在三角求值問題時要注意角的取值范圍

田素偉

(上海泥城中學 201306)

在三角求值問題時很多同學由于忽略角的取值范圍或是求錯了角的取值范圍而導致解題錯誤，如何能在解決這類三角求值問題時正確把握角的角的取值范圍哪？下面就這個問題，舉例說明：

解由正弦定理

a=2RsinA、b=2RsinB可知，

∵△ABC是銳角三角形且B=2A.

評析邊化為角時常用正弦定理，本題要充分挖掘尋找題中角的限制條件，求出角A的取值范圍，很多學生常忽略角C的取值范圍，要注意銳角三角形中三個內角都是銳角這一條件.

(1)求函數y=f(x)的解析式并寫出其單調遞增區間；

(2)若x為△ABC的最小內角，求函數y=f(x)的值域.

評析：本題中要明確△ABC的最小內角的取值范圍，很多學生由于不理解最小內角的取值范圍的推導，經常記錯△ABC的最小內角的取值范圍，本題考察在明確△ABC的最小內角的取值范圍的前提下求給定區間的三角函數的最值和三角函數的性質.

例3在銳角三角形ABC中，若tanA=t+1，tanB=t-1，求t的取值范圍.

評析很多學生容易忽略角C的取值范圍即tanC>0這一隱含條件導致解題錯誤.

要注意銳角三角形中三個內角都是銳角這一條件.

下面給出3道練習題，請同學練習

1.設銳角三角形ABC的內角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=(2a-c)cosB.

(1)求角B的大小;

(2)求sinA+sinC的取值范圍.

2.銳角△ABC中已知兩邊a=1,b=2，則第三邊c的取值范圍是____.

3.鈍角三角形三邊長為a,a+1,a+2,最大內角不超過120°，則a范圍是____.

簡答：

1.解(1)由條件及正弦定理得:

sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB.

則sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,

∴sin(B+C)=2sinAcosB,又sin(B+C)=sinA≠0,

2.c2=5-4cosC∈(1,5),又B<90°,∴cosC>0,