考慮整體趨勢的最佳子集Kriging模型

譚佳斌，趙維濤

(沈陽航空航天大學 航空宇航學院, 沈陽 110136)

1 引言

面對大多數復雜的工程結構設計問題，為獲取設計參數與結構響應之間的關系，工程技術人員往往采用代理模型。實踐表明，代理模型具有精度高、計算量小，低誤差等特點[1]，可廣泛應用于航空航天等領域。現有較為常用代理模型主要有：響應面法[2]、神經網絡法[3]、支持向量機[4]和Kriging模型[5-7]等。由于Kriging模型具有良好處理非線性預測能力，Kriging模型已成為最具代表的代理模型之一。

為完善Kriging模型，研究者已經進行了大量的研究工作。增強梯度Kriging模型[8]，優點在于通過利用梯度信息來提高Kriging模型的計算精度。Kennedy等人將協同Kriging模型[9]推廣到工程領域，該模型通過用容易抽樣的量替換較困難抽樣的量來進行輔助預測。Joseph等人提出了盲Kriging模型[10-12]，通過貝葉斯法識別趨勢函數。Kwon等人提出了趨勢Kriging模型[13]，但趨勢函數求解過程不利于工程實際問題的求解。

本文提出了一種改進的Kriging模型。與以往的Kriging模型不同的是：

1) 在生成初始樣本后，本文通過響應面法確定趨勢函數。考慮到實際工程問題，本文使用一至三階不含交叉項的多項式函數作為備選趨勢函數，通過回歸分析計算出趨勢函數的相關系數，選取趨勢擬合程度較高的備選趨勢函數的階數作為Kriging模型整體趨勢函數的階數。

2) 在確定趨勢項的階數后，將整體趨勢函數中所忽略的交叉項重新加入Kriging模型中，通過遺傳算法重新篩選基函數，排除對模型計算精度無影響或者影響極小的基函數項，保留影響較大基函數項，降低計算量的同時提高模型的精度。

2 本文方法

經典Kriging模型包含整體趨勢函數和隨機函數2個部分。已有研究表明，在樣本數量足夠多的情況下，整體趨勢函數對Kriging模型的預測精度影響較小[9-13]。然而足夠多的樣本必然帶來計算成本的增加，不利于工程實際。因此，在樣本數量有限的情況下，正確選取整體趨勢函數有助于提高Kriging模型的預測精度。本文首先利用響應面方法確定Kriging模型整體趨勢函數的階次，然后通過遺傳算法對整體趨勢函數中的各項進行優化選取。

2.1 初始樣本點

利用拉丁超立方抽樣方式生成初始樣本，并求得對應樣本點的響應值。由于在最佳基函數選擇中需要對全基函數進行計算對比，因此初始樣本點的數量一定要大于等于全基函數的項數，初始樣本點的數量為：

k1≥(n+p)!/n!×p!

(1)

式(1)中：k1為初始樣本點數量；n是函數的維數；p是函數的階數。

2.2 響應面法

響應面函數設計思路應當形式簡單，并使待定系數盡量少，以減小結構分析的工作量，因此在建立整體趨勢函數時忽略交叉項。

考慮到實際工程問題需求，本文建立一至三階不含交叉項的多項式作為備選趨勢函數。一階、二階、三階的響應函數為：

(2)

式(2)中，a、bi、ci和di為待定系數。

2.3 趨勢判別

通過回歸分析，計算出所有備選趨勢函數的相關系數，選取趨勢擬合程度最高的趨勢備選函數的階數作為Kriging模型中趨勢函數的階數。相關系數為：

(3)

選取相關系數最趨近于1的備選趨勢函數的階數作為Kriging模型中趨勢函數的階數。

2.4 最佳基函數選擇

Martin等[14]開發的二進制編碼非支配排序遺傳算法，可以搜索基函數的最優子集。二進制編碼的生成一個(n+p)!/n!×p!位編碼，其中n是函數的維數，p是函數的階數。全基函數中的每個多項式項都被分配給不同的編碼。是否使用指定的多項式項由二進制數決定，其中1表示選擇多項式項作為候選項，0表示沒有選擇多項式項。可定義目標函數為均方根誤差最小，來比較每個基函數的適應值，通過迭代選擇，直到滿足收斂條件，即可從全基函數項中找到基函數的最佳子集。

2.5 主動學習函數及收斂條件

當基函數選取后，利用主動學習函數逐步增加具有重要意義的樣本，進而更新已構建的Kriging模型，直至滿足一定收斂條件。常見的學習函數有EEF函數、U函數和H函數。實踐表明[15]，U函數和其他學習函數相比，在保持較高精度的同時，所需的樣本數量較少，因此本文采用U函數，U函數的表達式為：

(4)

學習函數的停止條件(即Kriging模型的收斂條件)為：

min.(U(X))>2

(5)

2.6 基本流程

本文方法的基本流程如下：

1) 使用拉丁超立方抽樣方式生成初始樣本；

2) 通過響應面法求得一至三階響應面函數，作為備選趨勢函數；

3) 對所有備選趨勢函數進行回歸分析，分別計算對應R2值并判別，選取趨勢擬合程度較高的備選趨勢函數的階數作為Kriging模型整體趨勢函數的階數；

4) 使用遺傳算法搜索趨勢函數的基函數最優子集，目標函數為均方根誤差最小；

5) 通過主動學習函數訓練已構建的Kriging模型，直至滿足收斂條件。

3 算例

本文給出3個數值算例，包括三角函數、二維函數和三維函數，以驗證本文提出的改進 Kriging模型(improved kriging model，IKM)的計算效率與計算精度。采用誤差均方根衡量計算精度，采用總樣本數量衡量計算效率，將IKM與經典Kriging模型(classical kriging model，CKM)、泛Kriging模型(universal kriging model，UKM)和趨勢Kriging模型(trended kriging model，TKM)進行對比。計算表格中的UKM1代表一階UKM、UKM2代表二階UKM、TKM1代表一階TKM、TKM2代表2階TKM，k是樣本的總數量。

k=k1+k2

(6)

式(6)中：k1是初始樣本點的數量;k2是由主動學習函數篩選來的后續樣本點數量。

3.1 測試函數1

測試函數1來源于文獻[13]，有：

(7)

圖1為測試函數1的真實響應值的等高線圖，圖2為本文方法給出的響應值等高線圖。對比圖1、圖2可知，IKM的響應值與真實函數的響應值總體趨勢吻合較好。

圖1 測試函數1真實響應值等高線圖

圖2 基于IKM的測試函數1響應值等高線圖

趨勢函數計算結果見表1，IKM與其他模型的總樣本數及對比見表2。通過表1可知，當代理模型整體趨勢函數階數等于2時，趨勢擬合程度最高。由表2可知，本文算法需要12個初始樣本和3個后續樣本點，本文方法的計算效率和其他算法的計算效率相同，計算精度有顯著提升。

表1 趨勢函數的計算結果(測試函數1)

表2 各種計算結果(測試函數1)

3.2 測試函數2

測試函數2來源于文獻[13]，有：

0.1(x1-3)2+0.1(x2-2)2

(8)

圖3為測試函數2的真實響應值的等高線圖，圖4為本文方法給出的響應值等高線圖。對比圖3、圖4可知，IKM的響應值與真實函數的響應值總體趨勢吻合較好。

圖3 測試函數2真實響應值等高線圖

圖4 基于IKM的測試函數2響應值等高線圖

趨勢函數計算結果見表3，IKM與其他模型的總樣本數見表4。由表4可知，本文算法需要20個初始樣本和5個后續樣本點，計算效率比其他算法略低，但計算精度有顯著提升。

表3 趨勢函數的計算結果(測試函數2)

表4 各種計算結果(測試函數2)

3.3 測試函數3

測試函數3來源于文獻[16]，有：

(9)

趨勢函數的計算結果見表5，IKM與其他模型的總樣本數見表6。通過表5可知，當代理模型整體趨勢函數階數等于3時，趨勢擬合程度最高。由表6可知，本文算法需要40個初始樣本和5個后續樣本點，雖然計算效率比其他算法略低，但是計算精度有顯著提升。

表5 趨勢函數的計算結果(測試函數3)

表6 各種計算結果(測試函數3)

4 結論

在Kriging模型構建過程中，首先利用不含交叉項的多項式響應面法確定趨勢函數的階次，然后將趨勢函數中忽略的交叉項重新加入Kriging模型的整體趨勢函數中，通過遺傳算法篩選趨勢函數的基函數項，排除整體趨勢函數中不必要的項，降低Kriging模型的計算量的同時提高模型的計算精度。

算例結果表明：由于本文考慮了整體趨勢函數，在計算量增加不多的情況下，計算精度明顯高于其他方法。然而值得注意的是，為了便于最佳基函數的選取，本文選取的初始樣本點數量等于全基函數的項數，這將導致樣本點數量隨著變量個數的增加出現急劇增加的現象。對于這一問題，需對基函數選取方法進行完善，將在后續工作中進行改進。