無向拓撲多航天器系統(tǒng)分組姿態(tài)協(xié)同控制

王帥磊，周紹磊，代飛揚，劉玄冰

(海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺 264001)

1 引言

姿態(tài)控制是多航天器系統(tǒng)控制中的重要問題之一。達到姿態(tài)協(xié)同是多航天器正常作業(yè)的前提，例如在多航天器對地觀測、重力場測量等[1]場景中，都需要系統(tǒng)內(nèi)航天器相互合作并保持相應(yīng)的姿態(tài)。針對多航天器系統(tǒng)的姿態(tài)協(xié)同控制問題，文獻[2]中采用SO(3)模型研究了帶時滯的情況；文獻[3]中引入了事件觸發(fā)機制以減少系統(tǒng)內(nèi)的通信；文獻[4]考慮了復(fù)雜的約束條件；Liu等[5]針對領(lǐng)導(dǎo)-跟隨結(jié)構(gòu)的多航天器系統(tǒng)展開了研究；Lu和Liu進一步考慮了切換拓撲的情況[6]；現(xiàn)有研究還針對帶有避撞約束[7]、慣性不確定性[8]以及存在時滯[9]的情況進行了分析。

現(xiàn)有研究大多致力于使多航天器系統(tǒng)中所有航天器的姿態(tài)收斂到同一個固定的或時變的姿態(tài)，而在較為復(fù)雜的應(yīng)用場景中，將整個系統(tǒng)劃分為多個分組進行控制是必要的，例如在SAR衛(wèi)星編隊的協(xié)同監(jiān)控[9-10]中，需要編隊中的衛(wèi)星保持不同的姿態(tài)。對于這種分組情況，Weng等[11]在SO(3)模型上結(jié)合事件觸發(fā)機制研究了多個分組的姿態(tài)協(xié)同控制問題，而該研究中需要對每個分組設(shè)定領(lǐng)導(dǎo)者。文獻[12]采用修正羅德里格斯參數(shù)(modified rodrigues parameters，MRP)描述剛體姿態(tài)，并直接利用姿態(tài)和角速度信息設(shè)計了控制輸入，該研究中引入了分組一致的概念。分組一致是指，系統(tǒng)中所有個體的狀態(tài)量能夠同時收斂到多個固定值或時變值。這意味著系統(tǒng)可以劃分為多個分組，每個分組內(nèi)部都能達到一致。關(guān)于分組一致的研究主要集中在基于質(zhì)點模型的多智能體系統(tǒng)[13-16]。在文獻[12]的基礎(chǔ)上，文獻[17]進一步將分組姿態(tài)協(xié)同控制問題擴展到了有向拓撲結(jié)構(gòu)，采用了一種變量代換和矩陣分解相結(jié)合的方法，解決了切換拓撲條件下的分組姿態(tài)協(xié)同控制問題。總體上，目前針對多航天器系統(tǒng)的分組姿態(tài)協(xié)同控制研究仍然較少。

將多航天器系統(tǒng)劃分為多個分組進行控制，可以直接將系統(tǒng)分割為多個孤立的子系統(tǒng)，并分別設(shè)計控制輸入，但這將破壞系統(tǒng)的整體性，同時增加了控制量，控制難度也隨之增加。而通過引入分組一致性理論中的入度平衡[18]條件，不需要對系統(tǒng)進行分割，在保持系統(tǒng)整體性的同時，僅需要設(shè)計一種控制輸入，就能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)狀態(tài)量的分組一致，即多航天器的分組姿態(tài)協(xié)同，因此這一控制方法更具優(yōu)勢。

本文基于分組一致相關(guān)理論，通過構(gòu)造輔助變量，設(shè)計了分布式的控制輸入，對無向拓撲上的多航天器系統(tǒng)分組姿態(tài)協(xié)同控制問題進行了研究。本文其余內(nèi)容安排如下：第1節(jié)中構(gòu)建了基于無向圖的多航天器系統(tǒng)；第2節(jié)構(gòu)造了輔助變量，并設(shè)計了分布式的控制輸入，對多航天器系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了分析；第3節(jié)中對包含4個分組的多航天器系統(tǒng)進行了仿真；第4節(jié)給出了本文的結(jié)論。

2 多航天器系統(tǒng)構(gòu)建

2.1 航天器姿態(tài)動力模型

考慮一個由N個具有相同運動特性的航天器組成的多航天器系統(tǒng)，并且該系統(tǒng)可劃分為s個分組。每個分組中航天器的數(shù)量為ni，并且每個航天器僅能夠被劃分到唯一的分組中。若航天器i屬于分組gj，那么存在映射Γ(i)=gj。采用MRP描述航天器的姿態(tài)，第i個航天器的姿態(tài)運動學(xué)和動力學(xué)方程可以記為：

(1)

式(1)中：σi(t)∈R3、ωi(t)∈R3和ui(t)∈R3分別表示MRP參數(shù)下航天器的姿態(tài)、角速度和控制輸入；正定對稱矩陣J∈R3×3表示航天器的轉(zhuǎn)動慣量。Gi(t)定義為：

(2)

其中

(3)

2.2 多航天器系統(tǒng)通信拓撲

由于本文中多航天器系統(tǒng)是分組的，因此基于現(xiàn)有關(guān)于分組一致的研究，本文采用如下假設(shè)。

假設(shè)1：系統(tǒng)通信結(jié)構(gòu)為無向拓撲，若2個分組之間存在邊，則這些邊滿足入度平衡[18]。對于分組si和sj，存在節(jié)點vk1,vk2∈si和節(jié)點vk3,vk4∈sj，使得鄰接矩陣中ak1k3=ak2k4=1，并且ak1k4=ak2k3=-1。

假設(shè)2：L的非零特征值均為正實數(shù)。

定義1：稱多航天器系統(tǒng)達到分組姿態(tài)協(xié)同，當(dāng)且僅當(dāng)同一分組中的航天器i和航天器j滿足：

(4)

那么本文的研究目的可以描述為：設(shè)計一種控制輸入，使無向拓撲上的多航天器系統(tǒng)達到如式(4)描述的分組姿態(tài)協(xié)同。

3 控制器設(shè)計

3.1 分布式姿態(tài)控制器設(shè)計

為了便于表示，后續(xù)分析中將省略時間符號t。

首先，對航天器構(gòu)造輔助變量，即：

(5)

式(5)中，參數(shù)μ>0。于是可知：

(6)

即多航天器系統(tǒng)的分組姿態(tài)協(xié)同問題轉(zhuǎn)化為了輔助變量si的分組一致問題。根據(jù)式(5)，得到：

(7)

從而可以設(shè)計控制輸入為：

(8)

由于每個航天器的控制輸入中僅利用了鄰居的姿態(tài)和角速度信息，因此控制輸入是分布式的。根據(jù)假設(shè)1可知：

(9)

因此對于航天器i，有如下等式成立，即：

(10)

將式(10)代入式(8)，可以得到：

(11)

對式(11)進行化簡，得到：

(12)

結(jié)合式(7)和式(12)，可知：

(13)

從而根據(jù)式(13)得到多航天器系統(tǒng)的閉環(huán)方程為：

(14)

記分組gk中所有輔助變量的均值為：

(15)

并對該均值求導(dǎo)可知：

(16)

由于Laplacian矩陣是對稱矩陣，因此有：

(17)

這意味著每個分組內(nèi)輔助變量的均值是時不變的常值。因此，若每個分組初始時刻輔助變量的均值互不相同，且系統(tǒng)能夠達到分組姿態(tài)協(xié)同，那么最終各個分組的協(xié)同姿態(tài)和協(xié)同角速度仍將保持互不相同。

3.2 穩(wěn)定性分析

定理1若通信拓撲為無向拓撲的多航天器系統(tǒng)滿足假設(shè)1和假設(shè)2，那么給定如式(8)的控制輸入，多航天器系統(tǒng)能夠達到分組姿態(tài)協(xié)同。

證明選定Lyapunov函數(shù)為：

V=sTs/2

(18)

顯然有V≥0成立。

對Lyapunov函數(shù)V沿式(14)求導(dǎo)，得到：

(19)

Ω={s|sTL?I3s=0}

(20)

即系統(tǒng)(14)是漸近穩(wěn)定的。而sTL?I3s=0意味著s=0或者L?I3s=0。當(dāng)s=0時，有：

s1=s2=…=sN=0

(21)

而根據(jù)si=0可知：

由于L1N=0成立，因此當(dāng)L?I3s=0時，有：

Ls1=Ls2=Ls3=0

(22)

式(22)中，s1、s2和s3分別為向量s在第1、第2和第3個方向上的分量。即：

(23)

因此可知若Γ(i)=Γ(j)，那么將有

si=sj

(24)

綜上所述，在本文設(shè)計的控制輸入作用下，多航天器系統(tǒng)能夠達到分組姿態(tài)協(xié)同。證畢。

4 仿真結(jié)果與驗證

多航天器系統(tǒng)的無向通信拓撲如圖1所示。

以一個包含19個航天器與4個分組的系統(tǒng)為例，基于MATLAB平臺進行仿真。其中航天器1～4組成分組g1，航天器5-8組成分組g2，航天器9～14組成分組g3，航天器15～19組成分組g4。根據(jù)圖1可以確定，在鄰接矩陣A中，元素a15=a26=-1，a16=a25=1，a710=a89=-1，a79=a810=1，a1215=a1314=-1，a1214=a1315=1。因此，多航天器系統(tǒng)的無向通信拓撲滿足入度平衡。

圖1 多航天器系統(tǒng)的無向通信拓撲示意圖

設(shè)定航天器的轉(zhuǎn)動慣量矩陣J=I3，仿真時長共100 s，并設(shè)定參數(shù)μ=1。航天器的姿態(tài)時間響應(yīng)和角速度時間響應(yīng)分別如圖2和圖3所示?？v坐標(biāo)的上角標(biāo)1、2和3表示第1、第2和第3個方向上的分量，下角標(biāo)i表示航天器的編號。

根據(jù)圖2結(jié)果可知，分組g1和分組g2中，航天器的姿態(tài)分別達到了協(xié)同，并且2個分組的協(xié)同姿態(tài)并不相同。在3個分量上，2個分組的協(xié)同姿態(tài)各自穩(wěn)定在一個常值。

圖2 航天器的姿態(tài)時間響應(yīng)曲線在3個方向上的分量

根據(jù)圖3結(jié)果可知，分組g1和分組g2中，航天器的角速度都收斂到零，這意味著最終多航天器系統(tǒng)是靜態(tài)的。

圖3 航天器的角速度時間響應(yīng)曲線在3個方向上的分量

圖2和圖3的結(jié)果表明，在本文給定的控制輸入作用下，多航天器系統(tǒng)達到了靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同。

與本文基于滑模變量提出的控制輸入不同，文獻[12]直接利用姿態(tài)和角速度信息設(shè)計了控制輸入。采用同樣的拓撲結(jié)構(gòu)和初始條件，對文獻[12]提出的控制輸入進行仿真復(fù)現(xiàn)，與本文提出的控制輸入進行比較。

圖4表明，在文獻[12]控制輸入作用下，多航天器系統(tǒng)中2個分組的姿態(tài)也能夠分別達到協(xié)同，并且協(xié)同姿態(tài)是時變的。

圖4 航天器的姿態(tài)時間響應(yīng)曲線在3個方向上的分量(文獻[12]提出的控制輸入與本文提出的控制輸入)

圖5表明，2個分組的角速度也分別達到了協(xié)同，并且協(xié)同角速度均不為零，即多航天器系統(tǒng)最終達到了動態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同。

圖5 航天器的角速度時間響應(yīng)曲線在3個方向上的分量(文獻[12]提出的控制輸入與本文提出的控制輸入)

對于以衛(wèi)星編隊為代表的多航天器系統(tǒng)來說，由于大多數(shù)時候需要衛(wèi)星保持在期望的姿態(tài)以朝向地面，因此靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同相比動態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同更具有現(xiàn)實應(yīng)用意義。

通過對比圖2、圖3和圖4、圖5可知，在控制效果上，本文及文獻[12]的控制輸入都能夠使多航天器系統(tǒng)達到分組姿態(tài)協(xié)同。從最終的協(xié)同姿態(tài)和協(xié)同角速度來看，文獻[12]中的控制輸入能夠使多航天器系統(tǒng)達到動態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同，而本文的控制輸入能夠使多航天器系統(tǒng)達到靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同，更貼近工程應(yīng)用需求；從達到分組姿態(tài)協(xié)同的速度來看，本文提出的控制輸入能夠使系統(tǒng)更快達到分組姿態(tài)協(xié)同，控制效率上更具優(yōu)勢。

5 結(jié)論

1) 通過設(shè)計輔助變量，能夠?qū)⒎纸M姿態(tài)協(xié)同控制問題轉(zhuǎn)化為分組一致問題；

2) 本文提出的控制輸入是分布式的；

3) 本文提出的控制輸入能夠使多航天器系統(tǒng)達到靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同，并且在控制效率上更具優(yōu)勢。