基于直覺模糊相似度與灰色關聯的群組決策方法及應用

魏東濤，劉曉東，鄧 建

(1.空軍工程大學 裝備管理與無人機工程學院， 西安 710051； 2.空軍勤務學院，江蘇 徐州 221000)

1 引言

隨著武器裝備的發展和運用范式由“平臺中心”向“體系中心”轉變，必須從體系角度衡量武器裝備對于體系整體作戰能力的貢獻程度和地位高低，并以此作為武器裝備論證、研制和使用的基本依據[1]。在體系背景下，武器裝備的選擇與評價是一個多屬性群決策問題，由于武器裝備體系本身的復雜性、屬性信息的模糊性以及專家知識結構等限制，決策者常用直覺模糊數表達判斷信息，直覺模糊數綜合考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度3個方面的信息，廣泛應用于群體決策、模式識別、機器學習等領域。

距離測度是度量專家評判相似度的關鍵，常用的距離測度有Hamming距離、歐氏距離和Hausdorff距離等，采用不同的距離測度，對專家權重與決策結果有較大影響，目前，學者們提出了多種不同形式的距離測度，文獻[2]中擴展補充了直覺模糊聚類測度的定義，并構建了新的直覺模糊距離公式，文獻[3]中定義了一種新的直覺模糊集距離，考慮猶豫度對隸屬度和非隸屬度的分配，間接地將猶豫度亦引入到直覺模糊集距離中，文獻[4]中采用直覺模糊交叉熵作為直覺模糊數之間的距離度量，文獻[5]中定義了兩直覺模糊集的隸屬度距離、非隸屬度距離和猶豫度距離，構建了一種考慮屬性權重的距離測度，不同的距離測度有不同的關注點，適用于不同的環境。在群體決策中，如何更好地確定專家權重及決策方法是研究的重要內容，文獻[6]中依據專家評判的相似度確定客觀權重，文獻[7]中提出一種綜合考慮評價猶豫度和相似度的專家權重確定方法，文獻[8]中利用直覺模糊相似度和相異度構造直覺模糊相似矩陣，綜合聚類結果和直覺模糊熵對各專家進行組合賦權，對備選方案的排序擇優一般采用VIKOR、TOPSIS等方法[9-13]。

雖然上述方法對群決策研究進行了較深入研究，但仍然存在一些缺陷，首先，未考慮直覺模糊數自有信息量對距離測度的影響，其次，由于決策信息的不確定性，可以根據備選方案與理想方案的貼近度進行決策，使決策結論更符合實際。

基于上述文獻研究，本文考慮直覺模糊數的自有信息量，建立了新的直覺模糊集距離測度，構建了專家群體的相似度矩陣，然后，通過閾值變化率分析，確定最優聚類組數，綜合聚類結果和直覺模糊熵對各專家進行組合賦權，最后，采用灰色關聯方法對備選方案進行優選和排序，并將該方法運用于武器裝備體系裝備的選擇與排序。

2 預備知識

定義1設X是非空集合，則x上的一個直覺模糊集為A={[x,μA(x),vA(x)|x∈X]}，其中，μA(x)和vA(x)分別是X中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度，μA∶X→[0,1]，vA∶X→[0,1]，且滿足0≤μA(x)+vA(x)≤1,?x∈X，那么πA(x)=1-μA(x)-vA(x)表示X中元素x屬于A的隸屬度，μA(x)和vA(x)組成的有序對(μA(x),vA(x))稱為直覺模糊數，將X上的直覺模糊集A，定義為全體直覺模糊數的集合，記為IFS(X)。

定義2設ai=(μi,vi),(i=1,2,…,n)是一組直覺模糊數，稱

(1)

定義3設論域X上的直覺模糊數a=(μa,va)，稱:

(2)

為a的得分函數[14]，直覺模糊數a1、a2得分函數的距離[15]為：

(3)

3 基于直覺模糊數距離測度的群組聚類組合賦權法

3.1 問題描述

3.2 直覺模糊相似度

圖1 直覺模糊數(μa,va)幾何示意圖

定義4設a=(μa,va)和β=(μβ,vβ)是2個直覺模糊數，則a、β之間的距離為：

(4)

定義5對于直覺模糊數的自有信息量定義為：

(5)

D0=(0,0)表示猶豫度最高的直覺模糊數，信息的模糊程度最高，可以用點Da與D0之間的距離表示直覺模糊數Da的自有信息量。

定義6將直覺模糊數的自有信息量加入距離公式中，即新的直覺模糊數距離測度公式為：

(6)

D(a,β)滿足以下性質：

1) 0≤D(a,β)≤1

2)D(a,β)=0，當且僅當a=β

3)D(a,β)=D(β,a)

4) 如果a?β?γ，則：D(a,γ)≥D(a,β)，D(a,γ)≥D(β,γ)

定義7對于2組不同直覺模糊數A=(a1,a2,…,am)，B=(b1,b2,…,bm),其中，ai=(μi,vi)，bj=(μj,vj)(i，j=1,2,…,m)，則兩組直覺模糊數的距離為：

(7)

定義8對于兩組不同直覺模糊數A=(a1,a2,…,am),B=(b1,b2,…,bm),則兩組直覺模糊數的相似度為：

(8)

3.3 基于相似度的專家群組聚類

(9)

(10)

根據式(4)～式(8)計算得到專家群的評價相似矩陣為：

其中，當i=j時，對角線元素Rii=1，且R為對稱矩陣，即Rij=Rji。

3.4 閾值變化率分析

聚類閾值θ∈[0,1]，如果Rij≥θ,i≠j，則認為專家Ei與專家Ej具有相同特性，則分到一類中。最優聚類閾值θ的選取，可以通過分析θ的變化率Qi來進行確定。

(11)

式中：i為θ由大到小的聚類次數；θ和θi-1分別為專家集第i次和第i-1次聚類時的閾值；ni和ni-1分別為專家集第i次和第i-1次聚類的專家個數。若

(12)

則認為第i次聚類的閾值達到最優。

3.5 專家權重組合賦權

專家群體決策中，專家權重不僅與專家給出評價信息所蘊含的信息量有關，還與專家所在類中群體的數量有關，因此，專家的權重包括2個部分，類內權重和類間權重。

對類內權重的計算主要依據專家給出信息的直覺模糊熵進行計算。直覺模糊熵用來描述一個直覺模糊集的模糊程度，直覺模糊集A=(a1,a2,…,am)的直覺模糊熵[17]為：

(13)

第i個專家的類內權值σi為：

(14)

其中，n為第i個專家所在專家組的總人數。

(15)

(16)

4 灰色關聯決策分析

由于灰色關聯分析既能充分利用已有信息，又能反映動態變化趨勢的一致性,因此本文將直覺模糊的得分函數距離公式與灰色關聯度分析法結合，解決多方案的決策問題。首先根據評價決策矩陣V，確定直覺模糊理想方案A+，然后計算各個備選方案與之距離測度，灰色關聯度越大，說明綜合屬性指標越優。

4.1 灰色關聯分析

對于直覺模糊決策矩陣V，理想方案A+為：

(17)

備選方案與理想方案的灰色關聯系數為：

(18)

備選方案與理想方案的灰色關聯度為：

(19)

4.2 決策步驟

根據以上分析，基于直覺模糊相似度與灰色關聯的群組決策法的基本步驟如下:

步驟1：建立專家初始評價矩陣Vs，專家Es依據屬性指標集C對n個備選方案進行評價，得到直覺模糊評價矩陣Vs。

步驟2：確定屬性權重wj，根據評價指標間的相互影響關系，采用合適的方法確定指標權重。常用方法主要有AHP、ANP、德爾菲法、主客觀賦權法等。

步驟4：確定專家聚類組數。畫出動態聚類圖，并根據式(11)、式(12)，計算閾值變化率，得到最佳的聚類組數。

步驟5：確定專家權重λi。根據式(13)～式(16)對專家進行組合賦權。

步驟6：建立專家的評價決策矩陣V，根據式(1)和專家權重λi，對專家評價信息進行集結。

步驟7：灰色關聯分析。根據式(17)～式(19),得到備選方案與理想方案的灰色關聯度，根據灰色關聯度的數值大小，對備選方案擇優排序。

5 算例分析

武器裝備體系發展規劃是武器裝備建設的重要環節，隨著武器裝備類型、系列、型號的日益增多，體系組合規劃方案的數量呈指數型增加，為提高決策效果和效率，決策者首先要對裝備進行初始篩選，辨識與明確對體系建設目標有較大影響的裝備類別與型號，賦予較高的優先級，確保進行組合規劃的裝備軍事價值最大。

裝備體系的軍事價值可以看成多項作戰能力的集成，每項作戰能力需求也均由一種以上的武器系統共同滿足[18]。基于能力規劃是裝備體系規劃論證的重要方法，裝備對體系能力需求滿足度越高，則裝備的軍事價值越大，發展的優先級也就越高，可以作為裝備體系組合規劃方案的備選裝備。

設有4位專家D1、D2、D3、D4對X國武器裝備體系的組合規劃方案中的裝備進行預篩選，以裝備體系發展偵察能力為例，主要包括目標識別能力、定位跟蹤能力、互操作能力、指揮控制等5種子能力構成，擬發展規劃的裝備主要有預警衛星、預警機、無人機、地面雷達等4型裝備，如圖2所示，虛線表示各子能力之間存在關聯關系。

圖2 武器裝備軍事價值評估的評價指標框圖

由于各評價指標間存在相互影響，本文采用ANP方法確定各子能力屬性的權重為：W=(0.28,0.22,0.19,0.16,0.15)，專家Es關于裝備Ai對子能力Cj需求滿足度的模糊評價矩陣，見表1所示。

表1 專家初始評估矩陣

根據式(4)～式(8)，計算專家群評價相似矩陣為：

專家聚類分組情況如圖3所示。

圖3 動態聚類圖

根據式(11),閾值變化率分別為：Q1=0.002、Q2=0.000 3、Q3=0.03。

所有專家全部歸為一類或獨自成一類，沒有實際意義，因此Q1=max(Q1,Q2)，θ=0.996 0為最佳聚類閾值，此時聚類結果最合理，聚類結果為{1,2,(3,4)}。

根據式(13),類間權重為:

根據式(14)、式(15)，專家群組的直覺模糊熵為:

σ3=0.513 1，σ4=0.486 9

理想方案為：

根據式(2)、式(3)，備選方案與理想方案的得分函數距離為：

取ζ=0.5，備選方案與理想方案的灰色關系系數矩陣為：

備選方案與理想方案的關聯度為：

ψ=[0.677 1,0.500 4,0.694 9,0.573 4]

備選方案的排序為A3?A1?A4?A2,對X國武器裝備體系的偵察能力而言，預警機的潛在軍事價值最大、無人機的軍事價值最小，因此，預警機的發展優先級最高，預警衛星的次之，2種裝備均可作為體系組合規劃方案的備選裝備。

6 結論

在武器裝備體系規劃論證初期，采用直覺模糊數對體系內的裝備進行選擇評價，符合裝備體系決策環境的復雜性和裝備發展的不確定性等特點，本文考慮了直覺模糊數自有信息量對距離測度的影響，構建的專家評價相似度矩陣更加科學合理。同時將灰色關聯度分析方法應用到直覺模糊集的多屬性決策，計算簡潔，為直覺模糊集多屬性決策提供一種新思路。