基于PID型代價函數的永磁同步電機模型預測電流控制

陳卓易 屈穩太

（浙大寧波理工學院信息科學與工程學院 寧波 315100）

0 引言

永磁同步電機（Permanent Magnet Synchronous Machine，PMSM）具有功率密度大、效率高等優點，在高性能電驅動場合得到廣泛應用。圍繞如何進一步提高控制性能而涌現出的各種先進控制算法中，PMSM電流有限集模型預測控制（Finite-Control-Set Model Predictive Control, FCS-MPC）[1-3]近年來逐漸成為熱門。該控制方法繼承了磁場定向控制的思想，將PMSM電流分解為控制磁鏈的d軸電流和控制轉矩的q軸電流，因此，轉矩控制和弱磁擴速等目標均可歸結為對d、q軸電流的高性能控制。FCS-MPC電流控制由于無需調制器而直接控制開關器件，具有動態響應快的優點，此外，還具有原理直觀、設計靈活、多目標容易協同等優點[1]，但同時也具有依賴模型參數的缺點[2]。模型參數失配會導致電流穩態誤差和紋波增大、控制性能降低。實際應用中，PMSM參數未必能精確獲得，其電阻、磁鏈或電感等參數也會隨著溫升或磁路飽和程度的變化而變化[3]，因此，FCS-MPC電流控制的參數敏感性問題亟待解決。

為解決 FCS-MPC的參數敏感性問題，基于參數辨識的方法[3-5]通過在線辨識PMSM的各種參數，實時調整預測模型，提高電流預測精度，從而在電機參數未知或時變的情況下得到良好的電流控制性能。然而，PMSM參數眾多，同時辨識所有參數會導致欠秩問題[4]，所以一般只能針對其中幾個變化較大或較關鍵的參數進行辨識[5]，并且其辨識精度依賴于待辨識參數以外模型的精度，因此，飽和、逆變器死區、管壓降等不容易考慮在模型中的非線性因素[6]使得參數辨識的方法實際上很難精確。

基于擾動觀測的方法[7-9]則是對各種參數誤差以及逆變器非線性等各種內外擾動所產生的總擾動進行在線觀測和補償。這類方法能解決待辨識參數過多的問題，而且考慮了未建模的非線性擾動[7]，但是復雜的觀測器和參數辨識算法一樣，容易加重控制器的運算負擔，提高控制系統的成本。此外，以總擾動方式處理模型失配，一般只降低電流穩態誤差，而不能改善電感參數不準而增大的紋波誤差[8]，需要額外對電感誤差進行補償[9]。

另有研究主張采用無模型FCS-MPC[10-11]，直接由不同電壓矢量對應的電流變化率進行電流預測，從而無需依賴電機參數。但是，該方法增加了對電流采樣精度和時序的要求，同時還存在變化率更新停滯的問題[11]。

以上方法均是針對 FCS-MPC的改進，即通過提高預測準確度來提高參數未知或時變場合的控制性能。預測是 FCS-MPC實現控制的第一步，而直接決定控制量的則是代價函數，因此，通過代價函數的改進[12-13]理論上也可提高電流控制性能。然而目前對代價函數的研究一般圍繞多目標協同[13-14]的主題，而且這些方法多以參數匹配為前提，因此并未涉及參數敏感性問題。

為改善FCS-MPC在PMSM電流控制中的參數敏感性，本文提出一種比例-積分-微分（Proportion-Integration-Differentiation, PID）型代價函數，在預測模型參數失配時能改善電流控制性能。一方面，通過積分誤差代價消除穩態誤差；另一方面，通過微分誤差代價降低電流紋波誤差，在較大參數變化范圍下均能實現高性能電流控制，同時保留FCS-MPC動態響應快的優點。

1 永磁同步電機FCS-MPC電流控制

FCS-MPC實現PMSM電流控制的過程可概括為：在所有可能的逆變器開關組合下，根據由PMSM模型建立的預測模型得出未來的預測電流，并用表征控制目標（如給定電流的跟蹤）的代價函數對每個預測電流進行評估，能使代價函數取最小值的開關組合即為控制器的下一拍輸出。

1.1 預測模型

PMSM的dq坐標系下的定子電壓方程為

式中，id、iq分別為 d、q軸定子電流；R為定子電阻；ψf為轉子永磁體磁鏈；ωe為轉子電角速度；Ld、Lq分別為 d、q軸電感；ud、uq分別為 d、q軸定子電壓，可由αβ 坐標系下電壓uα、uβ由 Park 變換

得到，其中，θ為轉子電角度。在不考慮死區和管壓降等非理想特性時，三相兩電平逆變器的uα、uβ可以根據逆變器開關狀態Sabc從表1查得，其中，UDC為直流母線電壓。

表1 開關狀態表Tab.1 Switching table

用歐拉法對式（1）在第k時刻離散化，得預測模型為

式中，上標P為預測值；Ts為采樣周期。然后用式（3）由k時刻輸出電壓、采樣電流以及系統參數推算出k+1時刻的d、q預測電流，稱為單步預測。微控制器實現時常用兩步法[15]來補償程序執行延時。k時刻先輸出上周期優化得到的開關狀態，并用式（3）計算出一對并通過

可分別預測不同Sabc作用下k+2時刻的電流，這也屬于單步預測。由于多步預測模型與單步預測一樣基于電機數學模型，因此僅討論單步預測的情況。

電機電流是否能被準確地預測，與模型的精確程度有關。不同工況下電機磁路飽和程度不同，會造成電感隨著飽和程度的變化而變化。R和ψf也會隨著溫度變化而時變。此外，高次諧波、逆變器非線性等因素也難以在傳統預測模型中精確計及，會造成一定的預測誤差。

1.2 傳統代價函數

與采用脈沖寬度調制（Pulse Width Modulation，PWM）來分配開關占空比不同，FCS-MPC不使用調制器而直接輸出下一時刻的開關狀態。對于下一時刻所有可能的開關狀態，均可由表1以及式（2）計算出對應的定子電壓ud、uq，并由式（4）計算出預測電流。又由外環得到的電流指令根據傳統代價函數式（5）計算能使代價函數J最小的其對應的開關狀態即最優控制量，將在下一時刻輸出。

可以看出，傳統的給定跟蹤型代價函數的目標是選出能使預測電流矢量與參考電流矢量歐氏距離最短的點，即控制誤差最小的點，但并未考慮預測電流的準確度以及電流控制誤差的累計，因此不能保證穩態無差以及最佳的紋波抑制，尤其是在預測模型并不準確的時候。

2 基于PID型代價函數的FCS-MPC

為解決預測模型不精確造成控制誤差的問題，本文提出一種PID型代價函數。其思想是從常用的負反饋控制器——PID控制器中得到啟發：積分環節可以消除穩態誤差，因此對 FCS-MPC歷史控制誤差作積分，得到積分誤差代價，旨在消除靜態誤差；微分環節能預測誤差變化的趨勢，因此設計微分誤差代價，對單位電流變化引起的預測誤差進行補償；而傳統代價函數中預測電流與參考電流之差，則可看作比例誤差代價，其功能類同于PID中的比例環節。本節將具體闡述 PID型代價函數及其在PMSM電流FCS-MPC控制中的實現。

2.1 積分和微分誤差代價

PID控制中，控制輸出y為比例項P、積分項I和微分項D之和，其中，積分項I的后向差分格式為

式中，x為被控變量；x*為給定值；kI為積分增益系數。在y中加入積分項I可以使x穩態無差。類似地，對電流控制誤差也進行積分，得到

式中，Id和Iq分別為d、q軸電流積分誤差代價，由每個采樣時刻的電流控制誤差積分得到。在代價函數中加入該項，可以懲罰使積分誤差代價繼續增大的控制輸出，從而使累計控制誤差趨于零。

采用積分誤差代價理論上能完全消除穩態控制誤差，但由于 FCS-MPC的開關離散性，電流達不到真正意義上的穩態[8]，因此模型誤差引起的每一拍的控制誤差仍可能存在，僅僅是誤差均值為零。所以有必要引入微分誤差代價，對每一拍的控制誤差也進行補償。

消除了穩態誤差之后，紋波誤差主要由對電流變化率的預測不準所致，例如，低估電感量或高估電機相電壓均會導致高估電流變化率而引起預測誤差，但該預測誤差的大小和方向會隨著電壓矢量不同而不同，所以無法通過積分平均的方式來消除。此外，由于控制量不連續，無法采用傳統PID中的微分項進行瞬態預測。因此，從紋波誤差產生的原理出發，將每周期單位變化電流引起的預測誤差作為微分誤差代價的系數D′，得到

式中，kD為微分增益系數；LPF為低通濾波器函數。采用一階低通濾波時，對于d軸有

式中，a為0～1的濾波器系數。最終，d軸微分誤差代價為系數D′與預測電流變化量的乘積，有

另外，為防止分母接近零而造成微分誤差代價估計不準確，設置閾值ε，當電流變化率過低時不更新D′，有

q軸微分誤差代價的設計同式（9）～式（11）。

引入積分和微分誤差代價后的代價函數，即PID型代價函數，有

式中，P為傳統代價函數中的電流誤差項，有

可認為是比例誤差代價。其他 FCS-MPC應用中，如轉矩和磁鏈參考值跟蹤等，若以預測值和參考值之差作為代價，也可歸類為比例誤差代價。

2.2 采用PID型代價函數的FCS-MPC

采用 PID型代價函數的 FCS-MPC（以下簡稱PID-MPC）系統框圖如圖1所示，其中，電流給定值來自速度外環。相比于傳統 FCS-MPC，僅改變了代價函數以及增加了虛線框內積分和微分誤差代價運算部分，盡可能地保留了FCS-MPC的特點。

圖1 PID-MPC系統框圖Fig.1 Block diagram of proposed PID-MPC

若設置D為零，則簡化為 PI型代價函數，僅消除電流穩態誤差，而不抑制紋波。采用PI型代價函數的FCS-MPC以下簡稱PI-MPC。傳統代價函數可認為是I、D均為零的特殊形式，即 P型代價函數，因此傳統FCS-MPC以下簡稱P-MPC。

應當指出，PID型代價函數與PID控制器具有相似之處。積分誤差代價與PID積分環節均是對歷史控制誤差作積分，而微分誤差代價與PID微分環節均通過歷史數據來預見未來誤差變化。PID控制器常見的改進措施，如積分限幅等，也可以在 PID型代價函數中采用。但兩者的作用機理不同，PID型代價函數最終通過對最優開關狀態的選擇來影響控制決策，而PID控制器則直接輸出控制量。

采用PID型代價函數后，相比于傳統FCS-MPC只需要多調節kI、kD和a3個系數（若只采用PI型代價函數，則只需多調節kI一個系數），然而可以免去對電機系統精確模型的測量工作（如描繪電感隨電流變化的查表、逆變器死區補償等），而且已包含參數隨溫度變化而時變的情況。3個系數的調節方法如下：增大kI可以降低電流穩態誤差消除的響應時間，但過大kI會造成積分項I不穩定。在PMSM電流控制中，dq軸模型誤差的直流擾動并無太多突變的情況，所以kI實際上無需設置過大。kD=1時能完全補償微分誤差，但由于采樣噪聲存在，完全補償反而會造成更大的電流波動，所以，一般在 0＜kD＜1調節至合適值。低通濾波器系數a則可以根據實際系統的采樣噪聲適當增減。

3 實驗結果

為驗證PID型代價函數對電流控制誤差的抑制作用，對一臺三相PMSM進行控制實驗。控制器以TMS320F28335為核心，負載采用電渦流制動器，兩電平三相逆變器使用三菱IGBT模塊CM300DX-24S1搭建。實驗系統參數見表2。表貼式PMSM手冊僅給出額定電感值Ls，因此，實驗中Ld、Lq均以Ls為額定值。

表2 系統參數Tab.2 System parameters

設置4個實驗組如下：①采用傳統代價函數和額定參數的 P*-MPC；②采用傳統代價函數和與額定值不匹配參數的P-MPC，具體參數設置在每個實驗中描述；③與P-MPC相同參數的PI-MPC；④與P-MPC相同參數的PID-MPC。

在PI-MPC中，設置kI=25；在PID-MPC中，設置kI=25，kD=0.8，a=0.000 5，閾值ε=0.01A。各組均采用相同參數的速度外環PI控制，電流內環為FCS-MPC，且=0。

圖2為額定轉速750r/min、額定負載轉矩9N·m的情況下，4個實驗組電流控制性能的對比實驗。P-MPC、PI-MPC、PID-MPC的預測模型中電感、電阻、永磁體磁鏈均為150%額定值。每隔2s輪換實驗組。圖中，Eav和ERMS分別為電流平均控制誤差和方均根控制誤差，定義為

圖2 額定轉速、轉矩下電流控制性能比較Fig.2 Comparison of current control performance under rated speed and load torque

其中

式中，N為采樣數。

圖3為圖2實驗中四種方法的相電流波形，總諧波畸變率（Total Harmonic Distortion, THD）計算自 50個連續電周期。從圖2、圖3中可以看出，P-MPC在模型參數不匹配時，相對于采用額定參數的P*-MPC，電流控制誤差與THD均增大。PI-MPC引入積分誤差代價后能消除平均誤差，但未能降低因模型失配造成的THD升高。而PID-MPC能進一步將方均根控制誤差ERMS降低，且THD與P*-MPC接近。此外，P-MPC與P*-MPC均存在平均誤差，進而導致相同負載轉矩需要更高的相電流，因此效率下降。而PID-MPC則能以相對最小的相電流達到相同的轉速和轉矩，效率更高。

圖3 圖2中4個實驗組的相電流Fig.3 Phase currents of the four groups in Fig.2

值得一提的是，P*-MPC盡管采用了額定參數卻未能實現最佳的控制性能，這是由于：一方面，模型未考慮逆變器死區、管壓降等非線性因素，因此仍不夠精確；另一方面，傳統代價函數僅要求下一拍預測誤差最小，而未考慮誤差的統計規律。

圖4為電機運行在375r/min、空載情況下的電流控制性能對比。P-MPC、PI-MPC、PID-MPC的預測模型中電感、電阻、永磁體磁鏈均為50%額定值，同樣每隔2s輪換實驗組。可以看出，低速空載的實驗結果與額定轉速滿載時一致：參數不匹配會使電流誤差增大；PI-MPC和PID-MPC能基本消除穩態誤差，而D的引入使得PID-MPC將ERMS降至最低。

圖4 空載50%額定轉速下電流控制性能比較Fig.4 Comparison of current control performance under 50% rated speed and no load

圖5為預測模型中電感、永磁體磁鏈、電阻參數分別變化的情況下，P-MPC、PI-MPC和PID-MPC的控制誤差比較。數據均在額定轉速、額定轉矩下測得。圖5中帶有上標“^”的參數為模型參數，不帶上標的為額定參數。圖5a～圖5c三組實驗中，均固定模型電感、永磁體磁鏈和電阻中的兩個參數為額定值，而另一參數從50%變化至200%額定值，以測試單個參數的偏差對于三種方法控制誤差的影響。從結果中可以看出，傳統P-MPC的電流控制誤差對電感和磁鏈參數敏感，參數不匹配時會使控制誤差Eav和ERMS增大，而對電阻參數較不敏感，這與文獻[2]結論相符；PI-MPC電流平均誤差Eav幾乎為零且對參數變化不敏感，但其方均根誤差ERMS仍隨參數尤其是電感參數的變化而變化，說明 PI型代價函數不能抑制因參數誤差而增大的電流紋波；而PID-MPC的電流穩態誤差和紋波誤差對參數均不敏感，且在相同條件下電流誤差最低，說明微分誤差代價對紋波誤差有改善作用。

圖5 P-MPC、PI-MPC、PID-MPC平均控制誤差Eav和方均根控制誤差ERMS隨模型參數變化曲線Fig.5 Mean control error and RMS control error of P-MPC, PI-MPC and PID-MPC with parameter variations

圖6為分別采用PID-MPC和P*-MPC電流控制的PMSM，在第0.2s滿載起動至額定轉速的實驗。其中，PID-MPC采用與P*-MPC一致的模型參數和速度環參數，電流給定值限幅均為8A。可以看出，兩種方法在起動瞬間均能實現快速的電流跟蹤，說明PID型代價函數不影響FCS-MPC動態響應快的優點。而由于PID-MPC電流控制誤差更小，轉速達到額定值的時間縮短近33%。

圖7為分別采用PID-MPC和P*-MPC電流控制的PMSM在額定狀態運行時負載轉矩突變的實驗。參數設置同圖6。可以看出，在轉矩變化瞬間，PID-MPC同樣能對電流指令快速跟隨。從圖7還可看出，由于電流控制誤差更小，在相同的速度外環作用下，瞬態過程轉速變化小于傳統的FCS-MPC。

圖6 PMSM滿載起動實驗Fig.6 Experiment of full-loaded startup of PMSM

圖7 突變額定轉矩實驗Fig.7 Experiment of step change of rated load torque

4 結論

FCS-MPC電流控制性能對模型參數較敏感，與實際PMSM系統參數不匹配時，會導致電流控制性能下降。對此，本文將 FCS-MPC傳統代價函數改進為PID型代價函數，在比例誤差代價的基礎上，設計了積分誤差代價和微分誤差代價，在預測模型參數不匹配的情況下，可分別消除穩態電流控制誤差和抑制紋波電流。實驗結果證明，該方法在參數大范圍變化的情況下均能降低穩態誤差和紋波誤差，提高電流控制性能，并同時保留 FCS-MPC動態響應快的優點。