合理運用放縮法 有效破解證明不等式難題

趙 林

(山東省滕州市第二中學 277512)

證明不等式是高中數學教學難點，對學生思維的靈活性和發散性有較高要求.在證明不等式時，需要學生創新解題思路，靈活選用解題方法，才能快速、準確地解答.其中，放縮法的運用可使證明不等式問題化難為易，起到事半功倍的效果.放縮法是利用不等式的傳遞性，對照所證目標進行適當放縮的過程.在解題過程中，要掌握好“放”和“縮”的度，方能體現其優越性.

一、放縮法利于不等式中的求和

在證明不等式類題型中常會遇到不等式其中一邊的代數式需要求和的情況，但是直接求和又比較困難，此時可通過對其進行合理的“放”“縮”轉化為一個容易求和的代數式，再將其與不等式另一邊相比較，從而快速得出結果.

歸納本例是一道關于自然數的證明不等式問題，按常規思路通常會采用歸納法，但這將是一個紛繁冗長的過程.而用放縮法則可以化無限為有限，化難為簡.本題通過將每一項適當放大，把一項折成兩項之差，再求解，使解題過程更加簡潔，清晰.

二、放縮法用于不等式中的求積

在上例中，難點在于證明不等式一邊數列的前n項求和，同理，其求積也是解題的難點，采用放縮法同樣起到事半功倍的效果.

歸納在本題的證明過程中，巧妙地引用了A的對偶式B，化復雜為簡單，有效簡化了解題過程，突顯了放縮法的魔力.當然，采用歸納法也是一種解題思路，但其繁復的過程足以使人崩潰！

三、放縮法利于減少不等式一邊的變量

證明不等式題型中，如果不等式一邊是常數，另一邊為含多個變量的代數式，則可將此代數式看作關于這些變量的多元函數，然后對函數恰當放縮以減少函數中變量，直到求出常數.

分析不等式的左邊可看作關于α，β的二元函數，所以只要能求出這個函數的最小值為9即可，由于函數中包含兩個變量，我們可以借助放縮法消去一個變量化簡，得以求證.

歸納在本例題中，我們可將α當作一個常數，將不等式左邊看作是關于β的函數，求出函數的最小值，然后再求關于α的函數的最小值.

四、放縮法利于不等式取到等號

運用放縮法證明不等式時，最重要的是把握好放和縮的度.特別是不等式可取到等號時，每一步的放縮都不可與等號成立的條件相矛盾，否則，會適得其反.

歸納在本題的證明過程中，既要注意放縮的大小要適度，以確保等號成立，又要明確放縮變形的根本目標是減少變量，以求出不等式左邊的多元函數的最大值.所以，放縮法的運用要靈活適度，必須有利于簡化解題過程，以便快速得出結果.

總之，高中數學中的證明不等式問題是教學難點，也是高考命題的重點.但是，我們只要堅持科學嚴謹的數學思想，充分利用好證明不等式的解題利器——放縮法，把握好放和縮的度，一定會讓我們耳目一新，有效擊破證明不等式的各種題型，提高解題效率.