兩個絕對值不等式命題及其應用

孫艷梅 劉才華

(山東省泰安市寧陽第一中學 271400)

給出三個函數f(x),g(x),F(x)，其絕對值之間的大小關系，有如下:

命題1 |f(x)|+|g(x)|≤F(x)的充要條件是|f(x)+g(x)|≤F(x)且|f(x)-g(x)|≤F(x).

證明：充分性

若f(x)g(x)<0，則|f(x)|+|g(x)|=|f(x)-g(x)|≤F(x)；

若f(x)g(x)≥0，則|f(x)|+|g(x)|=|f(x)+g(x)|≤F(x).充分性得證.

必要性

由|f(x)+g(x)|≤F(x)得|f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|≤F(x)；由|f(x)-g(x)|≤F(x)得

|f(x)-g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|≤F(x).必要性得證.

于是命題1得證.

命題2 |f(x)|+|g(x)|≥F(x)的充要條件是|f(x)+g(x)|≥F(x)或|f(x)-g(x)|≥F(x).

證明：充分性

若|f(x)+g(x)|≥F(x)，則|f(x)|+|g(x)|≥|f(x)+g(x)|≥F(x)；

若|f(x)-g(x)|≥F(x)，則|f(x)|+|g(x)|≥|f(x)-g(x)|≥F(x).充分性得證.

必要性

若f(x)g(x)<0，則|f(x)-g(x)|=|f(x)|+|g(x)|≥F(x)；

若f(x)g(x)≥0，則|f(x)+g(x)|=|f(x)|+|g(x)|≥F(x).必要性得證.

于是命題2得證.

含有兩個絕對值的不等式問題，是高中數學選修4-5中的重要內容，也是高考的重點內容.對于絕對值不等式的解法，常用“零點分析法”去掉絕對值，化歸為若干個不等式組問題，原不等式的解集是這些不等式組解集的并集.若利用上述兩個命題解絕對值不等式，可操作性強，過程簡潔明快.下面我們通過幾道題目加以說明.

例1(人教B版選修4-5第14頁例2)解不等式|x+2|+|x-1|<4.

例2(2015年全國Ⅰ卷理科第24題)已知函數f(x)=|x+1|-2|x-a|，a>0.

(1)當a=1時，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的面積大于6，求a的取值范圍.

解(1)當a=1時，不等式f(x)>1等價于|x+1|-2|x-1|>1，即|x+1|>|2x-2|+1.

(2)解答略.

例3已知函數f(x)=|2x-1|+|2x+a|，g(x)=x+3.

(1)當a=-2時,求不等式f(x)

(2)解答略.

例4 (人教A版選修4-5第17頁例5)解不等式|x-1|+|x+2|≥5.

解由命題2得|2x+1|≥5或3>5，解得x≤-3或x≥2，所以不等式的解集為{x|x≤-3或x≥2}.

例5(2015年山東卷理科第5題)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( ).

A.(-∞,4) B.(-∞,1) C.(1,4) D.(1,5)

解|x-1|-|x-5|<2化歸為|x-1|<|x-5|+2.由命題2得|x-3|>|x-1|或|x-7|>|x-1|，解得x<2或x<4，所以不等式的解集為(-∞,4).選擇答案A.

例6(2012年全國Ⅰ卷理科第24題)已知函數f(x)=|x+a|+|x-2|.

(1)當a=-3時，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2]，求a的取值范圍

解(1)當a=-3時，不等式f(x)≥3等價于|x-3|+|x-2|≥3.由命題2得|2x-5|≥3或1≥3，解得x≤1或x≥4，所以不等式的解集為{x|x≤1或x≥4}.

(2)解答略.