例談高考函數與導數類壓軸題巧妙解法

侯思路

(江蘇省運河中學 221300)

函數與導數是高中數學的重點內容，在高考試卷中分值約占22～27分，函數與導數知識在高考試卷中多以壓軸題的形式出現，它也是高中數學中的難點內容，能否突破函數與導數題是高考得高分的關鍵.下面結合高中數學教學實踐，例談破解高考函數與導數壓軸題的小妙招.

一、利用導數研究函數的單調性、極值與最值

利用導數研究函數的性質是高考命題的常見形式，每年高考命題中都會有所涉及.常見的命題形式包括：

1.判斷函數f(x)的單調性或單調區間；

2.求函數f(x)的最值；

3.已知函數的單調區間、最值求參數的值.

典型例題已經函數f(x)=ax,g(x)=lnx.

(1)若函數F(x)=f(x)-g(x)有極值-1，求實數a的值；

(2)若函數G(x)=f[sin(1-x)+g(x)]在區間(0，1)上為增函數，求實數a的取值范圍.

思路分析(1)求函數F(x)的解析式，并求導，對實數a進行分類討論，判斷F′(x)的符號，利用函數F(x)有極植-1，求出關于參數a的方程，解方程，求出實數a的值；

(2)求函數G(x)的解析式，并求導，由函數G(x)在區間(0,1)上為增函數轉化為G’(x)≥0對x∈(0,1)恒成立，再將恒成立問題轉化為求參數的取值范圍問題，從而求出實數a的取值范圍.

解析(1)因為f(x)=ax,g(x)=lnx且F(x)=f(x)-g(x),所以F(x)=ax-lnx(x>0)，

(2)因為f(x)=ax，g(x)=lnx，且G(x)=f[sin(1-x)]+g(x),

所以G(x)=asin(1-x)+lnx，

所以h(x)在(0，1)上單調遞減，所以h(x)>h(1)=1，所以a≤1，所以實數a的取值范圍是(-∞，1].

破題策略本題設計意在考查分類討論和方程思想，檢驗學生的化歸與轉化能力和運算求解能力.破題關鍵：(1)方程思想，即對于含有參數的可導函數有極值的關鍵是對參數進行分類討論，并尋找其導數為零的根，以及在根的左、右兩側導數的符號；(2)轉化思想，即可導函數f(x)在某個區間D內單調遞增(或遞減)，則有f′(x)≥0或f′(x)≤0在區間D內恒成立，由此，將求函數的單調性轉化為恒成立問題.

二、函數、導數與零點相交匯

函數、導數與函數的零點(方程的根)相交匯的考題在近年的高考中經常出現，命題考查形式：

1.判斷函數的零點的個數問題；

2.已知函數在給定區間的零點(方程在給定區間的解)的情況，求參數的取值范圍或證明不等式成立.

典型例題已知函數f(x)=ex-x-m(m∈R).

(1)判斷函數f(x)的零點個數，并說明理由；

(2)若函數f(x)有兩個零點x1，x2，證明：x1+x2<0.

思路分析(1)求f′(x)，判斷函數f(x)的單調性，得最小值，并對函數f(x)的最小值進行分類討論，即可判斷函數f(x)的零點個數；

(2)不妨設x1

解析(1)f′(x)=ex-1，令f′(x)<0，得x<0；

令f′(x)>0，得x>0，所以，函數f(x)的單調遞減區間為(-∞，0)，單調遞增區間為(0，+∞)，故當x=0時，函數f(x)取得最小值f(0)=1-m.

當1-m>0，即m<1時，函數f(x)沒有零點.當1-m=0時，即m=1時，函數f(x)有一個零點.

當1-m<0時，即m>1時，構造函數g(x)=ex-2x(x≥1),則g′(x)=ex-2，

當x∈[1，+∞)時，g′(x)>0，所以，函數g(x)在[1，+∞)上單調遞增，所以g(x)≥g(1)=e-2>0，因為m>1，所以g(m)=em-2m>0,又f(m)=em-2m(m>1),故f(m)>0.

又f(-m)=e-m>0，所以必存在唯一的x1∈(-m，0)，唯一的x2∈(0，m),

使得x1，x2為函數f(x)的兩個零點.故當m>1時，f(x)有兩個零點.

(2)若x1，x2為f(x)的兩個零點，設x10.

因為f(x1)-f(-x2)=f(x2)-f(-x2)=(ex2-x2-m)-(e-x2+x2-m)=ex2-e-x2-2x2.

又x1<00，即ex2-e-x2-2x2>0，故f(x1)>f(-x2)，又x1<0，-x2<0，且由(1)知f(x)在(-∞，0)上單調遞減，所以x1<-x2，所以x1+x2<0.

破題策略本題重在檢驗考生的推理能力、運算能力和創新思維.破解此類題型的關鍵是：

(1)牢固掌握函數、函數與導數相關知識，熟練運用導數法求函數單調性、最值.

(2)轉化思想是解決函數類題目的重要途徑，將判斷函數零點個數問題轉化為求函數求最值問題.

(3)通過構造函數，將比較大小問題轉化為函數的單調性問題.

總之，關于導數與函數的壓軸題類型很多，而且每年的命題角度都會有所不同，對學生的邏輯思維能力有較高的要求.但是，只要我們掌握了基本的數學解題思想，注重積累和反思，對“函數與導數類”壓軸題常見類型心中有數，把握其實質，掌握其規律，規范其步驟，做到“胸中有法”，那么不論高考“函數與導數類”壓軸題的構思多么新穎，我們都能做到以不變應萬變，此類壓軸題就能迎刃而解.