兩極永磁電機靜態內外磁場研究

饒 凡 吳旭升 高 嵬 李 達

（海軍工程大學電氣工程學院 武漢 430033）

0 引言

近年來，電機制造、控制技術[1-3]得到了飛速發展，伴隨著更高磁能積的稀土金屬永磁體（如釹鐵硼）的出現[4-5]，性能優異[6-8]的中小功率永磁電機在航空航天、軍事領域、民用工農業等諸多領域應用越來越廣泛。在一些特殊的領域，如水下航行器、高精密伺服系統、船舶等，永磁電機等存在的外圍漏磁場可能降低水下航行器、船舶的安全隱蔽性，對于高精密伺服系統，永磁電機的外圍漏磁大小可能會影響周圍的精密傳感器等，從而產生誤差。

文獻[9-10]針對測磁載體的永磁電機在環境中的漏磁場對地磁測量產生明顯的干擾進行研究。文獻[9]針對空氣中測磁的不同情況仿真，定性地得出磁場泄漏的規律，對實際工程具有一定的參考價值，但并沒有量化各個量（如鐵磁材料、電機本體尺寸）對泄漏磁場的影響，即缺乏數學模型；文獻[10]同樣也有相應仿真工作，在理論方面，只是羅列了幾個電磁場公式，對電機漏磁的數學模型描述較少。

文獻[11-12]對永磁直流電機分別進行二維徑向漏磁與二維軸向漏磁仿真分析，測量了環境中不同半徑漏磁場磁感應強度，定性地得到電機環境漏磁場的分布規律。

對永磁電機內部磁場建模已有很多文獻[13-15]，但是鮮有學者對永磁電機外部環境磁場進行理論研究。文獻[16-18]對兩極平行充磁電機進行內部磁場建模分析，忽略定子鐵心影響，得到了電機氣隙、永磁體的解析模型。

本文在文獻[17-18]的基礎上，考慮環境漏磁，對兩極平行永磁電機進行理論研究，提出了計算永磁電機內外含定子、外圍環境等各個域的磁場解析模型，重點分析了永磁電機外圍環境漏磁影響因素和變化規律，并利用有限元軟件和實物試驗進行驗證。對其他電機環境磁場分析具有一定的參考意義，也為地磁測量設備的磁場補償、外圍漏磁優化提供了思路。

1 模型建立

永磁電機模型簡化等效為5個區域：轉軸域S（shaft）、永磁體域 P（PM）、氣隙域 A（air gap）、定子鐵心域I（stator iron）、環境域C（circumstance），并忽略定子齒，認為定子是規則圓環，其等效模型如圖1所示。

圖1 電機等效模型Fig.1 Motor equivalent model

圖1中，RS為轉軸半徑（同時為永磁體內半徑），RP為永磁體外半徑（同時為氣隙內半徑），RA為氣隙外半徑（同時為鐵心內半徑），RI為鐵心外半徑。

為分析其規律，將永磁體認為是兩極，對于平行充磁的永磁體，其磁化強度M可以寫為

式中，Mr為永磁體的徑向分量；Mθ為其周向分量。由其分量可知， ? ×M= 0 。對于永磁體，其矢量磁位滿足泊松方程，對于鐵心、空氣域和環境，則滿足拉普拉斯方程。

對于二維磁場，矢量磁位A沒有徑向分量和周向分量[18]，即：Ar=0，Aθ= 0 ，故各個域的矢量磁位A滿足

式中，Az的下標S、P、A、I、C分別為轉軸域、永磁體域、氣隙域、定子鐵心域、環境域的矢量磁位z分量；0μ為真空磁導率。

2 模型求解

2.1 求解拉普拉斯方程

式（3）中各式均為齊次偏微分方程，故以任一域為例，可以利用分離變量法求解方程[19]。

由于圓形域利用圓柱坐標系求解更容易，故建立圓柱形坐標系，將式（3）中任一式展開，可得

令Az=R(r)Φ(θ)，則式（4）可以變為

式中，R(r)、Φ()θ為分離變量法的過程量。

整理式（5），可得到兩個獨立方程，有

分別求解兩個獨立方程，可以得到矢量磁位Az的表達式為

式中，B1、B2、C1、C2均為系數。

2.2 周期性與對稱性條件

矢量磁位Az呈現周期性，即Az(r,θ) =Az(r,θ+ 2 π)，故有

在式（8）中，對λ不同的取值對應不同的Az表達式，但是滿足周期性條件的只有λ＜0，只有當為整數m時，式（9）才能成立，即λ=?m2，m= 1 ,2,3,… 。

因此，矢量磁位Az簡化為

利用磁場的對稱性[20]，徑向分量關于機械角度θ呈偶對稱，周向分量關于機械角度θ呈奇對稱，即

矢量磁位A與磁感應強度B的關系為B=?×A，在極坐標下，由于在二維中，僅僅只有Az分量，B無z分量，由磁場的對稱性，根據式（11a）或者式（12a）可以得到系數B1=0，根據式（11b）或者（12b）可以得到

令磁場系數D1m=mB2mC1m，D2m=mB2mC2m，磁感應強度B的周向、徑向分量分別為

式中，n=1, 2, 3,…。

將式（13）的磁場系數D1m、D2m求出就可以確定不同域的磁感應強度表達式。

2.3 邊界條件與自然條件

根據圖1的永磁電機等效模型，可以知道永磁電機分5個域、4個邊界（轉軸與永磁體邊界SP、永磁體與氣隙邊界PA、氣隙與定子鐵心AI、定子鐵心與環境IC），由邊界的磁場強度H的周向連續，磁感應強度B的徑向連續[21]和鐵心磁導率遠遠大于氣隙磁導率，且氣隙很小，可以得到4組邊界條件為

在無窮遠處，即r→∞，磁感應強度為0，即

對于電機外圍的環境，磁場系數DC1m=0。當r→ 0 時，矢量磁位Az為定值，故系數CS2m= 0 ，即

根據不同區域的H與B的關系[22]，可得磁場強度H的周向分量與磁感應強度B的周向分量關系為

2.4 解析模型結果

將邊界條件式（14）、自然條件式（15）、式（16）以及式（17）應用于式（13），如果將磁化強度周向分量Mθ也用級數表示，有

其中

則可以得到各系數之間滿足

將式（18）用矩陣形式表示為RmDm+U=0，各個域的磁場系數為

其中

求解式（19）可以得到系數向量Dm（見附錄），代入式（13）得到不同域的解析磁場徑向、周向分量。從系數向量Dm可知，環境的磁感應強度系數DC2m與磁化強度M0（或剩磁Br）成正比、與鐵心的相對磁導率μFe成反比，并與電機各部件尺寸（RS、RP、RA、RI）和永磁體相對磁導率μr相關。

由于工程應用中鐵心飽和對電機的性能產生較大影響，同樣會對電機的環境泄漏磁場產生影響。電機的氣隙磁場越強，定子鐵心的飽和程度越明顯，即鐵心的相對磁導率就越小。

考慮飽和時，鐵心磁導率和鐵心磁化磁場可以用μr-B曲線描述，解析模型中的磁導率可以根據鐵心的工作點來確定，即氣隙磁場的強度可以反映鐵心工作點的相對磁導率μFe，將μFe代入附錄中的磁場系數，就能得到飽和時磁場分布規律。

3 仿真分析

3.1 電機參數及解析結果

利用 Comsol仿真軟件對模型進行仿真驗證，其電機參數見表1。

表1 電機參數Tab.1 Motor parameters

平行磁化的永磁體，其氣隙磁場的徑向分量與周向分量均呈現正弦分布，故取m=1，磁化強度M0=Br/μ0，結合表1的電機參數，利用附錄的關系式可以計算出各個域的系數，進而得到各個域的磁場解析式為

可以看出，轉軸中徑向與周向磁感應強度與半徑無關，環境中徑向與周向磁感應強度的幅值與距離二次方成反比。

3.2 仿真結果

建立 Comsol電機模型，取磁化方向為x軸正向，永磁電機內外磁場分布如圖2所示。

圖2 永磁電機內外磁場分布Fig.2 Motor internal and external magnetic field distribution

永磁電機轉軸磁場均勻分布，永磁體N極產生的磁場穿過氣隙，垂直進入鐵心，絕大部分磁場經過定子鐵心回到S極，很少部分穿出鐵心，進入環境中，但最終還是會回到S極（見圖2b）。

3.2.1 永磁電機內部

轉軸中的磁場取決于域系數DS1和角度θ，當角度θ不變時，即轉軸內的磁感應強度為恒定值，例如取θ=0°（即和x軸方向重合），取測量位置如圖3a所示，其磁感應強度隨坐標變化如圖3b所示。

圖3 轉軸域徑向磁感應強度Fig.3 Br (Rotary shaft)

磁感應強度模仿真值約為0.418 3，而理論值DS1=0.418 7，故相差很小，誤差約為0.1%。

在電機內部不同區域設置測量圓，可以得到相應的理論與仿真值，結果如圖4所示。

圖4 不同區域周向與徑向磁感應強度理論和仿真結果Fig.4 Theoretical and simulation results of Br and Bθ in different regions

從圖4可以知道，理論與仿真結果十分吻合，誤差均在0.1%內。在測量圓上，各個域的周向與徑向磁感應強度均呈現正弦分布，周向分量與徑向分量相位相差 90°。轉軸周向與徑向幅值相同，且不隨測量圓的半徑變化；氣隙主要是徑向分量，由于定子鐵心的影響，故周向分量很小；永磁體和定子鐵心的周向分量與徑向分量不相同，兩個區域的周向分量幅值均大于徑向分量。

3.2.2 永磁電機外部環境

對于電機外部環境，由于定子鐵心的“屏蔽”作用，“泄漏”在環境中的磁場占比十分少，也就是很多文獻將其忽略的原因，環境的磁場分布規律如圖5所示。仿真與理論結果十分吻合，電機外部環境的周向與徑向磁感應強度分量幅值相等，相位相差 90°。不同的測量半徑只是影響到磁感應強度幅值大小而已，對相位沒有任何影響。

圖5 電機外部環境磁場規律Fig.5 Law of external magnetic field of motor

如果只是關心磁場大小，用磁通密度?？梢院芎煤饬?，對于圓柱坐標來說，其表示為

式中，d為距電機表面距離；DC2為磁場系數。

式（21）表示磁通密度模只與d、DC2有關，且與d二次方成反比。理論與仿真結果如圖6所示。

圖6 環境磁場衰減規律Fig.6 Low of B in the external environment of the motor

圖6a顯示了理論與仿真十分吻合，即肯定了模型的正確性；從圖6b可知，不同角度θ對磁通密度模沒有影響，也即在電機表面等距圓周線上，磁通密度模是相同的，如圖中d=0.2m（r=0.9m）、d=0.5m（r=1.2m）、d=0.8m（r=1.5m）圓周線的磁通密度模在圓周線上（與θ無關）均相等，盡管周向分量與徑向分量呈現正弦規律（見圖5a）。

4 試驗分析

磁場測量儀器選用MTB4100B高斯計，精度為±2%，量程為 0～1 000μT；永磁體材料為釹鐵硼40H，其剩磁Br為1.25～1.28T，內直徑為10mm，外直徑為23.5mm，長度為32mm；無齒槽電機定子材料為無取向電工鋼WW35?300，內直徑為32mm，外直徑為55mm，長度為44mm。試驗實物如圖7所示。

圖7 試驗實物Fig.7 Experimental prototype

選取一無鐵磁性材料、除地磁場外無外加磁場的場地，將高斯計探頭置于東西朝向，待儀表顯示穩定后按下ZERO鍵進入相對磁場測量模式，即消除背景磁場的影響。取環境中一測量點r=50mm，d=22.5mm，旋轉電機每30°采集一次磁場數據，其徑向與周向分量實測與仿真、理論結果對比如圖8所示。

圖8 徑向與周向對比Fig.8 Comparison result of Br and Bθ

實測結果同樣滿足正弦規律，與理論值吻合。r=50mm時，其幅值大小與理論結果最大誤差約12%。在徑向幅值與周向幅值點出選取不同距離進行記錄，結果如圖9所示。

圖9 環境磁場衰減規律對比Fig.9 Comparison result of B in the external environment of the motor

衰減規律符合二次方衰減規律，由于鐵心飽和影響，徑向分量幅值和周向分量幅值衰減規律有一定的誤差，理論值雖然沒有體現這種小差別，但是也能較好地反映兩極電機環境磁場的衰減規律。

5 結論

本文建立了考慮環境漏磁的兩極平行充磁電機的理論模型，得出電機內外各個域的磁場精確解析式，各個域的周向與徑向磁感應強度均呈正弦分布，周向分量與徑向分量相位相差 90°。轉軸域的周向與徑向分量幅值相同，且不隨測量圓的半徑而變化；由于定子鐵心的影響，氣隙域中主要是徑向分量，周向分量占比很?。挥来朋w域和定子鐵心域的周向分量與徑向分量不相同，兩個區域的周向分量幅值均大于徑向分量。電機外部環境的周向與徑向磁感應強度分量幅值近似相等，在距電機表面地等距圓周線上，磁通密度模是相同的，與距電機表面距離的二次方成反比。

附 錄

各個域的磁感應強度系數表達式為