空間直角坐標(biāo)系的建系策略

潘敬貞 唐明超

(1.廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué) 528303；2.云南師范大學(xué)信息學(xué)院 650500)

坐標(biāo)法是解決立體幾何問題的重要方法，借助坐標(biāo)法可以將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，既可以降低幾何問題的抽象性，同時(shí)也為解決實(shí)際問題開辟了一條新的途徑.用坐標(biāo)法解決空間幾何問題，首先需要合理建立空間直角坐標(biāo)系.建立空間直角坐標(biāo)系的過程就是根據(jù)問題給定的空間幾何關(guān)系在幾何圖形中尋找三條兩兩互相垂直的直線，通過平移等方式讓三條直線交于一點(diǎn)，并盡可能的讓與問題相關(guān)的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，使得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)更易求，使得問題的求解更加簡(jiǎn)潔、高效.文章結(jié)合實(shí)例談建立空間直角坐標(biāo)系的策略.

一、基于共頂點(diǎn)的三條互相垂直的棱建系

例1如圖1，四面體ABCD中，AB，BC，BD兩兩垂直，且AB=BC=BD=4，E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點(diǎn).

(1)求異面直線AB與EF所成角的余弦值；

(2)求點(diǎn)E到平面ACD的距離；

(3)求EF與平面ACD所成角的正弦值.

解析如圖2，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC，BD，BA所在直線為x，y，z軸建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則依題意得，B(0,0,0)，A(0,0,4)，C(4,0,0)，D(0,4,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(0,2,2).

評(píng)注本題雖然解法較多，但是坐標(biāo)法解題具有較強(qiáng)的直觀性，可以有效降低幾何問題的抽象性.在解決立體幾何有關(guān)問題時(shí)，如果已知條件中有三條直線兩兩互相垂直，則可以通過建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法來解決.當(dāng)然，在考題中，已知條件中有三條直線兩兩互相垂直的情況比較少見，更多是利用圖形的特點(diǎn)與性質(zhì)作出兩兩互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線來建立空間直角坐標(biāo)系.

二、基于線面垂直關(guān)系建系

例2 如圖3，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是PC上的點(diǎn).

(1)求證：平面AEF⊥平面PAD；

解析(1)證明：連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且∠ABC=60.，則△ABC是正三角形，因?yàn)镋是BC中點(diǎn)，所以AE⊥BC，又AD∥BC，所以AE⊥AD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，又因?yàn)镻A∩AD=A,所以AE⊥平面PAD，又AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD.

評(píng)注若題目已知條件中有某一條直線與某個(gè)平面垂直，則一般把該條直線作為一條坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系.第(1)題用幾何法證明較容易，可以在第(1)題的基礎(chǔ)上順利的建立合理的空間直角坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)對(duì)第(2)題的解答.對(duì)于第(2)題，如果采用幾何法來解決，難度較大，抽象性較強(qiáng)，明顯不是最好選擇.

三、基于面面垂直的性質(zhì)建系

例3 如圖5，等邊三角形PAC所在平面與梯形ABCD所在平面互相垂直，且有AD∥BC，AB=AD=DC=2，BC=4.

(1)證明：平面PAB⊥平面PAC；

(2)求二面角B-PC-D的余弦值.

評(píng)注一般地，若題目已知的圖形中有兩個(gè)互相垂直的平面，可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理作出兩兩互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線.如果兩個(gè)互相垂直的平面中有一個(gè)平面已知或已證的兩條相互垂直直線，可過這兩條直線的交點(diǎn)作該平面的垂線，從而得出兩兩互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，如本題第(2)問的解法2.本題第(2)問的解法2建立空間直角坐標(biāo)系的方法相對(duì)解法1的方法更加簡(jiǎn)潔，是一種不錯(cuò)的建系方法.

四、基于正棱錐的高所在直線建系

例4已知正四棱錐V-ABCD中，E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a，高為h.

(1)求∠DEB的余弦值；

(2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值.

評(píng)注用正棱錐的中心與高所在直線建立空間直角坐標(biāo)系，相關(guān)的坐標(biāo)就容易求出，有關(guān)問題也就得到順利解決.建立空間直角坐標(biāo)系的方法很多，最關(guān)鍵是能根據(jù)已知圖形的特點(diǎn)與性質(zhì)作出兩兩互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，建立空間直角坐標(biāo)系的原則是盡可能的使相關(guān)點(diǎn)落在坐標(biāo)上，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)容易求出.只有善于思考、勤于動(dòng)手，空間直角坐標(biāo)系建立的技巧方可熟能生巧，從而提高解題能力.

不同的問題情景中建系的方法可能不同，但是正確建立空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)是能夠基于問題給定的幾何關(guān)系找到三條兩兩互相垂直的直線，很多時(shí)候?qū)ふ掖嬖谌龡l兩兩互相垂直的直線或作三條兩兩互相垂直的直線并不是很困難，如何建系更有利于求出解決問題所需要的點(diǎn)的坐標(biāo)更為重要、更為關(guān)鍵.文章中所歸納的四種建系方法是解決常見空間幾何問題中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，線線角、線面角、二面角以及點(diǎn)到直線距離等問題所必須掌握的基本思想和方法，需要在不斷的練習(xí)中加以體會(huì)和總結(jié)，不斷提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和空間想象能力是利用坐標(biāo)法解決空間幾何問題的基礎(chǔ).