關于利用初等變換法求解線性方程組的教學研究與探討

夏遠梅

(重慶師范大學數學科學學院 401331)

在《線性代數》的教學中，初等變換法是一類非常重要的方法，同時也是學生在利用初等變換法求解線性方程組過程中容易混淆的一類方法.學生之所以在利用初等變換法求解線性方程組過程中容易混淆，其根本原因是初等變換法包括初等行變換和初等列變換兩類方法，學生在利用初等變換法求解線性方程組過程中容易將兩種變換法混合使用并且我們在課堂教學中往往只講了初等行變換求解線性方程組的方法，導致學生對初等列變換求解線性方程組的方法的掌握總是懵懵懂懂，所以容易產生混淆.本文通過對兩類方法進行介紹并解釋為什么需要這樣進行分類，通過讓學生著手練習，建議學生采用初等行變換求解線性方程組的方法，使得學生熟練掌握利用初等變換法求解線性方程組并避免在求解過程中混淆使用.進一步，采用線上線下相結合的教學模式，利用雨課堂讓學生線上提交答案，掌握學生的學習與收獲情況，并根據學生掌握的情況對相應的知識內容進行補充.下面首先回顧一下什么叫初等行變換、初等列變換和初等變換：

定義1 下面三類變換稱為矩陣的初等行變換：

(1)對換變換：將矩陣的某兩行對換位置(對換i，j兩行，記作ri?rj)；

(2)倍乘變換：以非零常數k乘矩陣某一行的各元(第i行乘k，記作ri×k)；

(3)倍加變換：將某一行所有的元素的k倍加到另一行對應的元素上去(第j行的k倍加到第i行上，記作ri+rj×k).

把定義中的“行”變成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義(所用記號是將“r”變成“c”).矩陣的初等行變換和初等列變換統稱為矩陣的初等變換.

考慮如下線性方程組：

其矩陣形式是Ax=b.當b=0時，就是齊次線性方程組Ax=0.利用初等變換法求解上述線性方程，也就是對其增廣矩陣做初等變換，主要包括兩類：

利用高斯消元法對線性方程組進行消元的過程，針對的是方程與方程之間的運算，也就是相同未知量的系數之間在進行運算，而不是不同未知量的系數在進行運算.因此，利用初等變換法求解線性方程組需要注意：

(1)由于增廣矩陣(A,b)的第i列(1≤i≤n)對應的是線性方程組xi的系數，第n+1列對應的是線性方程組的常數項，利用高斯消元法對線性方程組進行消元的過程對應的也就是對(A,b)做初等行變換，故只能對(A,b)做初等行變換.

無錫陽山地區歷史上就文化鼎盛，地域特征明顯。陽山不僅是歷史名鎮、旅游名鎮，更應該是文化名鎮。陽山擁有悠久的歷史，有著豐富的自然資源，是吳文化的發祥地和重要源頭之一。現如今，在陽山鎮黨委和政府的帶領下進行進一步的深化改革，堅持走中國特色的社會主義道路，落實科學發展觀，進一步弘揚陽山獨有的文化。

(2) 同樣地，由于增廣矩陣的轉置(A,b)T的第i行(1≤i≤n)對應的是線性方程組xi的系數，第n+1行對應的是線性方程組的常數項，利用高斯消元法對線性方程組進行消元的過程對應的也就是對(A,b)T做初等列變換，故只能對(A,b)T做初等列變換.

在利用初等變換法求解線性方程組時還常涉及兩個重要定理，用于判別線性方程組有解的情況：

定理1 齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件為r(A)

定理2 (1)非齊次線性方程組Ax=b有解的充要條件為r(A)=r(A,b).

(2)非齊次線性方程組Ax=b有唯一解的充要條件為r(A)=r(A,b)=A的列數，即未知量的個數n.

定理3 若(Ax=b)有解，則其一般解(通解)為

x=ξ0+ξ,

ξ=k1ξ1+k2ξ2+…+kpξp

是Ax=0(稱為(Ax=b)的導出組)的一般解.

注該定理給出了非齊次線性方程組解的結構.由該定理可知，要獲得非齊次線性方程組的一般解，只需要求它的一個特解和它導出組的一個基礎解系.

下面給出利用初等變換法求解線性方程組的具體步驟：

齊次線性方程組(Ax=0)

第一步 先用初等行變換(初等列變換)將系數矩陣A(系數矩陣的轉置AT)化為行簡化階梯形矩陣U(行簡化階梯形矩陣U的轉置UT)；

第二步 將U或UT改寫成方程組的形式，并整理成列矩陣的形式；

第三步 寫出基礎解系，并寫出其通解.

非齊次線性方程組((Ax=b))

第一步 先用初等行變換將增廣矩陣(A,b)(增廣矩陣的轉置(A,b)T)化為行簡化階梯形矩陣(U,d)(行簡化階梯形矩陣(U,d)的轉置(U,d)T)；

第二步 將(U,d)或(U,d)T改寫成方程組的形式，并整理成列矩陣的形式；

第三步 寫出(Ax=b)的一個特解及其導出組Ax=0的基礎解系，根據定理3寫出其通解.

例1 試用上述方法求下列齊次線性方程組的一般解:

解法一對系數矩陣A進行初等行變換化為行簡化階梯形矩陣：

x=c1ξ1+c2ξ2，其中c1,c2∈R.

解法二對系數矩陣的轉置AT進行初等列變換化為UT：

后續過程同解法一.

通過上述解法可以讓學生意識到解法一,也就是利用初等行變換求解線性方程組更不容易混淆.

在求解非齊次線性方程組的一般解時，我們在前面提到：需求它的一個特解和它導出組的一個基礎解系.但是，在求導出組基礎解系時，學生容易求成是非齊次線性方程組的線性無關的解，然后將其線性組合加上求的一個特解作為非齊次線性方程組的一般解.然而，非齊次線性方程組的解的線性組合一般不是它的解，所以這種求法是有問題的.在教學實踐過程中需給學生重點強調.進一步，在雨課堂軟件設置一些問答：包括對非齊次線性方程組的增廣矩陣的初等變換過程、特解的選擇、基礎解系的選擇，主要是學生易混淆的知識點等，然后在教學實踐過程中讓學生作答.通過學生的作答情況，對相應的知識內容進行補充強調.