同構法在2020年高考中的應用研究

李昌成 張 珍

(1.新疆烏魯木齊市第八中學 830002；2.新疆奎屯市第六中學 833200)

一、同構法簡介

數學中很多式子的結構就反映了本質，具備了結構才具有其性質.同構法就是利用同構式解題的方法.同構式是結構相似，架構相同的式子.利用同構法解題的基本步驟有：(1)構造合理正確的同構式；(2)利用相關性質解題；(3)回歸題目，完成解答.

二、應用舉例

解答指數函數、對數函數、三角函數、平面向量、數列、導數以及不等式等模塊的試題時，經常會用到同構法.下面以2020年高考數學試題為例，談談同構法的應用.

例1 (全國Ⅱ卷理科第11題，文科第12題)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

分析以指數式的指數為研究對象，將原不等式變為2x-3-x<2y-3-y，構造函數f(t)=2t-3-t，易判斷f(t)在R上單調遞增.由單調性的定義知x

解由2x-2y<3-x-3-y移項得：2x-3-x<2y-3-y.

令f(t)=2t-3-t，則f(x)

因為y=2x為R上的增函數，y=3-x為R上的減函數，所以f(t)為R上的增函數，所以x0，所以y-x+1>1，所以ln(y-x+1)>ln1=0，因此，A正確，B錯誤；而|x-y|與1的大小沒有信息能確定，故C，D無法確定.

綜上，選A.

評析本題考查了指數函數的性質，對數式的大小的判斷，解題的關鍵是構造函數f(t)=2t-3-t，構造的依據是函數的概念，解析式的相同結構.利用該復合函數的單調性得到x,y的大小關系，解題過程滲透了轉化與化歸的數學思想.

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析從指數式、對數式的底數入手，結合指數式、對數式運算性質，構造函數f(x)=2x+log2x，利用放縮技巧，根據f(x)的單調性可得到正確答案.

解設f(x)=2x+log2x，易知f(x)為增函數，因為2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，而22b+log2b<22b+log22b，所以2a+log2a<22b+log22b.

即f(a)

綜上，選B.

評析本題以指數函數、對數函數以及指數、對數的運算為基礎，主要考查函數、方程、不等式的關系，突破口是同構法的應用.恰當放縮才能利用函數f(x)=2x+log2x的單調性比較大小，也是本題壓軸的原因所在.

A.a

綜上，選A.

例4 (江蘇卷第11題)設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列.已知數列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1(n∈N+)，則d+q的值是____.

分析等差數列和等比數列前n項和公式都有獨特的形式，已知的前n項和Sn可分成等差數列的前n項和與等差數列的前n項和，依據形式特征分別求得{an},{bn}的公差和公比，最后求得d+q的值.

解設等差數列{an}的首項為a1，公差為d；等比數列{bn}的首項為b1，公比為q，依據題意知q≠1.

{an}的前n項和公式為

評析本題依據已知Sn=n2-n+2n-1=(n2-n)+(2n-1)的特點，恰當地利用了等差數列和等比數列前n和的公式結構，利用同構法準確建立出四元方程組，思路簡潔，預算量小，充分展示了同構法的優越性.

例5 (全國Ⅰ卷文科第16題)數列{an}滿足an+2+(-1)nan=3n-1，前16項和為540，則a1=____.

分析已知中存在(-1)n，所以必須對n為奇偶數分類討論，進而得出奇數項、偶數項各自的遞推關系.根據奇數項遞推關系將各奇數項用a1表示出來，根據偶數項遞推關系將相鄰偶數項和用數值表示出來，從而建立關于a1方程，即可解出a1.

解an+2+(-1)nan=3n-1，當n=2k-1,k∈N*時，an+2=an+3n-1

①

當n=2k,k∈N*時，an+an+2=3n-1

②

設數列{an}的前n項和為Sn，依據①②的結構特征得

S16=a1+a2+a3+a4+…+a16=(a1+a3+a5…+a15)+[(a2+a4)+…(a14+a16)]=[a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)]+(5+17+29+41)

=8a1+484=540.

解得a1=7.

評析本題表象上考查數列的遞推公式，實際上巧妙地考查了同構法，對①②兩式的結構必須深刻理解，否則難以應用，這屬于信息題的范疇.對于①還有等差數列的印跡，通過遞推能實現各項向a1的轉化.對于②學生不曾接觸，是一個新鮮模式，必須理解到：相鄰偶數項和是與a1無關的一個實數，否則無法推進解答.整個解題過程都離不開遞推關系的結構引領.

三、練習鏈接

A.0 B.mC.2mD.4m

參考答案：B.(提示：利用中心對稱的結構特征解答.)

2.設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，f(-1)=0，當x>0時，xf′(x)-f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是____.

參考答案：x<-1或0

有些式子的結構很明顯，可以直接使用同構法解題，如例1、例4；有的式子結構不明顯，需要重構，重構的關鍵在于對問題本質的把握，湊足條件，如例2、例3；有的式子的含義是臨時賦予的，需要在當時的情景中比對應用，如例5.同構法解題相對靈活，既需要扎實的基本功，又有相當的靈活性.它往往是突破難題的有力武器.