幾道有趣的錯(cuò)題

謝秋鳳

(江蘇省南京市高淳區(qū)淳輝高級(jí)中學(xué) 211300)

在南方鳳凰臺(tái)東南大學(xué)出版社出版的《專項(xiàng)精練一輪滾動(dòng)60練》微模擬11中，第6題出錯(cuò).我們將錯(cuò)就錯(cuò)，來看看各種錯(cuò)解及錯(cuò)解原因，從中折射出哪些知識(shí)點(diǎn)、哪些解題思路和方法.在探究錯(cuò)誤原因的過程中，我們既能加強(qiáng)對(duì)相關(guān)概念的理解，又能更深刻地理解體積分割法，提升同學(xué)們的解題能力.同學(xué)們?cè)诜e極主動(dòng)探求錯(cuò)誤原因中，愉悅地掌握了相關(guān)知識(shí)，敢于質(zhì)疑，尋求真理，一道錯(cuò)題又有何妨！

一、有趣的錯(cuò)題

題1 如圖1，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A′B′C′D′中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在C′D′和C′B′ 上，且C′E=4，C′F=3，連接EF，F(xiàn)B，DE，則幾何體EFC′-DBC的體積為____.

錯(cuò)解2如圖2，連接BE，CE.

所以VEFC′-BCD=VE-BCD+VE-BCC′F=72.

錯(cuò)解3如圖3，連接DF，CF.

所以VEFC′-BCD=VF-BCD+VF-CC′ED=66.

錯(cuò)解原因我們分組討論不難發(fā)現(xiàn)錯(cuò)解1的錯(cuò)誤原因：如圖4，延長(zhǎng)DE，CC′，BF，它們并不相交于同一點(diǎn)，所以這個(gè)幾何體并不是棱臺(tái)，故不能選擇棱臺(tái)的體積公式解決.

錯(cuò)解2與錯(cuò)解3的解題思路相同，但答案卻不相同.這時(shí)候，同學(xué)們首先是主動(dòng)查找各自的計(jì)算有沒有錯(cuò)誤，幾何體的分割有沒有重復(fù)或遺漏.經(jīng)反復(fù)驗(yàn)證，這些都沒有問題，那么，問題在哪里呢？同學(xué)們陷入深深的思考中，開始質(zhì)疑題目是否出錯(cuò)，大膽提出設(shè)想，接下來驗(yàn)證說明為什么是題目錯(cuò)了.最后我們發(fā)現(xiàn)：由于B，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)不共面，錯(cuò)解2中連接BE，錯(cuò)解3中連接DF，它們所圍成的幾何體不同，體積自然不同.所以，這一題由于題目中未說清楚幾何體的構(gòu)成，無法計(jì)算其體積.

題2如圖5所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，并且AC=BC=AA1=2.

(1)求解直線BC1和A1D所成角的大小；

(2)求解直線A1E和平面A1CD所成角的正弦值.

錯(cuò)題原因在解題中，學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤主要是因?yàn)閷?duì)向量所成角和異面直線所成角的關(guān)系理解有偏差，兩個(gè)空間向量所成的角并不等于異面直線所成的角，出現(xiàn)解題錯(cuò)誤是因?yàn)閷⑺鼈兊韧?其實(shí)，它們從定義和范圍上有著一定的不同.異面直線所成角的范圍是(0，90°]，當(dāng)求解出兩條直線所成的角是鈍角時(shí)，需要求解出補(bǔ)角，利用公式計(jì)算出角的余弦值是負(fù)值時(shí)，需要求解絕對(duì)值.

(1)證明A1C⊥BB1D1D；

(2)求解平面OCB1和平面BB1D1D所成角的大小.

錯(cuò)誤探究在此題解答中，第一個(gè)線面垂直的問題，學(xué)生一般不會(huì)出現(xiàn)解題錯(cuò)誤，主要是在面面之間的夾角求解出現(xiàn)錯(cuò)誤，學(xué)生把平面和平面形成的角和二面角混淆了，平面是可以無限延伸的，因此，平面和平面形成的角可以看成是兩個(gè)二面角，一般來說，求解出的答案應(yīng)該是兩個(gè)值，而且是相互互補(bǔ).在二面角的求解中，其答案則是唯一確定的.

二、有趣的解題

題4 在幾何體中，其三視圖如圖7所示，求解該幾何體外接球的表面積.

解題探究此題是幾何體外接球問題，在解題中，學(xué)生很容易忽視的是球的幾何性質(zhì)，主要考查學(xué)生空間想象能力、平面向空間轉(zhuǎn)化能力以及學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算能力.雖然此題是求解外接球表面積，但是，在球半徑的求解中，需要進(jìn)行逐步分析，對(duì)學(xué)生邏輯思維具有一定的要求.在求解和幾何體外接球相關(guān)的題目時(shí)，學(xué)生需要將立體的球轉(zhuǎn)化成平面圓，對(duì)題目進(jìn)行分析，開展深層次的思考和探究，此類型題目具有一定的難度.

題5在平面α中，m，n是其面上兩條不同的直線，在平面β內(nèi)有兩條相交的直線l，s，則平面α和平面β垂直的充分不必要條件是( ).

A.l⊥m，l⊥nB.m⊥l，m⊥s

C.m⊥l，n⊥sDm∥n，l⊥m

解析在題目中已知的條件是空間內(nèi)的兩個(gè)面以及面上的兩條直線，通過線面關(guān)系進(jìn)行線面垂直的證明，要求學(xué)生掌握面面垂直的基礎(chǔ)方式，利用線面垂直判定定理以及二面角知識(shí).此題屬于選擇題類型，在解題時(shí)，讓學(xué)生根據(jù)選項(xiàng)，畫出相應(yīng)的圖形，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行判斷，通過這樣的判斷，最終可以得出選項(xiàng)B正確.

解題探究此題是線面關(guān)系的典型例題，屬于小題類型，命題非常靈活，主要對(duì)線面空間位置關(guān)系進(jìn)行考查.在實(shí)際的分析中，需要利用不同幾何體或者線面關(guān)系做出分析.在實(shí)際的解題中，由于線面垂直、平行以及垂直等性質(zhì)定理，學(xué)生很容易脫離幾何載體，或者忽視幾何常識(shí)，使得學(xué)生解題出現(xiàn)錯(cuò)誤.面對(duì)這樣的基礎(chǔ)問題，需要立足空間幾何觀察，加強(qiáng)學(xué)生基礎(chǔ)能力和基本方法培養(yǎng).在具體教學(xué)中，結(jié)合數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn)，讓學(xué)生準(zhǔn)確把握概念知識(shí)，注重常規(guī)問題分析，避免學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤.

盡管這一題目出錯(cuò)了，同學(xué)們通過觀察幾何體，深化了解了棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征；嘗試了分割幾何體的方法，轉(zhuǎn)化為錐體的體積計(jì)算；從觀察到分析、計(jì)算、探究、質(zhì)疑，以及大膽提出題目出錯(cuò)，到最后的論證，同學(xué)們愉快地掌握了相關(guān)知識(shí)和幾何體分割思想方法，還培養(yǎng)了同學(xué)們敢于質(zhì)疑，尋求真理的優(yōu)秀品質(zhì).