同構(gòu)函數(shù)在解決高考壓軸題中的應(yīng)用

張春華

(山東省東營市第一中學(xué) 257091)

如何去構(gòu)造一個同構(gòu)函數(shù)，常用的同構(gòu)函數(shù)形式又有哪些？本文試圖通過以雙變量和指對混合兩類問題的分析，探索如何構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，以提高學(xué)生解題能力，掌握高考數(shù)學(xué)中解決函數(shù)壓軸題的一種途徑.

一、雙變量地位等同問題

2020年的高考可以看出，新高考注重了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，尤其是創(chuàng)新思維.這種題型一般含有兩個變量，通過變形整理可將兩個變量分別移到不等式或等式兩側(cè)，構(gòu)造出同一個函數(shù)取兩個不同變量時的函數(shù)值大小問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題.這種雙變量問題在高考題中頻繁出現(xiàn)，下面舉例分析.

例1(2020全國高考二卷理科數(shù)學(xué)11題)若2x-2y<3-x-3-y,則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

解析將不等式移項變形為2x-2y<3-x-3-y，構(gòu)造函數(shù)f(t)=2t-3-t，由其為單調(diào)遞增函數(shù)知x

例2(2020全國一卷理科數(shù)學(xué)12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

解析條件等式兩邊結(jié)構(gòu)類似，構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x，則f(x)為增函數(shù)，由選項可知只需要比較f(a)和f(2b),f(a)和f(b2)大小即可.

而f(a)-f(b2)=22b-2b2-log2b,b取不同值結(jié)果不同,因此選B.

例3(2010高考遼寧卷理科數(shù)學(xué)21題)已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)a<-1,如果對任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)≥4|x1-x2|,求a的取值范圍.

解析(1)略；

(2)所證不等式|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|含絕對值,所以由(1)問可知,當(dāng)a≤-2時,f(x)單調(diào)遞減,故只需要知道x1,x2的大小即可去掉絕對值.不妨設(shè)x2>x1,所證不等式去掉絕對值后為f(x2)-f(x1)≥4x2-4x1,

即f(x2)-4x2≥f(x1)-4x1,發(fā)現(xiàn)不等式兩側(cè)為關(guān)于x1,x2的同構(gòu)式，故可以將同構(gòu)式構(gòu)造成函數(shù)g(x)=f(x)+4x，將問題轉(zhuǎn)化為g(x)=f(x)+4x單調(diào)遞減求參數(shù)a的范圍問題.

二、指對混合問題

在解決指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的混合不等式恒成立求參數(shù)范圍或證明指對不等式時，如果使用參變分離、隱零點代換等方法，都避免不了復(fù)雜計算，有時效果也不一定好，而使用同構(gòu)法會達到意想不到的效果.

如何構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)呢？一般情況下含ex和lnx的函數(shù)，主要是統(tǒng)一化為左邊或化為右邊構(gòu)造同構(gòu)式.同構(gòu)式需要構(gòu)造這樣一個母函數(shù)，這個函數(shù)既能滿足指數(shù)與對數(shù)互化，又能滿足單調(diào)性和最值易求等特點，因此常見的同構(gòu)形式大多為y=xlnx,y=xex,或其同族函數(shù).經(jīng)過同構(gòu)變形,再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可以快速解決證明不等式、恒成立求參數(shù)的取值范圍等問題.

構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)通常有三種基本模式：

(1)積型

(2)商型

(3)和差型

其中x=elnx=lnex在變形構(gòu)造同構(gòu)式中起著重要作用.

例4 (2018高考全國一卷文科數(shù)學(xué)21題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點,求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

解析(1)略；

(1)求a,b；

(2)證明：f(x)>1.

解析(1)a=1;b=2,詳細解答略.

(2)本題如果直接求導(dǎo),將非常復(fù)雜，不妨采用同構(gòu)函數(shù)的方法.

綜上,通過雙變量和指對混合兩類高考真題的分析,我們發(fā)現(xiàn)同構(gòu)式思想對于解決這兩類問題有規(guī)律可循,而且平時各類模擬試題中屢見不鮮,只要大膽嘗試,把握其中的規(guī)律,解決這類問題堪稱秒殺！