 Everett函數，將粒子群優化（Particle Swarm Optimization, PSO）算法和Powell方向加速法相結合，提高了參數提取精度及計算效率，進而實現Preisach矢量磁滯模型的高效參數辨識。測量結果與仿真結果的對比和分析驗證了本文所提方法的有效性。

1 SMC材料二維磁滯特性測量

矢量磁特性測試系統結構框圖如圖1所示，三維磁特性測試系統主要由主測量裝置、功率放大器、差分放大電路和數字信號處理單元組成，其中，由鐵心搭建而成的主測量裝置是整個測量系統的核心，它主要包括C形磁極、勵磁繞組和B-H復合傳感線圈。為了保證樣品在給定頻率下被充分磁化，三路模擬勵磁信號分別經三路功率放大器和阻抗、諧振匹配電路選頻，獲得比較大的勵磁電流，作為勵磁繞組的輸入信號，從而使磁極心結構在測量樣品內部生成旋轉磁場；樣品上的傳感線圈感應到微弱的電信號，該信號經差分放大電路輸入到數字信號處理單元中，實現B、H檢測信號的采集，經Labview軟件進行數據的收集，從而實現系統的閉環運算和反饋。

圖1 矢量磁特性測試系統結構框圖Fig.1 Block diagram of vector magnetic property testing system

利用該測量系統對型號為SOMALOY 500（由瑞典H?gan?s公司研制）的軟磁復合材料進行二維磁特性測量，該樣品在電場強度為100kA/m時的最大磁通密度為 2.1T，剩磁為 0.25T，矯頑磁力為250A/m，電導率為 30μΩ·m，熱導率為 17W/(m·K)，初始相對磁導率為 130。在實驗過程中，樣品被切割為邊長為22mm的立方體，放置于高精度B-H復合立方體傳感箱內，傳感箱六面貼裝高精度B-H復合傳感線圈，實現B、H的測量，圖2a、圖2b分別為主測量裝置實體及主磁路模型。

圖2 三維磁特性主測量裝置Fig.2 Main device of 3-D magnetic property measurement

為保證矢量磁通密度B的二維平面軌跡為圓形，在xOy平面上施加低頻（f =5Hz）圓形旋轉激勵，通過改變勵磁電流大小，測量了B、H二維低頻矢量磁滯曲線，如圖3和圖4所示。由實驗特性圖可以看出，隨著勵磁電流的增大，與圓形B軌跡對應的H軌跡逐漸呈現出橢圓和類似花瓣的曲線形態，SMC材料對外表現出部分磁各向異性特征。

圖3 矢量B空間軌跡Fig.3 The loci of vector B

圖4 矢量H空間軌跡Fig.4 The loci of vector H

圖5a和圖5b分別為沿x、y軸方向同心磁滯回環的測量曲線，其中，飽和磁通密度對應的磁滯曲線即為本文所需的極限磁滯回線。

圖5 同心磁滯回環Fig.5 Measured concentric loops

2 改進的矢量Preisach模型

2.1 基于經典矢量Preisach模型的改進

采用二維經典矢量Preisach模型的逆形式，即以磁通密度B為輸入求解磁場強度H的表達式[16]為

式中，Bφ為矢量B(t)沿φ方向的標量磁通密度；Hφ(Bφ)為H(t)沿著eφ方向的標量磁場強度。

在磁場的數值計算過程中，將區間φ∈[?π/2, π/2]均勻分成n個小區間，即

式中，n為方向的個數；i為各方向的編號。

因此式（1）中的矢量磁場強度可表示為標量磁場強度在各個方向的矢量和，有

式中，Hφi(Bφi)為H(t)沿φi方向的標量磁場強度；Δφ為區間間隔，Δφ=π/n；α和β分別為輸入的正、負向翻轉閾值；γαβ為由α和β控制的磁滯算子；ν(α,β) 為矢量Preisach分布函數；Bx和By分別為沿x和y方向的標量磁通密度。

為避免式（4）中關于α和β的雙重積分，通常采用數值的方法，利用矢量Everett函數E[16]實現矢量Preisach模型的參數辨識。E的具體表達式為

式中，T(α,β)為Preisach平面中被α和β包圍的三角形。

式中，α0和β0分別為正、負向磁通密度飽和值；Bφi,k和bφi,k?1分別為輸入磁通密度B沿eφi方向一系列的最大值和最小值；nφi(t)為沿φi方向的一階回轉曲線的回轉點個數。

矢量 Everett函數E可以與標量 Everett函數F聯系起來，有

式中，F(α,β)與E(αc o sφ,βc o sφ)分別為可由測量數據通過數值方法生成的標量 Everett函數和未知的矢量Everett函數。

以上給出的是經典矢量磁滯模型，其特性如下：當輸入為如圖3所示的基于磁通密度B的均勻旋轉激勵時，模型輸出的磁場強度H軌跡為圓形[23]。然而由第1節所述實驗可知，對SMC材料施加基于B的均勻旋轉激勵時，輸出H的軌跡實際上并非圓形，而是不規則的環狀，略微呈現類似花瓣的形態如圖4所示。這是由于SMC材料本身仍具有一定的磁各向異性。顯然，此時利用經典矢量磁滯模型無法對其磁特性進行準確模擬。

為此，本文提出以下策略，對模型進行改進，使其能夠考慮上述磁各向異性對旋轉磁滯特性的影響。引入與方向角、幅值相關聯的兩個參數w和z來改善矢量H的曲線形態，其中，參數w通過控制H沿各離散方向的投影使模型能夠呈現部分各向異性，參數z用于調整H的幅值[24]。改進模型的具體表達式為

式中，Bm為輸入B的幅值。

當0＜w＜1時，該模型可以模擬材料的部分各向異性特征，使輸出H的軌跡由圓形變為橢圓或者略呈花瓣形狀；不失特殊性，當w=1時，模型即為經典矢量模型。此外，引入參數z使模型對不同Bm下矢量 Everett函數的幅值進行調整，進而調整H的幅值，從而使得擬合結果更加準確。

輸出磁場強度沿x方向和y方向的分量分別為

2.2 改進矢量Preisah模型的參數辨識

由式（8）可知，利用函數F能夠實現對改進模型中矢量E函數的參數辨識。在數值計算過程中，將此式寫成數值累加和的形式[25]，有

式中，F可以通過實驗測量得到，也可以利用數值的方法生成，本文根據測量的極限磁滯回線數據結合數值方法實現F的參數辨識。

利用圖5中x、y方向極限磁滯回線下降支的實驗數據，采用 Dlala提出的數值方法生成的一階回轉曲線[26]如圖6所示。沿x、y軸方向生成的一階回轉曲線略有差異，使得材料表現出輕微的各向異性特征。

圖6 一階回轉曲線Fig.6 First order reversal curves

根據文獻[16]中給出的數值方法，x、y方向上的標量 Everett函數Fx、Fy可通過數值生成的一階回轉曲線插值求得，有

如圖7所示分別為x、y軸方向一階回轉曲線生成的標量Everett函數Fx、Fy。

圖7 沿 x、y方向上的標量Everett函數 Fx、FyFig.7 Normalized inverted scalar Everett function Fx, Fy constructed from FORCs

在圓形旋轉激勵下，標量 Everett函數F可表示[19]為

式中，F(α,β,φ)為對x、y方向上標量Everett函數Fx、Fy的橢圓插值，有

由此，根據圖7中生成的Fx、Fy，由式（16）、式（17）可得模型的標量Everett函數F如圖8所示。

圖8 標量Everett函數FFig.8 Scalar Everett function F

由式（14）可知，Bm、w、z給定的情況下，根據所得的F函數便可生成E函數，假設Bm=1.398T，w=0.7，z=2，得到的函數E如圖9所示。

圖9 矢量Everett函數EFig.9 Vector Everett function E

3 基于改進模型的SMC材料二維磁滯特性模擬

3.1 基于PSO與Powell混合優化算法的改進模型參數提取

通過引入參數w、z可以模擬SMC材料的部分各向異性，因此，如何提取這兩個參數成為改進矢量模型應用的關鍵。本文綜合隨機性優化算法全局搜索能力強與確定性優化算法局部尋優能力強的各自優勢[27]，提出一種基于 PSO與Powell混合優化算法的改進矢量模型參數提取方法，以此實現參數的精確快速提取。

為對參數提取的精度進行準確評價，本文選取實驗值與擬合值的平均絕對百分比誤差（Mean Absolute Percentage Error, MAPE）作為目標函數，將改進矢量Preisach模型的參數優化問題轉化成了求目標函數最小值問題。

式中，f為目標函數；Hcal、Hmea分別為磁場強度擬合、測量值；N為實測數據的個數。

本文首先選取PSO算法來進行全局尋優，該算法具有較強的全局收斂性和穩健性，能以較快的速度到達全局最優解所在區域[28]，具體步驟如下：

（1）初始化種群，在二維求解空間中隨機生成粒子位置和速度，待求參數w、z作為粒子位置X的自變量，即X=X(w,z)。選定種群規模N=5，各初始粒子j的位置其中[1, 1.5]，初始化粒子速度范圍[0, 0.3]，初始迭代次數k=1，加速因子c1=c2=0.3，慣性因子ω=1。

為充分發揮算法全局尋優與局部尋優的優勢，提高計算效率，確定 PSO算法與 Powell算法的優化銜接準則為

式中，n0為連續多次迭代次數，本文中選取n0=10，ε=0.01。

基于本文中目標函數的復雜性，考慮到Powell算法無需進行對目標函數求偏導的復雜操作，并且具有較強的局部搜索能力，本文采用該算法對矢量Preisach模型參數進行局部尋優，具體過程如下：

（1）以當前PSO算法的最佳解決方案為Powell算法的初始基點設置初始迭代輪次t=1，迭代精度為0.001，初始搜索方向組

（4）判斷是否滿足迭代終止條件。若滿足，則輸出當前最優解及對應最優目標值f(x*)；否則執行步驟（5）。

（5）計算第t次迭代中每相鄰兩點目標函數值的下降量，并找出最大下降量及其相應方向，有

沿S(t)方向計算映射點令f1=若滿足 Powell條件，有則設置下一輪迭代初始點，并用S(t)方向取代，t=t+1，轉步驟（2）；否則轉步驟（6）。

（6）若滿足f2＜f3，則選取下一輪迭代初始點轉步驟（2）；否則取t=t+1，轉步驟（2）。

結合PSO-Powell混合算法，由改進矢量Preisach模型對SMC材料（SOMALOY 500）在圓形旋轉激勵下的矢量磁滯特性進行準確快速模擬，具體擬合過程如圖10所示。

圖10 改進矢量Preisach模型擬合過程流程Fig.10 Flow diagram of simulation process

3.2 軟磁材料二維磁特性擬合結果

為便于直觀比較，對PSO算法與混合算法賦予相同范圍的初始值及尋優速度；同時，以式（21）為PSO算法的迭代終止條件，但最大迭代次數不超過100，而混合算法的迭代終止條件由Powell算法的收斂條件確定。

當磁密幅值Bm=1.398T時，基于PSO算法的改進矢量Preisach模型平均絕對百分比誤差隨迭代次數的變化如圖11所示。從圖中可以看出，PSO算法具有較強的全局尋優能力，但局部搜索能力較弱。在其優化初期，僅需4次迭代便可使平均絕對百分比誤差由 21.369 8%下降到 7.394 3%，收斂速度較快；但當迭代次數超過4次時，平均絕對百分比誤差不再發生顯著變化，收斂速度異常緩慢。另一方面，由于PSO算法在設定范圍內隨機選取初始值，因此，每次優化的平均絕對百分比誤差收斂值不盡相同。上述兩方面缺陷表明，該隨機性優化算法在趨于全局最優解時，收斂性將大幅下降，難以準確高效地提取改進矢量Preisach模型參數的全局最優解。

圖11 PSO算法平均絕對百分比誤差隨迭代次數的變化Fig.11 MAPE variation with the iteration number based on PSO algorithm

表1給出了采用PSO算法在不同磁通密度幅值Bm下提取的模型參數及相應的平均絕對百分比誤差與最大相對誤差。根據表1所給模型參數擬合得到的二維矢量磁場強度H磁滯曲線與實測曲線比較如圖12所示。從圖中可以看出，當Bm=1.398T時，基于 PSO算法優化提取參數擬合結果與實驗值產生了較大偏差，難以反映 SMC材料所呈現的部分各向異性特征。

表1 PSO 算法參數提取結果及其誤差Tab.1 The parameter values and corresponding error extracted by PSO algorithm

圖12 基于PSO算法擬合H曲線與實測曲線比較Fig.12 Comparison between experimental H and simulated H based on PSO algorithm

基于PSO-Powell混合算法，給出了Bm=1.398T時改進矢量Preisach模型平均絕對百分比誤差隨迭代次數的變化情況，如圖13所示。由圖13a可知，在迭代前期，PSO算法達到 12次迭代時即自動滿足算法的切換準則，而后Powell算法經過4次迭代即可滿足收斂條件，如圖13b所示。該現象說明混合算法比單一 PSO算法具有更快的收斂速度，其中，PSO算法能夠快速鎖定全局最優解所在區域，在自動滿足切換準則后，Powell算法憑借其局部尋優能力，快速收斂于全局最優解。

圖13 PSO-Powell混合算法平均絕對百分比誤差隨迭代次數的變化Fig.13 MAPE variation with the iteration number based on hybrid algorithm of PSO-Powell

該混合算法所提取的改進矢量Preisach模型參數及其誤差見表2。與表1對比可以看出，采用混合算法能夠將平均絕對百分比誤差控制在6%以內，同時使最大相對誤差降至11%以下，有效降低模型誤差，較單一PSO算法具有更高的求解精度。

表2 PSO-Powell混合算法參數提取結果及其誤差Tab.2 The parameter values and corresponding error extracted by hybrid algorithm of PSO-Powell

根據表2中PSO-Powell混合算法提取參數的二維矢量H磁滯曲線擬合結果如圖14所示，由圖可知，當圓形旋轉磁通密度幅值Bm在大范圍內變化時，擬合曲線與實測結果比單一PSO算法的擬合優化結果吻合更好，能夠較好地反映樣品的部分各向異性，從而驗證了所提模型及其參數提取混合算法的準確性和高效性。

圖14 基于PSO-Powell混合算法擬合H曲線與實測曲線比較Fig.14 Comparison between experimental H and simulated H based on hybrid algorithm of PSO-Powell

SMC材料磁滯回線的準確模擬有利于電氣設備磁特性的有效分析。如圖15所示，給出了Bm=1.398T工況下分別采用改進模型對旋轉激勵下該樣品沿x、y方向磁滯回線的仿真結果，并與經典Preisach模型仿真結果及實測結果進行對比。由圖15可知，所提改進模型仿真結果與實驗結果吻合良好，較經典模型擬合結果更加準確，從而驗證了所提方法應用于電氣設備磁性材料磁化特性計算與分析的準確性。

圖15 Bm=1.398T磁滯回線測量與仿真比較Fig.15 Comparison between measured hysteresis loops with simulated ones at Bm=1.398T

混合算法提取模型參數擬合磁滯回線在磁密較高（超過1T）時略微存在誤差[16,20]主要是由于實驗測量方法的偏差，圓形旋轉磁場激勵下運動行為復雜，不僅有磁疇壁的平動，而且存在磁疇壁的轉動，而測量過程中僅假設x、y兩個方向獨立的磁疇壁移動。因此，磁密越高，材料各向異性越明顯，產生的測量偏差越大。另外，改進矢量模型在運用數值計算進行擬合曲線時亦能造成微小的誤差。

4 結論

1）基于矢量磁特性測量平臺，得到SMC材料的旋轉磁特性，根據其各向異性特征，通過引入幅值與方向角的關聯參數來改善磁場強度H的曲線形態，實現矢量磁滯模型的改進。

2）結合隨機性優化算法全局搜索能力強以及確定性優化算法局部尋優能力強的優勢，提出 PSO-Powell混合式優化算法，顯著改善參數局部尋優能力，提高了計算效率和計算精度。

3）將旋轉磁特性的測量結果與仿真結果相比較，二者較為一致，驗證了本文所提改進矢量磁滯模型及其參數辨識過程中混合優化策略的有效性。