基于核心素養(yǎng)下對(duì)基本不等式的再思考

楊偉達(dá)

(廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 510800)

新教材將基本不等式放入高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)第二章，成了一線數(shù)學(xué)教師對(duì)新教材教學(xué)的熱門話題，其意義深遠(yuǎn)，即突顯出基礎(chǔ)性、實(shí)用性、技巧性，又能夠進(jìn)一步提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力.下面是筆者對(duì)一些關(guān)于基本不等式的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行剖析，旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、和與積

和與積是天生一對(duì)孿生兄弟.缺了誰，就找誰﹒如果和為定值，就要想辦法找積的形式；如果積為定值，就要想辦法找和的形式.在運(yùn)用“和與積”時(shí)，必須滿足“一正、二定、三相等”，若發(fā)現(xiàn)不符合三個(gè)條件時(shí)，就要進(jìn)行變形，運(yùn)用基本不等式即可.

分析已知條件是和的形式，和為定值求積的最大值.觀察、發(fā)現(xiàn)直接運(yùn)用基本不等式即可.

二、倒數(shù)和

分析觀察、發(fā)現(xiàn)倒數(shù)和的兩項(xiàng)乘積不是定值，不能直接運(yùn)用不等式，此時(shí)需要對(duì)倒數(shù)和進(jìn)行變形，直到乘積為定值時(shí)運(yùn)用基本不等式即可.

分析本題看似與不等式無關(guān)，實(shí)則可以通過拆分變?yōu)榈箶?shù)和的形式，然后再運(yùn)用基本不等式求解.

三、整式和與分式和

分析本題是整式和為定值求分式和的最值問題.解決辦法：整式和乘以分式和﹒筆者觀察、發(fā)現(xiàn)分式中的兩分母之和與已知條件的定值不吻合，所以先將分式進(jìn)行變形，后再將整式變形即可.

例5 已知a>0,b>0，a+3b=5ab，則3a+4b的最小值是( ).

分析將題設(shè)條件化簡為分式和為定值的形式.筆者發(fā)現(xiàn)原問題是分式和為定值求整式和為最值的數(shù)學(xué)問題.解決辦法：整式和乘以分式和后用基本不等式即可.

不妨設(shè)3a+4b=m，且a>0,b>0，則有

即5m≥25 解得m≥5,故選C﹒

四、整式和與整式和

已知整式和為定值求另一個(gè)整式和的最值.解決辦法：分離后找配對(duì).即配添分離，運(yùn)用基本不等式即可將問題解決.

解因?yàn)閍>0,b>0且a+b=1

解a>0,b>0,c>0