基于離散度多目標粒子群重頻組優化算法

周仕霖

(西安科技大學， 西安 710600)

1 引言

雷達脈沖重復頻率(pulse repetition frequency，PRF)是雷達波形的一個關鍵參數，PRF的設計將直接影響雷達的探測性能。工作在中重頻模式的雷達通常將不同的PRF組合在一起形成重頻組[1]，實現解距離模糊和速度模糊，提升雷達波形的抗盲區性能。因此，重頻組設計也成為雷達波形優化的重大課題。

雷達重頻組可從多個方面進行優化，如解模糊、抗盲區、抗虛影等[2]。傳統雷達重頻組優化算法是將多目標問題轉化為單目標問題求解，而對多目標雷達重頻組優化的研究相對較少。如針對解模糊優化問題的重合算法(Coincidence Algorithm)、中國余數定理法[3]、一維集法[4]、滑窗聚類算法[5]及一系列衍生算法[6]等；針對波形盲區問題的遺傳算法[7]、模擬退火算法[8]、蟻群算法[9]等，均是解決了雷達重頻組的單目標優化問題。這些傳統方法雖然具有一定的積極意義，但存在計算速度慢、優化結果受約束值和權重值影響較大的缺點[10]；并且，由于傳統優化算法尋優能力有限，利用其對多目標雷達重頻組進行優化時，不可避免的將多個目標函數主觀結合為一個目標函數進行求解，造成目標函數主觀性過強，難以保證得到理想的效果[11]。

隨著帕累托(Pareto)概念的提出，針對多目標優化問題(multi-objective optimization problem，MOP)相繼出現了多種智能優化算法，如非支配排序遺傳算法(non-dominated sorting geniting algorithm Ⅱ,NSGA-Ⅱ)[12]、多目標粒子群算法(multi-objective particle swarm optimization， MOPSO)[13]、分布估計算法(estimation of distribution algorithm，EDA)[14]、基于分解的多目標進化算法(multi-objective evolutionary algorithm based on decomposition，MOEA/D)[15]等。但上述算法在對雷達重頻組進行優化過程中存在多種問題，如NSGA-Ⅱ存在因交叉和變異隨機性過大，導致帕累托前沿(PF)趨近度不夠的問題[16]；MOPSO存在全局搜索能力較差、收斂速度慢的問題[17]；EDA算法模型不夠精確，難以處理較為復雜的雷達頻率選擇問題[18]等，因此，這些算法在對雷達重頻組進行優化時，往往達不到理想的效果。

本文針對雷達重頻組優化問題，以最小化虛影產生率、最小化盲區、最小虛影為目標綜合設計重頻組，提出基于改進MOPSO重頻組優化算法，求解出雷達重頻組的最優pareto前沿，并引入灰色關聯度用于折中解的選擇，實現了雷達脈沖重頻組多性能優化的目標。

2 雷達重頻組能力分析

2.1 解模糊能力分析

如果PRF給定，則其最大不模糊距離

(1)

式(1)中，c=3×108m/s為光速常量;fr為PRF的具體數值。最大不模糊速度

(2)

式(2)中：λ為發射波束的波長，此處Vmu為實際值的絕對值。定義波束的不模糊探測空間為Rmu和Vmu，即

(3)

由式(3)可知：當波束的波長參數確定時，該波束的不模糊探測能力即為定值，Smu在期望的距離和速度探測二維空間上平鋪即可得到該波束的探測模糊圖，如圖1。

圖1 不模糊空間在期望探測空間上平鋪示意圖

波束重頻組設計的首要問題即為期望探測空間的解模糊問題。為了能夠解距離模糊和速度模糊，重頻組在設計時有兩個基礎的約束，即

(4)

LCM(PRF1,PRF2,…,PRFM)≥fdmax

(5)

式(4)與式(5)中，LCM為求最小公倍數運算；PRI為脈沖重復間隔(pulse repetition interval)，和PRF互為倒數；Rmax為雷達最大探測距離；fdmax為最大多普勒偏移頻率；M為解模糊所需最少PRF數目。

N表示重頻組中PRF總數目，M和N的設定通常可由M/N準則得到，典型M/N為3/8組合，即8重頻組中只要在任意3個重頻下檢測到目標存在，即上報目標。由此可知在3/8組合下共有56種重頻搭配，由式(4)和式(5)可得每種搭配的解模糊距離及解模糊速度。只有當所有搭配的解模糊距離和解模糊速度均大于期望的探測距離和速度時，重頻組才能在探測空間內完全解模糊。

2.2 抗盲區性能分析

中重頻脈沖在探測時除距離盲區和速度盲區2種主要的探測盲區外，副瓣雜波、雜波、噪聲等因素也會造成探測盲區，為了簡化計算，僅考慮距離盲區和速度盲區2個主要因素。

由圖2可見在距離和速度2個維度上，單重頻組成的盲區。由于距離模糊和速度模糊的存在，單重頻波束的盲區分別在距離和速度維上延伸，在盲區圖上形成網格狀分布。當目標處于圖2中的黑色區域時，雷達或正在進行脈沖發射，或將接收到的波束頻段進行抑制，無法對目標進行有效探測。

圖2 單重頻盲區延伸示意圖

如圖3所示，通過重頻組優化，可以大幅減小雷達的距離盲區和速度盲區，大幅提升探測區域內的波束非盲區區域。

圖3 重頻組優化后盲區示意圖

2.3 抗虛影能力分析

虛影的產生原因主要有2種，一是由于目標的回波在距離單元或速度單元上出現了延伸，跨越了2個或數個單元，以至達到檢測門限的回波數量，即達到報告的要求，上報虛假目標；二是對目標的模糊回波在M個PRF下進行了錯誤的相關，以致在特定的距離或速度上出現虛假目標。

在設計重頻組時，保持較大的解模糊余量可以有效減少第1種方式引起的虛影。解模糊余量在探測空間上是波動的，只有在探測空間上的最小解模糊余量滿足要求時，才能保證其在所有探測空間上均降低虛影發生的概率。

在保證最小解模糊余量滿足要求的前提下，本文主要對第2種虛影問題進行優化。此種方式的虛影產生機制如圖4所示，目標1、目標2、目標3的回波在3個PRF中對準，均為真實目標。當不同目標的回波在某一單元內對準時，系統同樣上報發現目標，此目標為回波錯誤相關所致。如果有K個目標，則對參與上述過程的M個PRF而言，能夠得到的目標數為，并且這些目標可能分布于M重頻的解模糊空間內[19]。

圖4 錯誤互相關產生虛影示意圖

如圖5所示，當真實目標個數一定時，對于服從3/8準則重頻組，得到可能目標數目是確定的KM，然而其最大解模糊空間卻不盡相同。在可能目標數目一定的前提下，最大解模糊空間越大，虛影存在于期望探測空間內的概率就越小。因此，為了減少因目標回波錯誤相關造成的虛影，在保證重頻組解模糊余量滿足要求的前提下，可以通過擴大重頻組對應的最大解模糊空間來降低虛影發生概率。

圖5 最大解模糊空間對虛影產生概率影響示意圖

3 多目標優化模型構建

通過雷達重頻組能力分析可知，提升本文重頻組優化目標主要為以下2個方面：提高重頻組的抗盲區能力，提高在期望探測空間內非盲區區域的比例；擴大重頻組最大解模糊空間，降低因回波錯誤引起的虛影發生率。

為確定在關注區域內，重頻組非盲區區域(即可視區域)的占比，即圖3中空白部分占全部二維空間的比例。該比例可通過如下過程判定得出：計算重頻組內每個PRF的不模糊距離和不模糊速度，并轉換為距離單元的個數；根據脈寬和多普勒抑制帶寬計算發射遮擋的距離單元和速度單元數；將重頻組的不模糊空間按照不模糊距離和不模糊速度為間隔，鋪滿整個關注探測空間。將關注探測空間根據距離單元和參考速度單元完全劃分為網格；在每一個網格上進行盲區判定：判定完所有網格后，將可視網格除以所有關注網格。

R和V分別為重頻組的最大解模糊距離和最大解模糊速度，在3/8重頻組中，解模糊所需的最少重頻數為3個，因此8個重頻共有56中組合，每種組合都可通過求解最小公倍數計算(即式(4))得到可以完全解模糊的最大脈沖重復周期(PRI)。通過PRI便能夠計算得到最大不模糊距離Rmax，即為R，以及最大不模糊速度Vmax，即V。通過上述方法，便能夠計算出Rmax與Vmax的56種組合，則該重頻組的最大解模糊距離R和最大解模糊速度V便為這56種組合中Rmax和Vmax的最小值。

式(4)和式(5)給出的是重頻組需滿足的最低條件，而R和V則是該重頻組能夠達到的最高條件，如果超過R和V，該重頻組將不能解模糊。一般R和V的計算結果非常大，完全能夠滿足關注探測范圍的要求。但是在最大解模糊空間內產生虛影的總數是一定的，如果最大解模糊空間變大，那么虛影落在關注探測空間內的概率就會降低，即虛影發生的概率將會減小。

在對重頻組進行多目標優化時，適應度函數的設計將直接影響算法的收斂速度和效果。本文所提算法的適應度函數如式(6)：

F=[f1,f2]

(6)

式(6)中，F為粒子適應度；f1=Rdmax、f2=Vdmax分別為該重頻組的最大解模糊距離和最大解模糊速度。

PRF的上下限的確定方案有多種，本文選取了較為典型的確定方式。

由于已設定了占空比上限，且脈寬固定，那么PRI的下限即可確定，計算式即為

(7)

若PRI小于下限，則占空比將超過20%；PRI的下限與PRF的上限意義相同。

本文多普勒抑制帶寬占多普勒帶寬的比例選用最為典型的50%占比。多普勒帶寬通常為PRF，因此PRF的下限為

(8)

式(8)中bps為帶寬；dsb為多普勒抑制帶寬。

通過式(7)與式(8)及PRI與PRF的轉換公式，可得PRF的上下限。

4 基于離散度MOPSO算法

本文在傳統MOPSO的基礎上，通過引入離散度指標，大幅提升MOPSO的全局搜索能力及收斂速度，求解最優的pareto解集，并設置合理求解方法，求出最終的折中解。

4.1 傳統MOPSO概述

MOPSO算法是由CarlosA.Coello等在2004年提出來的一種多目標優化算法[20]，其通過將pareto思想與PSO算法相結合，將原先只能用于單目標優化的PSO算法擴展到多目標優化上。

MOPSO算法步驟如下[21]：

步驟1：初始化群體和Ak集。

給參數賦初值，生成初始群體P1，并把P1中的非劣解拷貝到Ak集中得到初始非劣解集A1。設當前進化代數為k，在k小于總進化代數時完成步驟1～步驟4的內容。

設當前進化的粒子j，在j小于群體規模時完成1)～3)的內容。

1) 計算Ak集中粒子的密度信息。把目標空間用網格等分成小區域，以每個區域中包含的粒子數作為粒子的密度信息。粒子所在網格中包含的粒子數越多，其密度值越大，反之越小。

步驟3：更新Ak集。

進化得到新一代群體Pt+1后，把Pt+1中的非劣解保存到Ak集中。

步驟4：Ak集的截斷操作。

當Ak集中的粒子數超過了規定大小時，需要刪除多余的個體以維持穩定的Ak集規模。

結果表明:組成按碳數歸類時，采用標準氣中n-C4架橋定量和樣品氣中n-C5架橋定量時，計算的烴露點是一致的，兩者相差在0.2℃以內;而中特殊組分單獨定量分析時，采用標準氣中n-C4架橋定量和樣品氣中n-C5架橋定量，計算的烴露點也是一致的，兩者相差也在0.2℃以內;但采用特殊組分單獨定量時，計算的烴露點比組成只按碳數歸類時計算的烴露點低，最大偏低值達到6℃左右，說明采用兩種數據處理方式獲得的組成結果對計算的烴露點有較大影響。

步驟5：輸出Ak集中的粒子信息。

4.2 離散度MOPSO算法構建

任何尋優算法尋優的目標就是為了尋找數據空間中的極值點，如圖6中A、B、C、D四點。

圖6 離散度MOPSO算法原理示意圖

觀察圖6可知：若尋優算法采用等步長的搜索方法(ab搜索路徑)去尋找最優點時，在數據變化范圍較大的極值附近(紅色凸起處)，由于搜索步長過短，尋優算法需經過多次“無意義”搜索，才能逐漸開始收斂；但在數據變化范圍較小的極值附近(藍色低洼處)，由于步長過長，尋優算法無法直接到達極值，許多次在極值附近“徘徊”搜索，造成收斂速度變慢。

基于以上分析，本文通過引入離散度指標，對傳統MOPSO算法進行優化。離散度指標表達式如下所示：

(9)

(10)

由式(9)和(10)可知：當粒子群的離散程度增大時，其步長也將增加，即當MOPSO算法開始進行尋優或當粒子群處于急劇變化的數據空間時，MOPSO算法尋優速率將會增大，保證算法的尋優效率；當數據空間的離散程度趨于緩和時，MOPSO尋優速率將隨之變小，保證算法尋優的精確性。基于離散度改進后得MOPSO迭代式如下：

(11)

4.3 折中解選擇

離散度MOPSO算法雖然能夠提供一組解集，但是具體選擇哪一種解，還需要決策者根據實際問題進行討論，本文設計利用TOPSIS[22]對Pareto解集[23]進行排序，其決策過程如下：

1) 對適應度函數矩陣進行歸一化處理：

(12)

式(12)中，fi,d為第i個解的第d維空間子目標函數值；ω為解集總數；ai,d為各適應度函數歸一化后值。

2) 求“最優解”和“最劣解”：

(13)

(14)

3) 計算各非劣解與A+、A-之間的距離：

(15)

(16)

4) 計算各非劣解與A+和A-之間的貼進度：

(17)

將所求得的Mi按照數字大小進行排序，Mi越大則表示其越接近最優方案。

5 仿真實驗

5.1 算法參數設置

為驗證本文算法性能，以某一雷達系統為基礎，根據其參數進行仿真環境設計。雷達系統的參數如表1所示。通過表1的雷達系統參數數據計算可知，雷達PRI的下限為PRId=τ/dcycle=7/0.2=35 μs，對應PRF的上限為PRFu=1/PRId=28 571 Hz；設定多普勒抑制帶寬不超過多普勒帶寬的50%[1]，則PRF的下限為PRFd=2×1.67×103/0.5=6 667 Hz，對應的PRI的上限為PRIu=1/PRFd=150 μs。

表1 雷達系統參數

根據PRF范圍設置算法的初始種群，設定種群數量為50，迭代次數為100，并且w、c1、c2分別設置為0.8、0.5、0.5。同時，仿真設定目標數量為3個。

5.2 仿真結果分析

為了驗證離散度MOPSO算法，本文以傳統MOPSO作為對比進行多次仿真實驗。

1) 2種算法尋優能力分析

圖7表示離散度MOPSO算法pareto前沿，其中pareto前沿曲線上黑色圓圈為折中解。由圖7可看出本文所提出的離散度MOPSO算法能夠依據pareto理論求解出符合雷達重頻組多目標優化模型所要求的非劣解集，并依據數據特征，求解其折中解，克服了傳統優化算法將多個目標函數人為結合為一個目標函數造成的主觀性過強的缺陷。

圖7 離散度MOPSO算法pareto前沿曲線

圖8為根據離散度MOPSO算法與傳統MOPSO算法計算得到的pareto前沿曲線。明顯可以看出，離散度MOPSO算法pareto前沿曲線明顯低于傳統MOPSO算法pareto前沿曲線，即離散度MOPSO算法尋優能力、收斂性優于傳統MOPSO算法。

圖8 2種算法pareto前沿曲線

2) 雷達重頻組優化效果分析

2種算法得到的重頻組非盲區區域比例如圖9所示。當優化算法為MOPSO時，重頻組非盲區區域比例在94%左右，在實驗中得到的最高比例為94.32%，而當優化算法為離散MOPSO時，重頻組非盲區區域比例在97.5%左右，在實驗中得到的最高比例為98.36%。綜合來看，本文所提出的離散度MOPSO算法明顯優于傳統MOPSO算法，且高達97.5%，能較好的減少盲區的比例。2種算法所得重頻組在期望探測范圍內虛影數目分布如圖10所示。由圖可知，2種算法在出現虛影數目上存在明顯的區別。MOPSO算法得到的重頻組虛影數普遍多于離散度MOPSO算法的結果得到的重頻組虛影數，即離散度MOPSO算法抗虛影能力優于MOPSO算法。

圖9 2種算法的非盲區區域比例曲線

圖10 2種算法的虛影數目曲線

由圖11與圖12可知：離散度MOPSO算法所得重頻組最大解模糊距離最小值為12 259.170 km，平均值為5 184 788.303 km；最大解模糊速度的最小值為12 259 170 m/s，平均值為 5 184 788 302.635 m/s；傳統MOPSO算法最大解模糊距離最小值為4 106.973 km，平均值為2 548 111.957 km；最大解模糊速度最小值為1 134 752.257 m/s，平均值為2 425 804 926.692 m/s。因此，離散度MOPSO算法所得重頻組最大解模糊距離和最大解模糊速度值均大于傳統MOPSO算法，即離散度MOPSO算法尋優能力更強。

圖11 最大解模糊速度曲線

圖12 最大解模糊距離曲線

6 結論

針對中重頻雷達系統的性能優化問題，提出了一種基于離散度多目標粒子群重頻組優化算法。與傳統優化算法相比，本文算法克服了主觀因素帶來的影響；與多目標優化算法相比，本文算法收斂效果好，優化程度明顯，但參數選取未實現自適應，有待進一步改進研究。