探尋數學文化試題的命題角度

蘇祥永 陳國林

(1.河南省鄭州市第十九高級中學 450000；2.江西省南昌市東華理工大學 330013)

數學文化的融入給高考試題的命題增加了新鮮的血夜，五育與數學的融合，能夠更好的促進學生的全面發展，縱觀2020年高考真題，不難發現，對數學文化的考查比例依舊很高.下面我們選取個別真題和模擬試題一起分析文化試題的命題角度.

一、命題角度分析

角度1：“美”學中的數學

胡夫金子塔是古埃及最大的一座金子塔，它是由一個個大石塊堆砌而成，據說供動用了10萬工匠，用時20年，建成后塔高146.59米，在埃菲爾鐵塔修建前，胡夫金字塔的高度是一直保持著建筑物中的第一名.

例1(2020全國Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為( ).

圖1

評注以“美”為命題的文化試題，是高考試題中的常客，除以建筑為背景的數學試題外，還有黃金分割身材的“斷臂維納斯”，美輪美奐的天壇，琴音中的音樂，美麗的風雨橋等等，

角度2：“運動”中的數學

體育運動，可以增強體魄，只有有一個強健的體魄，才能更好的學習和工作，隨著體質的增強，我們的生活方式和生活質量也會不斷提升.體育事業的不斷發展，已經成為一個國家發展進步的重要衡量標準.

評注有關體育相關的數學命題，多于賽制有關，因此要掌握求相互獨立事件同時發生的概率的主要方法：

①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.運用公式P(AB)=P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件,只有當事件A、B相互獨立時,公式才成立.

②正面計算較繁瑣(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時,可從其對立事件入手計算.

角度3：“著作”中的數學

中華文化源遠流長，數學家對數學真理的探索是不斷前行的，我們的祖先曾創造了無數的輝煌，對人類的進步做出了偉大的貢獻，因此對數學文化的學習是非常有必要的.

例3 (2020貴陽適應性考試)《九章算術》是我國古代的數學名著，書中《均輸章》有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何.”其意思為：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數列，問五人各得多少錢？(“錢”是古代的一種重量單位)在這個問題中，丙所得為( ).

解析因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數列，設每人所得依次為a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，則a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5，解得a=1，即丙所得為1錢，故選D.

評注我國古代的數學著作記錄了大量的數學問題，其中最具代表性的就是《九章算術》，因此我們會發現很多文化試題都摘錄此書，除此之外，其實還有大量的數學著作，這些都可能成為高考數學文化試題的命題選擇.

角度4：“模型”中的數學

隨著近年來對數學文化與數學應用的呼聲越來越高，數學文化與數學應用試題已經成為高考試題中不可或缺的一類考題.此類試題的命制注重實際背景，整體呈現結合應用，注重建模的特點.

例4 (2020安徽淮北二模)1943年，我國病毒學家黃禎祥在美國發表了對病毒學研究有重大影響的論文“西方馬腦炎病毒在組織培養上滴定和中和作用的進一步研究”，這一研究成果，使病毒在試管內繁殖成為現實，從此擺脫了人工繁殖病毒靠動物、雞胚培養的原始落后的方法.若試管內某種病毒細胞的總數y和天數t的函數關系為：y=2t-1，且該種病毒細胞的個數超過108時會發生變異，則該種病毒細胞實驗最多進行的天數為( )天(lg2≈0.3010.)

A.25 B.26 C.27 D.28

評注利用數學知識解決實際應用問題是學習數學的最終目的，因此在處理數學問題時，一定要注重模型思想的構建，掌握好數學的理論基礎，將實際應用問題轉化為數學問題，進而求解.

二、數學文化的命題趨勢

隨著五育并舉的提出，數學文化試題在高考中的滲透被更加的重視起來，這類試題已經成為考試中不可缺少的數學試題.從近年來的數學試題命制角度和命題方向也可以發現數學文化還是有一定的變化的，在2015年湖北卷中以《九章算術》中陽馬和鱉臑為背景，考查了線面垂直的證明和體積的計算后，此類試題就很快得到了命題人的青睞.

2016年在全國Ⅱ卷中以中國古代有計算多項式值的秦九韶算法為背景考查了流程圖，2017年全國Ⅱ卷以《算法統宗》中的燈塔問題考查了等比數列的前n項和，2018年全國Ⅱ卷以我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想研究中取得的成果為背景考查了古典概型；但在2017年全國Ⅰ卷中并沒有按照以往的以古代著作為背景進行命題，而是以中國古代的太極圖為背景考查了幾何概率，這類考題出現，隨后就出現了大量的以圖形為背景的數學文化試題，2018年全國Ⅰ卷以希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形為背景考查了幾何概率，2018年全國Ⅲ卷以中國古建筑借助榫卯為背景考查了三視圖，此后以建筑，雕塑為背景的考題又接踵而至，2019年全國Ⅰ卷以“斷臂維納斯”為背景考查了黃金分割比，2019年全國Ⅱ卷以中國悠久的金石文化——印信為背景考查球內接多面體，2020年全國Ⅱ卷以天壇為背景考查等差數列的實際應用，2020年全國Ⅰ卷以埃及金字塔為背景考查了棱錐的幾何性質；除此之外，數學文化試題還有很多，例如：2019年全國Ⅱ卷以嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸為背景考查函數的性質，2019年全國Ⅲ卷以四大名著為背景考查了估計值的求法，2020年全國Ⅱ卷以鋼琴為背景，通過音律美考查了數列的應用，2020年全國Ⅲ卷以logistic模型為背景考查了函數的實際應用，這類試題都體現了數學之美和數學之用，因此預計2021年的高考數學文化試題將以實際應用為背景，以數學模型為命題方向進行展開命題，除此之外，2021年的數學文化試題以建筑為背景進行命題的可能性依然很大.

三、跟蹤演練

1.在古代增刪算法統宗中曾有記載“公候伯子男，五四三二一，假有金五秤，依率要分訖.”意思為：“今有公、候、伯、子、男五等官員，欲按官位高低進行分75斤金，依比率為5:4:3:2:1分完.”請你幫計算一下，如果為“公”官員，可分( )斤.

A.25 B.20 C.15 D.10

2.(2020陜西榆林模擬)陀螺是漢族民間最早的娛樂工具之一，也作陀羅，閩南語稱作“干樂”，北方叫做“冰尜”或“打老牛”，陀螺的主體形狀一般是由上面部分的圓柱和下面部分的圓錐組成，從前的制作材料多為木頭，現代多為塑料或鐵制，玩耍時可用繩子纏繞用力抽繩，使其直立旋轉；或利用發條的彈力使其旋轉，如圖畫出的是某陀螺模型的三視圖，已知網格紙中小正方形的邊長為1，則該陀螺模型的體積為( ).

圖2

3.(2020河南開封一模)中國古代的五經是指：《詩經》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》；現甲、乙、丙、丁、戊5名同學各選一本書作為課外興趣研讀，若甲、乙都沒有選《詩經》，乙也沒選《春秋》，則5名同學所有可能的選擇有( ).

A.18種 B.24種 C.36種 D.54種

解析由已知代數式的求值方法：

5.蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f(n)表示第n個圖的蜂巢總數.

圖3

則f(4)=____，f(n)=____.

解析因為f(1)=1，f(2)=7=1+6，f(3)=19=1+6+12，所以f(4)=1+6+12+18=37，所以f(n)=1+6+12+18+…+6(n-1)=3n2-3n+1.