資金約束零售商訂購、促銷與融資協同決策分析

代建生, 牛清潔

(1.昆明理工大學管理與經濟學院,云南昆明650093;2.重慶大學經濟與工商管理學院,重慶400030)

1 引 言

在創業初期或快速發展時期,很多企業面臨運營資金不足的問題[1],這在業務比較單一的中小企業中表現得尤為明顯.資金短缺制約企業的日常經營,阻礙企業的業務發展,嚴重的資金短缺可能導致企業破產[2], 因資金鏈斷裂而破產的著名企業包括荷蘭跑車制造商世爵及青島海爾豐彩印刷公司.在金融危機后,越來越多的企業日益意識到現金流管理的重要性,希望通過降低庫存水平和資金周轉周期等方式來保證現金流的安全,“現金之戰”使得中小企業的資金約束問題更加突出和嚴峻.由于資金短缺企業難以實現與市場需求相匹配的生產或訂貨規模[3,4],因而融資服務在現代企業管理中起到非常重要的作用.如果資金短缺企業能夠通過金融市場獲得財務資源,并實現融資與運營的相互協同,則能顯著地改善運營績效.

隨著市場競爭的加劇和需求不確定性的增加,零售企業面臨越來越高的市場風險,尤其是運營資金短缺的零售企業,它們不僅需要采取促銷手段來獲取競爭優勢,還必須優化其訂購決策以減少經營風險.零售商的訂購和促銷策略交互影響,如果商品采購數量較大,則須加大促銷力度以減少出現剩余商品的風險;如果零售商計劃實施更為激進的促銷方式,則應在銷售期前加大商品的采購數量.零售商無論是采購商品,還是開展促銷活動,都需要運營資金支持,因此,零售商的訂購和促銷決策必然受制于可支配的運營資金.在資金短缺下,是否開展促銷活動?商品采購和促銷活動兩者之間的資金如何配置?是否需要對外融資?融資多少?等等,是零售商需要統籌協調的重大決策問題.

上述問題在理論上可抽象為融資、訂購和促銷的協同決策問題,雖然已有不少文獻探討了融資與運營的協同決策問題,但鮮有文獻討論融資、訂購和促銷的聯合決策問題.本文對此問題進行了研究,并在不融資和外部融資兩種情形下分別刻畫零售商的運營策略,揭示了零售商的融資、訂購和促銷策略以及收益關于初始資金、金融市場利率、銷售價格和采購價格的變化規律.

本文的研究與訂購決策問題尤其是需求隨機下的報童問題緊密相關.傳統的訂購決策問題在資金充足假設下進行討論,有關研究進展可參考Qin 等[5],其中涉及到訂購與促銷聯合優化問題的有文獻[6–8].代建生[9]在供應鏈背景下探討了零售商的訂購和促銷協同決策問題.張菊亮[10]研究了多周期聯合促銷與庫存控制問題,在每一周期,決策者同時確定促銷水平和訂貨量,他們刻畫了決策者的最優促銷和訂購策略.本文將在資金約束下探討融資、訂購和促銷的協同決策問題,這不同于上述研究.

本文可歸屬為資金約束下的報童問題的文獻.相關研究可分為兩類, 其中一類不考慮融資問題而致力于探討資金短缺下的訂購決策問題[11,12],而另一類文獻則在資金約束下考察融資與運營的協同決策問題,Buzacott 等[13]對資金約束和無資金約束下的最優訂貨決策進行了比較分析.陳祥鋒等[14]研究了外部融資下零售商的融資和庫存綜合決策問題,并分析了融資服務對運營績效的影響;在此之上,陳祥峰[15]探討了承擔有限責任的零售商在貿易信用合同下的采購策略.Kouvelis 等[16]考察了存在破產成本下零售商的融資和庫存決策,并分析了破產成本對供應商定價決策的影響.Kouvelis 等[17]在貿易融資下探討了零售商的融資和庫存決策,并在此基礎上刻畫供應商的最優合約結構.王文利[18]在兩階段隨機需求環境下,給定供應商向資金約束零售商提供的交易信用融資,分析了零售商的最優訂貨策略,并與無資金約束情形進行了比較分析.最近,Chod[19]研究了融資對庫存決策的扭曲效應,并對銀行信用和貿易信用下庫存決策進行了比較分析.史金召等[20]在提前訂購和延時采購兩種情景下,分別考慮最大化期望收益和最小化違約概率兩種決策目標,分析了零售商的最優采購和融資策略.上述研究雖然探討了融資與運營(商品訂購)的協同決策問題,但沒有分析資金約束企業的初始資金、市場利率等因素對融資與運營決策的影響.本文完整地刻畫了在不同初始資金和市場利率下零售商的融資、訂購和促銷策略,分析了初始資金、市場利率、銷售價格和采購價格等因素對零售商決策和收益的影響,得到一系列新的研究結論:無論是否存在融資機會,零售商的初始資金越大,其實現的收益越大,且初始資金對收益的影響程度隨初始資金的上升而遞減;市場利率升高,零售商將減少貸款,使用更少的資金用于商品采購和促銷活動,實現的收益降低,且利率對收益的負面影響隨著利率的上升而遞減.

竇亞芹等[21]研究了金融市場的競爭程度、初始資金量和破產成本率對零售商庫存策略的影響.張小娟等[22]在零售商可以倉單融資后進行二次訂購的背景下,刻畫了零售商在不同的初始資金量下最優倉單抵押率及最優訂購策略.李榮等[23]在風險厭惡下分析了資金約束零售商的訂購策略,并考察了風險態度和初始資金對訂購決策的影響問題.上述研究都討論了初始資金對訂購決策的影響,但與本文存在以下不同,第一,本文分析了初始資金對訂購和促銷決策的聯合影響,結果表明,用于商品采購和促銷活動的資金實現的邊際收益相互依賴,因此,零售商必須合理配置商品采購和促銷資金.第二,對比分析了不融資和外部融資兩種情形下初始資金對零售商決策和收益的影響差異,結果表明,外部融資下初始資金對零售商決策和收益的影響小于不融資的對應情形.

杜文意等[24]的研究與本文最為相近,他們在外部融資下探討了零售商的庫存與促銷協同決策問題,分析了零售商持有的初始資金對庫存和促銷決策的影響.本文與杜文意等[24]的研究至少有以下三點不同,首先,杜文意等[24]關注的重心是零售商的運營與銀行的利率定價的交互影響,通過構建關于銀行和零售商的斯塔伯格博弈模型,其中銀行居于主導地位,他們刻畫了銀行的最優利率以及零售商的最優訂購和促銷策略;與之不同,本文在金融市場充分競爭假設下進行討論,力圖刻畫零售商在不同貸款利率下的融資、訂購和促銷策略.其次,杜文意等[24]沒有刻畫零售商促銷的臨界條件,而是隱含地假定零售商一定會實施促銷努力,但本文的研究表明,只有當零售商的初始資金和貸款利率滿足一定條件下,零售商才會促銷,當這一條件不被滿足時,零售商將把所有可用資金(包括初始資金和銀行貸款)用于商品采購.最后,杜文意等[24]在零售商實施貸款下進行討論,沒有刻畫零售商融資的臨界條件,是本文研究的一個特例;本文的研究表明,如果初始資金足夠高以至于資金運用的邊際收益低于融資成本,零售商將不對外融資.

本文揭示了零售商的融資、訂購、促銷策略以及收益關于初始資金、金融市場利率、銷售價格和采購價格的變化規律.刻畫了零售商融資和促銷的臨界條件,分別回答了零售商應在什么情形下融資以及促銷的問題.得到了一系列新的研究結論,當市場利率較低時,相對于不融資的情形,在外部融資下零售商將花費更多的資金用于促銷,且市場利率越低,零售商的促銷力度越大;在資金短缺下,隨著采購價格的上升,零售商將增大對商品采購資金的運用,同時減少促銷資金的運用.最后,本文的研究也為解釋與促銷有關的部分經濟現象提供了新的理論視角.

2 零售商促銷下的資金約束模型

考慮經營單一商品的零售商, 在不促銷下商品潛在市場需求量記為ξ, 它是一個隨機變量, 其分布函數和密度函數分別為F(·)和f(·), 為了討論方便, 約定f(ξ) > 0, 并記(ξ) = 1 ?F(ξ).零售商的采購價格為w, 銷售價格為p.零售商經營報童類商品, 需在銷售期前確定訂貨量Q, 其用于商品采購的資金Bc= wQ.在不考慮促銷和資金約束下, 零售商面臨的問題是經典的報童問題, 其最優訂購量為Q°= F?1(w/p).

在不調整銷售價格下,零售商開展促銷活動(非價格促銷)可改善商品市場需求.用Bm表示零售商用于促銷的資金,用D(Bm)表示在促銷資金為Bm下市場需求的增量.基于此,在零售商促銷下商品的市場需求可模型化為D(Bm)+ξ.一般地,促銷資金越多,對市場需求的改進力度越大,但促銷對市場需求的改善具有邊際遞減效應,即滿足D′(Bm)>0,D′′(Bm)<0 且D(0)=0,其中D(0)=0 表示零售商不實施促銷活動下市場需求的改善為0.

當采購和促銷資金分別為Bc和Bm時,零售商可實現的利潤為

用E[π(Bc,Bm)]表示零售商利潤的數學期望.下面將分別給出零售商在資金充裕和資金短缺下的最優運營策略,其中資金短缺又包括不融資和外部融資兩種情形.

2.1 資金充裕模型

零售商面臨確定Bc和Bm以最大化E[π(Bc,Bm)] 的優化問題,即

要確保(P1)存在內點解,約定(p ?w)D′(0)>1.設是上述問題的最優解,則有

下面簡要解釋為什么要施加(p ?w)D′(0) > 1 這一限制條件.注意到式(2)和式(3)的左側分別表示的是花在商品采購和促銷業務上的最后一單位資金實現的邊際收益, 當Q > Q°時, 零售商采購商品的邊際收益小于1, 而持有現金的邊際成本為1, 因此, 在不開展促銷活動下零售商至多采購數量為Q°的商品.當Q ≤Q°時,零售商花費Bm促銷資金的邊際收益為pD′(Bm)F(Q),因促銷的邊際效應遞減,則有pD′(Bm)F(Q)

定理1無資金約束下,零售商的最優采購資金和促銷資金由以下條件聯合確定, 即

證明見附錄(后文中未給出的證明均列在附錄中).

定理1 刻畫了無資金約束下采購資金和促銷資金的關系,其中最優促銷資金由促銷對市場需求的改善作用所確定,因(p ?w)D′(Bm)表示的是促銷資金為Bm時的邊際收益,而持有現金的邊際成本為1,根據邊際收益等于邊際成本的原則,可確定最優促銷資金.商品采購資金由兩部分構成, 一是不促銷下最優采購資金wQ°,二是因促銷導致的市場增量需額外花費的采購資金wD().根據定理1,如果促銷能改善市場需求,那么零售商采購的商品數量將多于不促銷的對應情形,即

2.2 資金短缺模型

在現實中,零售商常常面臨資金約束,設零售商持有的初始資金為B.零售商的采購和促銷資金均需在期初進行支付,本文不考慮零售商在期中將銷售回籠資金用于促銷活動的情形.下面分零售商不對外融資和對外融資兩種情形進行討論.

2.2.1 不融資情形

當零售商不能從外部獲取資金融通時,商品采購和促銷活動所需資金只能來自于初始資金.在資金約束下,零售商面臨以下優化問題(P2)

在求解(P2)之前,先給出兩個引理.

引理1存在B°滿足且有B°

引理2設Bc(B),Bm(B)是下面兩個方程的解,即

令G(B)=Bc(B)/w ?D(Bm(B)),則有,1)Bc(B),Bm(B)和G(B)均是關于B的嚴格增函數;2)Bc(B°)=B°,Bm(B°)=0 且Bc(B)+Bm(B)≥B°; 3).

根據引理2, 當B≥B°時,如果把所有的資金用于商品采購和促銷活動, 且在兩者之間進行合理的配置, 即花費在兩項活動的資金產生相等的邊際收益, 那么隨著初始資金增加, 資金運用的邊際收益遞減.當B

根據引理1 后的討論,促銷資金的邊際收益與商品采購數量(或資金)有關.而在零售商促銷下,采購資金的邊際收益依賴于促銷強度(等價地,促銷資金):促銷資金Bm越多,采購資金Bc實現的邊際收益就越大.因此,零售商用于商品采購和促銷的資金應相互協調.

求解P2,可得零售商的資金運用策略,相關結果如下.

定理2在不考慮外部融資下,零售商的資金配置決策B?c和B?m滿足: 1)當B

在不融資下,零售商的資金運用策略如表1 所示.

表1 不融資下零售商的資金運用策略Table 1 The funding operation strategy of the retailer in the absence of financing

圖1 反映了不同初始資金下零售商的資金運用策略.當B B°,零售商將同時實施采購和促銷活動,且采購和促銷資金均隨著初始資金增大而上升,并維持相互協調的關系,直到為止,此時零售商在兩項活動中的開支分別為當初始資金進一步增加時,采購和促銷資金維持在不再隨著初始資金的增大而上升.

圖1 不融資下零售商的資金運用策略Fig.1 The funding operation strategy of the retailer in the absence of financing

當B≤B°時,零售商將把所有的初始資金運用于采購商品.在零售商的初始資金十分稀缺下, 即使把所有資金運用于商品采購,相對于既定的市場需求,也是供不應求的,因而沒有必要實施促銷活動,對應的資金運用策略反映在圖1 中B°的左側.

2.2.2 外部融資情形

假設零售商可向銀行等金融機構融通資金.為了集中討論零售商的融資和運營策略, 假定金融市場充分競爭[17,19,25], 在這一假設下, 可設融資期限為一個經營周期下的貸款利率為r.不失一般性, 約定0 ≤r≤(p ?w)/w.為了看清r≤(p ?w)/w這一限定條件表達的意義,將其改寫為w(1+r)≤p,如果這一條件被違背,零售商融資后采購商品的成本將大于銷售價格, 零售商的最優決策將是不融資.在貸款金額為C且利率為r下,零售商分別運用Bc和Bm的資金于商品采購和促銷活動可實現的利潤為

零售商面臨確定貸款金額并將包括初始資金和貸款在內的資金運用于采購商品和促銷活動以最大化其期望利潤的問題(P3)

設r°滿足如下條件:(B°/w) =w(1+r°).令B(r) 滿足(B(r)/w) =w(1+r),易證B(r) =wF?1(φ),其中φ=(p ?w(1+r))/p.很顯然,B(r)是關于r的嚴格減函數,且有B(r°)=B°.有以下結論.

引理3當且僅當r°

證明要使式(6)中等式成立,由有0< r≤(p ?w)/w;由引理1,要使式(6)中的不等式成立, 必然要求

最后利用B(r)的遞減性及B(r°)=B°,引理3 得證. 證畢.

引理4當且僅當0 ≤r≤r°時,存在一個B ∈[B°,B??c +B??m]滿足

證明根據引理2,要使式(7)中第一個等式成立,必有B°≤B.而由定理1, 又有

注意到由B(r)和(x)的遞減性以及G(B),引理4 得證. 證畢.

利用引理3 和引理4,可刻畫零售商在外部融資下的資金籌集及運用策略.

定理3在外部融資下,零售商的最優融資Cr?和資金配置決策如下: 1)如果r >r°,那么(a)當時,則有.2)如果r≤r°,那么(a)當B <時,有(b)當B≥B時,有

根據引理3,當r >r°時,有B時,資金運用的邊際收益將小于貸款的邊際成本,不貸款是零售商的最優選擇.

當r

表2 外部融資下零售商的資金運營策略Table 2 The funding operation strategy of the retailer in the presence of outer financing

前面的討論表明, 零售商是否選擇貸款依賴于初始資金的豐裕情況和融資的利率, 為了強調這種關系, 使用記號Cr?(B)>0 和Cr?(B) = 0 表示在利率等于r且初始資金為B下零售商選擇貸款和不選擇貸款.定義兩個集合A={B|Cr?(B)>0}以及={B|Cr?(B)=0}, 根據定理3, 顯然有A∩=?,A∪=?,其中?和?分別表示空集和全集.

推論1設B1∈A,B2∈A,則有: 1)如果B B2,那么B ∈.

證明直接由定理3 可推得結論. 證畢.

由定理3 和推論1,零售商的資金籌集及運用策略可用圖2 和圖3 來反映.

圖2 反映的是r > r°下的策略.只要B <,零售商就從外部籌集資金,并使借貸資金與初始資金總和等于,然后將完全用于采購商品.當B≥時,零售商不向資金市場籌資,商品采購和促銷的資金運用與不貸款時的最優策略保持一致.

圖2 零售商的資金運用策略(r >r°)Fig.2 The funding operation strategy of the retailer(r >r°)

當r≤r°時,零售商的融資及資金運用策略如圖3 所示.只要B <,零售商就貸款,且貸款金額正好使得零售商的總資金等于;在資金運用一側,零售商將把數量為的資金投放到商品采購和促銷活動中去,并確保兩項活動的邊際收益相等.當B≥時,零售商不貸款,商品采購和促銷的資金運用與不考慮融資下的最優策略保持一致.

圖3 零售商的資金運用策略(r ≤r°)Fig.3 The funding operation strategy of the retailer(r ≤r°)

Dada 等[3]在不考慮促銷下得到以下研究結論:即使存在融資機會,零售商的采購量仍低于理想的最優訂購量.根據定理3,只要r >0,就有因此,上述結論在零售商促銷下仍然成立.此外, 還有綜上,存在融資機會下,零售商將加大采購數量,且在市場利率較低時還將加大促銷力度,盡管如此,零售商的采購量和促銷強度仍然低于理想值.

2.2.3 比較分析

基于定理2 和定理3,表3 總結了零售商在不融資和外部融資下的資金運用策略.

表3 不融資和對外融資下零售商的運營策略對比Table 1 Comparison of the operational strategies of the retailer in case of no financing and of outer financing

在外部融資下,資金短缺的零售商將采購數量更多的商品,這與Dada 等[3]以及陳祥鋒等[14]在不考慮促銷下的研究結論是一致的.雖然融資能增加零售商的訂購量, 但對促銷的影響則更為復雜, 當利率較高(r > r°)時,零售商的促銷策略在不融資和外部融資下相同,即融資不增大零售商的促銷力度;當利率較低(r≤r°)時,相對于不融資的情形,在外部融資下零售商將花費更多的資金用于促銷.

定理4如果且E[πr?] ≥E[π?],其中嚴格不等式至少在B的一個區間成立.

存在融資機會下,零售商將會借助貸款等方式緩解資金短缺問題,這將導致外部融資下的資金運用大于不融資的對應情形.如果零售商是理性的,外部融資可實現的收益必定大于(至少不小于)融資成本,因此,外部融資下的期望收益大于(至少不小于)不融資的對應情形.陳祥鋒等[14]在不考慮零售商促銷下分析了外部融資對供應鏈績效的影響,得到了融資服務有助于改善運營績效的結論,這與定理4 是一致的.

3 比較靜態分析

3.1 初始資金對零售商策略和收益的影響分析

定理2 和定理3 表明零售商的初始資金會影響其運營策略,下面的結果進一步揭示了初始資金的多寡對零售商策略及其收益的影響.

定理51)在區間均是關于B的非減函數.2)在區間E[π?]關于B嚴格增且嚴格凹,而E[πr?]是關于B的嚴格增的凹函數,且有

(a)如果r >r°,當B <時,有當B >B時,有

(b)如果r≤r°,當B <時,有

在資金短缺下,如果零售商沒有融資機會,其擁有的初始資金越多,就會將更多的資金運用于商品采購和促銷活動.如果存在外部融資機會,當零售商的初始資金嚴重短缺時,零售商將通過金融機構獲得外部資金支持,在這種情形下,零售商擁有的初始資金數量對資金運用策略沒有影響;盡管如此,如果零售商的初始資金達到一定的規模,以至于不會利用外部融資渠道,那么零售商的資金運用策略與不融資的情形是一樣的,在這種情形下,初始資金越多,零售商用于商品采購和促銷活動的資金也越多.杜文意等[24]也得到了這一結論,他們討論的情形對應于r≤r°且B ∈(0,)的情形,是本文的一個特例.在資金短缺下,無論是否存在融資機會,零售商的初始資金越多,可實現的收益就越大.如果沒有融資機會,零售商的資金運用均來源于初始資金,由于資金運用遵循邊際收益遞減規律,在資金的運用實現最優之前,資金運用實現的邊際收益大于持有現金可實現的收益.因此,在資金短缺下,初始資金越多,實現的收益越大,且隨著初始資金的上升,它對零售商收益的影響遞減.如果存在融資機會,理性的零售商只有在融資實現的收益大于融資成本時才會選擇外部融資,相對于自有資金,融資額外帶來的資金成本為r,因此,初始資金越多,零售商實現的收益就越大,且每增加一單位初始資金,零售商的期望收益可增大r單位.在外部融資下,初始資金對零售商收益的影響小于不融資的對應情形,這是因為零售商可借助外部融資緩解資金短缺問題,因而對初始資金的依賴程度相對較弱.

3.2 金融市場利率對零售商策略和收益的影響分析

除了初始資金,金融市場利率對零售商的決策和收益也有重要影響.下面討論這一問題.

引理5和均是關于r的嚴格減函數.

證明將隱函數定理分別運用于式(6)和式(7)可得相關結論. 證畢.

利用引理5,可得以下結論.

定理61)當r >r°時,和Cr?是關于r的減函數,獨立于r的變化;當r

如果資金嚴重匱乏,金融市場利率越高,融資成本越大,零售商越趨向于減少貸款總額,對應地,減少商品采購和促銷活動的資金運用.如果資金相對不足,利率又足夠高以至于零售商的最優選擇是不實施貸款,那么利率的微小變化對零售商的資金運用就不會產生任何影響.

如果零售商實施貸款(Cr?>0),那么利率對零售商的收益具有負面影響,且利率每提高一個單位,貸款成本上升Cr?個單位,因而期望收益減少Cr?個單位.隨著利率的上升,零售商的貸款金額下降,Cr?減小, 直到Cr?= 0 為止.因此, 利率對零售商收益的負面影響程度隨利率的上升而遞減.如果資金相對充足,或者利率過高,以至于零售商放棄貸款,那么利率的微小變化對零售商的收益沒有影響.特別地,如果零售商資金充足=0,利率的變化不影響零售商的收益,這與直覺相符.

3.3 銷售價格對零售商策略和收益的影響分析

下面討論銷售價格對零售商決策和收益的影響.有下列結論.

引理6和關于p嚴格增,B°獨立于p的變化,和關于p嚴格增.

證明略.

定理71)是關于p的增函數.

2)E[π?]和E[πr?]關于p嚴格遞增且凸,且

在資金短缺下,如果沒有融資機會,銷售價格的改變對零售商的資金運用策略沒有影響,因為價格的改變對商品采購資金和促銷資金的收益具有相同的影響,因而采購資金和促銷資金的最優配比不變.盡管如此,銷售價格的上升增大了商品采購和促銷活動的資金收益,因此,如果存在融資機會,零售商將籌集更多的貸款用于上述兩項活動.在資金充足下,隨著銷售價格的上升,資金運用的邊際收益上升,零售商將同時增大商品采購和促銷活動的資金運用.

如果沒有融資機會,在資金短缺下,銷售價格的上升不改變資金運用策略,因而最終實現的商品期望銷量保持不變,銷售價格每上升一個單位,利潤按商品銷量成比例地增加,因而是線性的; 在資金充足下,銷售價格的上升誘導零售商增大商品采購和促銷力度,最終實現的商品銷量上升,銷售價格的上漲對利潤的影響有兩個方面,一是單位商品邊際收益的增加,二是商品銷量增大對利潤的正向影響,兩者的共同作用使得零售商的利潤關于銷售價格遞增.如果存在融資機會,在資金短缺下,銷售價格上升誘導零售商加大融資力度,并相應地加大商品采購和促銷力度,其對利潤的影響也是凸增的.除非資金充足,否則,初始資金越多,銷售價格對利潤的影響程度越大.在資金短缺下,如果沒有融資機會,隨著初始資金的增加,零售商將加大資金運用力度,商品期望銷量隨之增加,銷售價格對利潤的影響程度上升;如果存在融資機會,在資金嚴重短缺下,借助對外融資,可確保資金運用策略不變,商品期望銷量不變,銷售價格對利潤的影響程度不變.在資金充足下,價格的變化不改變零售商的資金運用策略,銷售價格對利潤的影響不再隨價格的變化而變化.

3.4 采購價格對零售商策略和收益的影響分析

采購價格的變化對零售商采購資金運用策略的影響比較復雜,在一般情形下不能得到一致的結果,但對采購商品數量的影響是確定的.令有下列結論.

引理7關于w嚴格遞減.如果隨機變量ξ具有遞增失敗率,那么B°和Bc(B)均是關于w的嚴格增函數,而Bm(B)和是關于w的嚴格減函數.

定理8若隨機變量ξ具有遞增失敗率,則關于w嚴格遞減,且E[π?]和E[πr?]均是關于w的嚴格減函數.

采購價格上升導致采購成本上升,零售商隨之減少商品采購數量.面臨同樣的市場需求,零售商將減少促銷投入,否則將導致對市場的激勵過度.在資金充足下,由于采購價格上漲,采購資金數量是不確定的,而在資金相對短缺且不對外融資下, 零售商將把所有初始資金運用于商品采購和促銷活動, 由于促銷資金減少,因而用于商品采購的資金增大(但采購資金增大的程度小于采購價格上漲的程度,商品采購數量下降).采購價格上升,每采購一單位商品實現的邊際收益(利潤)減少而采購商品的數量為零售商利潤減少量為兩者的乘積.在資金充足下,初始資金的變化不改變采購商品數量也不改變采購資金的邊際收益(恒等于1),因此,采購價格對利潤的影響程度不隨初始資金的變化而變化.在資金短缺下,隨著初始資金的增加,采購商品數量增加,但采購資金的邊際收益遞減,兩者對利潤的影響方向正好相反,且在一般情形下不能確定兩者之中誰對利潤的影響程度更大.

4 進一步討論

4.1 零售商的融資決策

在外部融資下,給定銷售價格和采購價格不變,零售商是否融資依賴于初始資金的豐裕情況、貸款利率以及市場的需求分布.給定市場需求分布,零售商的融資決策取決于初始資金及貸款利率兩個因素.直覺上,初始資金充足則不必融資,比如當時;而初始資金不足則可能從資金市場拆借資金.盡管如此,相對于初始資金,借貸資金的使用成本更高(初始資金的邊際使用成本為1而借貸資金的邊際使用成本為1+r).如果初始資金充足,零售商將把資金使用到邊際收益等于1 為止,但在資金短缺下,根據邊際收益等于邊際成本的決策準則,零售商的資金運用將止于邊際收益等于1+r,前提是其能夠以利率r籌集到相應的資金.除了初始資金這一影響因素之外,借貸市場的利率是另一個影響零售商融資決策的重要因素,一般地,借貸市場的利率越高,零售商越趨向于不融資或少融資,而借貸市場的利率越低,零售商越趨向于融資.

推論2如果r=0,則有如果r=(p ?w)/w,則有B=0.

證明直接由引理3 和引理4 可推得結論. 證畢.

如果融資沒有成本,零售商使用借貸資金的成本與初始資金相同,那么零售商總趨向于貸款,除非初始資金相當充足.反之,當貸款利率r很高,以至于w(1+r)=p,借助外部融資來經營商品沒有利益,零售商將不對外融資,即使初始資金十分匱乏.很顯然,r=0 對應基準模型,而r≥(p ?w)/w對應不融資情形.

4.2 零售商的促銷決策

在不考慮融資的情形下,零售商是否促銷依賴于初始資金的豐裕情況、市場的需求分布以及促銷對市場改善的作用.根據前文的討論, 零售商促銷的資金臨界點為B°, 當且僅當B > B°時, 零售商促銷.根據B°的定義,容易表明B°關于D′(0)遞減,既然D′(0)表示第一單位促銷資金對改進市場需求的作用,當其增大時,零售商采取促銷活動的可能性上升,這一結論符合直覺.相對于日常用品和普通功能性用品,創新性產品和時尚用品的促銷活動對市場需求的改善效果更佳,經營這類產品的商戶更有激勵采取促銷活動,這與商業實踐相吻合.在融資下,零售商的促銷決策還依賴于金融市場的利率.直覺上,借貸市場的存在將增大零售商促銷的可能性,且市場利率越低,零售商促銷的可能性越大.但理論分析表明,上述直覺并不成立.當r > r°時,如果零售商在不融資下的最優決策是不促銷,那么零售商不會借助融資來開展促銷活動,即借貸市場的存在不改變是否促銷的決策,不增大零售商實施促銷活動的可能性.盡管如此,當r < r°時,無論初始資金如何,零售商總是趨向于實施促銷活動,且促銷的力度依賴于市場利率:市場利率越低,促銷力度就越大.前面的討論有助于解釋下面的經濟現象.第一個經濟現象:經營生活必需品或大宗商品的零售商基本不開展促銷活動,經營日常用品和普通功能性用品的零售商也很少實施促銷活動,或者即使促銷但力度很小,而經營創新性產品和時尚用品的零售商則會花較多的資金進行商品促銷.這一經濟現象可解釋如下:由于經營不同性質商品的零售商面臨不同的市場,這些市場對促銷的敏感程度差異巨大,在不同商品市場下,同樣的促銷資金對市場需求改善作用的效果迥異.第二個經濟現象是規模較大的零售商更多地開展促銷活動,這有兩個原因,一是規模較大的零售商資金相對充裕,二是促銷資金的邊際收益與商品的庫存數量有關,而規模較大的零售商其商品庫存數量更大.第三個經濟現象:在貨幣擴張政策下,零售行業相對繁榮,零售商不僅采購更多數量的商品,而且加大力度開展形式多樣的促銷活動.這是由于通貨膨脹,商品價格上漲,且借貸市場利率降低,融資成本變小,很多中小零售商不惜通過融資的方式也要實施促銷活動以贏得商業競爭.

5 結束語

隨著市場競爭的加劇和需求不確定性的增加,零售商將更多地借助促銷手段來獲得競爭優勢.在初始資金充足下,零售商擁有更多的資源來實施促銷活動,但廣大中小零售商常常面臨資金約束,在此背景下,中小零售商在每個運營周期,尤其是在創業初期和快速發展時期(在這兩個時期零售商尤其需要通過促銷活動來打開市場銷路),都需對資金運用及籌集等問題進行決策.本文在不融資和外部融資兩種情形下,分別刻畫并比較分析了零售商在不同初始資金狀況下的最優訂購、促銷和融資策略.刻畫了零售商促銷和融資的臨界條件,討論了零售商的初始資金、市場利率、銷售價格和采購價格對零售商運營策略和收益的影響.最后,利用研究結果解釋了與促銷有關的部分經濟現象.

本文是在金融市場完全競爭假設下進行的研究,市場利率外生給定,下一步可考慮策略性金融機構與零售商的博弈問題.此外,在融資渠道方面,本文僅討論了外部融資下零售商的決策問題,供應鏈內部融資下的契約設計問題也值得進一步研究.

附 錄

定理1 的證明E[π(Bc,Bm)]關于Bc和Bm的海塞矩陣

注意到D′′(Bm)<0,因此,H是嚴格負定陣.零售商關于確定Bc和Bm以最大化E[π(Bc,Bm)]的優化問題存在唯一最優解.上述極大化問題的一階最優條件給出式(2)和式(3),將式(2)和式(3)簡單變形并注意到可完成證明. 證畢.

引理1 的證明考慮兩個函數wD′(0)F(B/w)和前者關于B遞增,后者關于B遞減,由

并注意到F()的連續性,必定存在B°滿足

下證B° 1,而由式(2),又有故有wD′(0)F(Q°)>(Q°),根據B°的定義,可得證畢.

引理2 的證明1)先證明Bc(B)和Bm(B)關于B嚴格增.注意到Bc(B)和Bm(B)滿足式(4),因而有

上面等式左側的式子是關于Bc(B)的嚴格減函數和Bm(B)的增函數, 而右側左子是關于Bc(B) 的嚴格增函數和Bm(B)的減函數,因Bc(B)+Bm(B)=B, 用反證法即可證明Bc(B)和Bm(B)關于B嚴格增.

下證G(B)B的增函數.將上面的等式改寫為

使用隱函數定理,對上式兩邊求關于B的一階導數,有

簡單的恒等變換,得

注意到D′′(Bm(B))<0 以及Bm′(B)>0,故有G′(B)>0.

2)用反證法證明Bc(B)+Bm(B)≥B°,假設Bc(B)+Bm(B)

這與式(4)矛盾.

最后, 容易驗證Bc(B°) =B°和Bm(B°) = 0 是方程(4)和方程(5)聯合確定的解.下證它是唯一解, 如若不然, 則有Bc(B°)0,但這將與式(4)矛盾.

3)與2)的證明類似,略去. 證畢.

定理2 的證明設和為P2 的最優解.P2 的K-T 條件可表示為

下面通過對K-T 條件的討論來求解P2.首先排除μc>0 的情形, 如果μc>0, 則有= 0, 由式(F2), 有μm=1+λ>0,故有=0,這顯然不是最優解.基于此,后文在μc=0 下進行討論,分四種情形.

1)λ=0,μm=0.

在這種情形下,式(F1)和式(F2)分別簡化為式(2)和式(3),因而有

2)λ=0,μm>0.

由μm>0 可得=0,由式(F1)可得式=wQ°,因此式(F2)可簡化為

這與假設(p ?w)D′(0)>1 相矛盾.

3)λ>0,μm>0.

4)λ>0,μm=0.

在這種情形下,式(F1)和式(F2)簡化為

注意到λ>0,通過比較式(2)和式(F9),可得

利用這一結果,由式(3)和式(F10)及D(·)的凹性,可證再將這一結果置入式(F11),則有這等價于最后,利用引理2 以及λ>0,又有綜上,可得

證畢.

定理3 的證明設是P3 的最優解.P3 的K-T 條件為

與定理2 的證明類似,有關μc=0 的討論仍然是成立的.下面分κ=0 和κ>0 兩種情形進行討論.

第一種情形:κ=0.

如果κ= 0,則由式(F14),有λ=r >0.如果零售商進行了貸款,那么資金約束將起作用, 即零售商將把包括初始資金和貸款在內的所有資金用于采購商品和實施促銷活動,不允許存在閑置資金.

1)κ>0.

由κ>0,有=0,與λ=r >0 相結合,則有且由式(F12)和式(F13)可得

2)μm=0.

根據式(F12)和式(F13),可由以下三式聯合確定, 即

第二種情形:κ>0.

在這種情形下,有Cr?=0,即零售商的最優決策是不貸款.

1)λ=0,μm=0.

此時, 式(F12)和式(F13)分別簡化為式(2)和式(3), 故有式而由Cr?= 0 及λ= 0, 必有

2)λ=0,μm>0.

由μm>0 可得=0,由式(F12)可得=wQ°,式(F13)還原為(p ?w)D′(0)=1?μm<1,這與假設矛盾.

3)λ>0,μm>0.

由式(F14)以及κ >0,有λ < r;由μm>0,又有= 0,注意到λ >0,則有=B.將上述結果與式(F12)和式(F13)相結合可得

4)λ>0,μm=0.

當μm=0 時,由式(F12)和式(F13)可得

因λ>0,故有根據引理4,上式可簡化為

如果r >r°,由引理2,則有如果r≤r°,由引理3,可得證畢.

定理4 的證明有關的結論可直接由定理2 和定理3 得到.下證E[πr?]≥E[π?].

注意到Cr?在B的某些區間大于零,在這種情形下上述推導中的不等式為嚴格不等式,因此E[πr?]≥E[π?]至少在B的一個區間嚴格成立. 證畢.

定理5 的證明1)利用定理2 和定理3 可直接推得結論.

2)由包絡定理,有

上面第二個等式由式(F13)及μc= 0 得到.當時, 由定理2 證明中的第1) 種情形, 有λ= 0, 故有時,由定理2 證明中的第3)和4)種情形,有λ>0.由r°的定義=w(1+r°),可得

由式(F26),又有

當00,與式(F27)相結合可證:在區間

E[πr?]關于B在區間嚴格遞增和凹的證明是類似的,證明略.

1)注意到當B >時,有E[πr?]=E[π?], 故有

當B <

由定理3 證明中的(1.1),有

綜上,有

其中第二個等式來自于式(6)以及

2)與第1)種情形的證明類似,略. 證畢.

定理6 的證明1)直接由定理3 和引理5 可推得結論.

定理7 的證明1)由定理2、定理3 和引理6 可直接推得結論.

2)由包絡定理,有

引理7 的證明在證明之前,首先給出一個引理.

令S(ξ)=F(ξ)?z(ξ)(ξ+k),其中z(ξ)=

引理8如果隨機變量ξ具有遞增失敗率,那么S(ξ)≤0, 且當ξ >0 或者k >0 時,有S(ξ)<0.

引理8 的證明由S(0)≤0 以及

則有S(ξ)≤0,且當ξ >0 或者k >0 時,有S(ξ)<0. 證畢.

下面證明引理7.1)將隱函數定理分別運用于式(2)、式(3)、式(6)及式(7)可完成第一部分的證明.

下證第二部分.首先證明Bm(B)關于w嚴格遞增.利用引理2,將式(4)和式(5)改寫為

對式(F30)兩側求關于w的一階偏導數,則有

由式(F31),利用這一結果,并由可得

將上式置入式(F32),移項后得到

第一個等式的左側小于零,由引理8,又有S(G(B)) ≤0,其中對任意B≥B° >0,有S(G(B))<0.因此,相結合,可證

由Bc(B)+Bm(B)=B,可得由B°=Bc(B°),又可得證畢.

定理8 的證明直接由定理2、定理3 和引理8 可推得第一部分的相關結論.

下證E[π?]和E[πr?]關于w遞減.由包絡定理,有