利用幾何圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律
——“空間向量與立體幾何”內容分析與教學思考

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

在必修課程中，學生系統學習了平面向量的概念、運算、平面向量基本定理及坐標表示，并用向量方法探索三角形的邊角關系，推出了余弦定理、正弦定理等重要公式.本單元將幫助學生類比平面向量的內容、過程和方法，學習空間向量并用于解決立體幾何中的問題，包括證明立體幾何初步中未加證明的直線、平面位置關系的判定定理，利用空間向量進行空間距離、角度的計算等.

1 課程定位

課程標準提出：本單元的學習，可以幫助學生在學習平面向量的基礎上，利用類比的方法理解空間向量的概念、運算、基本定理和應用，體會平面向量和空間向量的共性和差異；運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關系和度量關系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異；運用向量方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具.本單元內容：空間直角坐標系、空間向量及其運算、向量基本定理及坐標表示、空間向量的應用.

分析課程標準的上述表述，可以得出如下認識：

第一，本單元的內容與平面向量“同構”，包括空間向量的概念與運算、空間向量基本定理與空間向量運算的坐標表示和用空間向量解決立體幾何問題等三個子單元，按空間向量知識的準備、建立空間向量與立體圖形的橋梁和用空間向量解決問題順次展開.

第二，正因為與平面向量“同構”，所以本單元的學習要強調類比，充分調動平面向量學習中領悟的數學基本思想、積累的數學活動經驗，通過類比建立本單元的整體架構，形成研究思路，獲得研究方法，并且要注意維數的變化所產生的差異性.

第三，用向量方法解決空間基本圖形的位置關系和度量關系有明顯優勢，應強調向量方法的重要性，并通過適當的載體(問題)引導學生感悟向量方法的特點，在對向量方法和綜合幾何方法的比較中，體會它們的共性和差異.

2 本單元內容與要求

1.空間直角坐標系

(1)在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置.

(2)借助特殊長方體(所有棱分別與坐標軸平行)頂點的坐標，探索并得出空間兩點間的距離公式.

2.空間向量及其運算

(1)經歷由平面向量推廣到空間向量的過程,了解空間向量的概念.

(2)經歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程.

3.向量基本定理及坐標表示

(1)了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.

(2)掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.

(3)掌握空間向量的數量積及其坐標表示.

(4)了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.

4.空間向量的應用

(1)能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.

(2)能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關系.

(3)能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面位置關系的判定定理.

(4)能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.

從課程標準的上述要求可以看到，讓學生經歷由平面向量的概念、運算及其法則推廣到空間向量的過程，是學習本單元的基本要求.實際上，由于“向量是自由的”，所以空間任意兩個向量都是共面的，所以空間向量的概念、運算法則、運算性質與平面向量有很強的可類比性，但空間向量是三維的，平面向量是二維的，這是有本質差別的.

直線的方向向量、平面的法向量是兩個重要的概念，也是向量法中的關鍵工具；位置關系的本質是方向的關系，這里要求用向量法證明直線、平面的位置關系的判定定理；距離、夾角是兩個最基本的幾何量，這里要求用向量法解決之，并要從中掌握向量法的解題程序.

與以往的課程內容比較，空間“向量投影”和“投影向量”是課程標準作出的明確區分.向量投影是一種幾何變換，其結果是一個向量.

3 核心內容的理解和教學思考

3.1 本單元的研究路徑

與平面向量的內容類似，本單元按照“背景→空間向量及其運算→空間向量基本定理→空間直角坐標系→空間向量及其運算的坐標表示→空間向量的應用”的線索展開.

“空間向量及其運算”是基礎，人教A版引導學生類比平面向量及其運算，經歷向量由平面向空間推廣的過程.因為平面向量與空間向量具有一致性，因此空間向量及其運算的學習可以非常簡捷.

“空間向量基本定理”揭示了空間中三個不共面的向量構成三維空間的一個“基底”，這是用向量法解決幾何問題的基礎.人教A版將這一內容單設一節，在學習空間向量基本定理的過程中邊學邊用，以突出空間向量基本定理的承上啟下作用，使學生更好地體會“基底法”，為后續學習坐標表示奠定基礎.

“空間向量及其運算的坐標表示”包含空間直角坐標系和空間向量運算的坐標表示，前者是后者的基礎.為了幫助學生更深入地感悟“基”的思想，人教A版在空間向量基本定理之后，類比利用平面單位正交基底建立平面直角坐標系，安排利用空間單位正交基底建立空間直角坐標系，在充分發揮向量基本定理作用的同時，使學生進一步體會其本質，以及向量在空間圖形與實數之間的橋梁作用.在此基礎上，類比平面向量及其運算的坐標表示，就可以由學生獨立完成空間向量及其運算的坐標表示，從而讓學生切實經歷向量及其運算由平面推廣到空間的過程.

“空間向量的應用”主要是利用向量方法解決簡單的立體幾何問題，包括用空間向量描述空間直線、平面間的平行、垂直關系，證明直線、平面位置關系的判定定理，用空間向量解決空間距離、夾角問題等，向量方法是這部分的重點.這里，人教A版注意了如下幾點：(1)選擇典型的立體幾何問題；(2)讓學生在歸納“三步曲”的過程中體會向量方法的作用；(3)引導學生歸納向量法、綜合法與坐標法的特點，根據具體問題的特點選擇合適的方法.

3.2 關于本單元內容處理的幾點思考

與平面向量一樣，空間向量既是代數研究的對象，也是幾何研究的對象，是溝通幾何與代數的橋梁，因此在構建本單元內容框架時始終以聯系性、整體性為主旋律，努力突出幾何直觀與代數運算之間的融合，通過形數結合，引導學生感悟數學知識之間的關聯，加強對數學整體性的理解.具體地，應重點關注以下幾個方面的問題.

1.以向量空間理論為指導

無論是教材編寫還是課堂教學，除了確保知識之間邏輯關系合理、每一個知識點講解正確，還要注意以相關的數學理論為指導，這樣才能體現好內容所反映的數學思想和方法，從而提高教材和教學的品味.本單元所呈現的從空間向量的概念到線性運算再到數量積運算的過程，其內容展開的路徑遵循了向量空間理論.

首先，以位移、速度等為背景，抽象出空間向量的概念，定義空間向量的線性運算，給出線性運算的運算性質，這時空間中的向量所組成的集合就構成了一個實數域上的向量空間.

其次，在實數域上的向量空間里定義“數量積”運算并給出其性質，那么這個向量空間就是一個有度量概念的歐氏向量空間.歐氏空間中，空間向量的加法、數乘、數量積等運算建立了空間向量與立體幾何中的位置關系與度量問題之間的聯系.(建議老師們查閱有關文獻，了解“實數域上的向量空間”、“歐氏向量空間”的有關內容.)

2.使學生理解空間向量基本定理的“基本性”

在建立了歐氏向量空間后，接著就要研究它的特征，具體表現為空間向量基本定理，即這個向量空間可以由三個線性無關的向量生成，這是將空間向量的運算化歸為數的運算的基礎.這樣，雖然空間向量是無窮的，但它們都可以表示成三個不共面向量所成基底的線性組合，這樣就可以利用這個基底表示空間圖形中的任意元素，并使這些元素之間建立起“標準化的聯系”，從而可以通過代數運算解決立體幾何問題.這個過程是“程序化”的，理論上講，只要我們根據問題中幾何圖形的特征選定基底，那么任何幾何問題都可以得到解決，這就是空間向量基本定理的“基本”所在.

3.通過類比與推廣引導學生展開獨立思考

空間向量與平面向量相比，維數從二維增加到三維，應用對象也從平面圖形推廣到空間圖形，但“研究對象在變，研究套路不變，思想方法不變”.因此，可以充分利用空間向量與平面向量的“相似性”，在內容安排上突出主線，進行簡潔化的集中處理.人教A版就是這樣，空間向量及其線性運算的內容一氣呵成，相關概念和線性運算性質通過類比平面向量的方式呈現，空間向量的數量積也做了簡化處理，從而既增強了局部內容的整體性，也使知識的縱向聯系更加緊密.

當然，我們必須注意到空間向量與平面向量的區別.“平面向量”是在一個“確定的平面”上研究向量問題，所有向量共面是前提；空間向量是在三維空間中研究向量，雖然空間中“任意兩個向量共面”，但三個向量卻不一定共面.空間的兩個不共線向量可以形成無數個相互平行的平面，如圖1所示.在解決問題時，為了讓兩個不共線向量確定的平面“確定”下來，還需要有一個確定的點，我們可以根據需要在空間中取一點O，將表示a，b的有向線段的起點平移到點O(如圖2),這樣就將兩個空間向量限定在“一個平面內”；而對于空間的三個向量a，b，c，一般是要在平行六面體上考慮問題(如圖3)，例如加法結合律(a+b)+c=a+(b+c)的證明，就需要借助平行六面體證明等式兩邊的和向量都是其對角線所在向量.

圖1

圖2

圖3

4.空間向量與立體幾何相互為用

平面向量的基礎理論(運算和運算律的幾何意義)以平面幾何的相關定理為邏輯基礎，空間向量的基礎理論也以立體幾何中的基本事實、基礎理論為基礎.例如，在定義空間向量的相關概念時，利用了正方體的基本性質；對空間向量共面問題的解釋，利用了空間直線與平面的平行關系；與利用平行四邊形定理、相似三角形定理證明平面向量線性運算的運算律一樣，我們利用平行六面體的性質解釋向量線性運算的運算律(本質上仍然是平行四邊形定理的應用)；利用直線與平面的垂直關系解釋空間向量基本定理、空間向量的坐標表示等等.

同時，本單元特別強調發揮向量的語言和工具作用解決立體幾何問題.例如：利用數量積證明直線與平面垂直的判定定理以及其他一些簡單的立體幾何問題；利用空間向量基本定理證明直線與直線垂直或平行以及求兩條直線所成角的余弦值等；運用空間向量研究空間直線、平面的位置關系和距離、夾角等度量的問題；等等.這些都體現了課程標準“讓學生知道如何用代數運算解決幾何問題”的設計意圖，為學生后續學習打下了基礎.

3.3 強調向量方法是否會削弱空間想象力的培養

加強用向量法解決立體幾何問題體現了時代發展對數學課程改革的要求，但有老師認為這會把立體幾何演化為“算的幾何”，從而削弱其培養學生空間想象力的功能.我們認為這是一種誤解.

我們知道，完整的向量法是：先用幾何眼光觀察，再用向量運算解決.這里首先要搞清楚面對的幾何圖形、幾何問題的基本特征，分析清楚幾何圖形的基本元素、基本關系，然后再選擇適當的基底，并利用基底表示出相應的幾何元素和基本關系，最后進行運算.“用幾何眼光觀察”的過程中，就需要空間想象、幾何直觀等能力.

向量集數與形于一身，向量運算既是數的運算，也是圖形的運算，根據圖形中幾何元素之間的基本關系列出向量等式，使計算與圖形特征融為一體，這是體現向量方法特點的關鍵.向量方法的“三步曲”，首要的是根據圖形的特征，用向量表示幾何元素及其基本關系.這一步很重要，其關鍵是選好“基”，建立空間向量與立體圖形的聯系，實際上就是向量基本定理的應用，它反映了空間向量及其應用的本質.以此為基礎，隨后的向量運算以及運算結果的幾何意義解釋就水到渠成了.

立體幾何中，空間的直線、平面位置關系的主題是平行與垂直，其本質是方向的關系；直線、平面的位置關系用角度來定量刻畫，而角度是對兩個方向差的度量.所以，刻畫直線、平面的位置關系時，“方向”是基本要素.相應地，刻畫方向的量，即直線的方向向量和平面的法向量，就具有很重要的基礎性地位.

定性地看，空間的直線、平面都是由一個點和一個方向所確定的.對直線而言是一個點和它的方向向量，對平面而言是一個點和它的法向量.進一步地，這是歐氏空間的本質“過空間一點能作且只能作一條直線與已知直線平行”和“過空間一點能作且只能作一個平面與已知直線垂直”的代數表示.

總之，用向量方法解決幾何問題，要以對立體圖形結構特點(組成要素及其形狀、位置關系)的分析為基礎.向量方法的第一步是用向量表示幾何元素，“表示”合理才能保證后續運算的簡捷.“合理表示”的本質是準確反映立體圖形的基本特征，這要以正確把握圖形結構特征為基礎，這當然是空間想象力的直接反映.

因為向量的“自由性”，解題時不必考慮向量的起點在哪里，可以隨心所欲地將相關向量平移到共起點或形成向量回路，但用綜合法研究問題時，常常需要添加輔助線才能把相關幾何元素聯系起來.所以，向量方法是解決立體幾何問題的簡便且本質之法.

3.4 投影向量與距離的本質

向量的投影是高維空間到低維子空間的一種線性變換，得到的投影向量是變換的結果，是低維子空間中的向量.空間向量投影概念的建立對于學生利用投影向量研究立體幾何問題有重要意義.

距離是空間中的重要度量.本單元涉及的距離有：兩點間的距離，點到直線的距離，平行線之間的距離，點到平面的距離，直線到平面的距離，平行平面之間的距離等.

1.兩點之間的距離

圖4

一般地，設P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)，則有

這就是空間兩點間的距離公式

從推導過程可以看到，上述公式是基于勾股定理的，這樣的距離叫做歐幾里得距離.進一步地，垂直反映了距離的本質，因此借助勾股定理可以直觀地研究距離問題.

一般地，設x，y是集合A中的兩個元素，距離d(x,y)是定義在集合A上的二元函數，滿足：

(1)自反性：d(x,y)=0，當且僅當x=y；

(2)對稱性：d(x,y)=d(y,x)；

(3)三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y).

如果A是實數集，那么這個距離就是歐幾里得距離，其中(3)就是三角形兩邊之和大于第三邊.

2.點到直線的距離

投影向量的幾何意義和代數表示，不僅為研究立體幾何的距離問題提供了便利，而且還提供了研究距離的方法.

如圖5，P為直線l外的一點，u為直線l的單位方向向量.

圖5

在Rt△APQ中，由勾股定理，得點P到直線l的距離為

3.點到平面的距離

如圖6，求點到平面的距離，需要利用法向量和投影向量，其一般步驟如下：

圖6

第一步，確定法向量；

第三步，確定參考向量到法向量的投影向量；

第四步，利用向量運算求投影向量的長度：

總之，從向量的角度看，無論是平面還是直線，法向量都是反映垂直方向的最為直觀的表達形式，法向量刻畫了表示“距離”的線段的方向.法向量的方向和法向量上投影向量的長度既體現了幾何直觀，又提供了代數定量刻畫，因此利用法向量和向量投影可以研究距離問題.

3.5 方向向量、法向量與夾角

角度是另一個重要的度量.空間直線、平面間的夾角問題，包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角.因為角度是對兩個方向差的度量，而直線的方向可以利用它的方向向量來刻畫，平面的方向可以利用它的法向量來刻畫，所以空間直線、平面間的夾角問題就轉化為直線的方向向量、平面的法向量間的夾角問題，進而可以利用空間向量的數量積運算加以解決.

在“立體幾何初步”中，我們安排了用綜合法求兩條異面直線所成的角，即通過平移把兩條異面直線轉化為相交直線，再構造三角形進行計算.有了向量工具，兩條直線的方向能用它們的方向向量表達，這樣就不需要平移直線而直接求出夾角，既體現了“角”的本質，也簡化了求解過程.

對于兩條異面直線l1，l2，設它們的方向向量分別是u，v，l1，l2所成的角為θ，則

如圖7，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則

圖7

如圖8，平面α，β的法向量分別是n1和n2，則向量n1和n2的夾角(銳角)即為平面α與平面β的夾角.設平面α與平面β的夾角為θ，則

圖8

4 教學建議

4.1 加強類比、聯系與推廣，為學生創造更大的自主學習空間

向量是具有大小和方向的量，這一概念既適用于平面，也適用于空間.平面上的向量都可以看作空間中的向量，因此空間向量的概念、表示和平面向量沒有本質性區別.由于空間兩個向量都可以平移到一個平面內，因此空間兩個向量的運算可以看作平面上兩個向量的運算，它們的加法、數乘、數量積運算也沒有本質性區別.當然，由于維數的變化，空間向量和平面向量又有差異性.

由“自由向量”所決定的空間向量與平面向量的這種關系，使空間向量成為學生可以自學的內容.讓學生自學空間向量，也可以促使他們思考空間向量與平面向量的共性和差異，對維數增加所帶來的影響形成切身體驗，在此過程中可以提升學生的空間想象力.

4.2 通過應用，提升對向量方法的認識水平

教學中，要注意以具體的立體幾何問題為載體，通過問題的解決加深對向量方法和立體幾何內容的理解，逐步養成“用向量”的習慣.

加強向量方法，一是要注意使用“向量回路”、數乘向量、數量積、向量基本定理等解決空間元素的平行、垂直、角度、長度等問題；二是要強調基本定理的核心地位，其中加深對“基底”思想的理解是關鍵.

綜合運用向量及其運算解決幾何問題的過程中，方向向量、法向量的作用很重要，在此過程中需要較強的幾何直觀能力.當前教學中普遍存在著把向量法等同于坐標法的現象，這是沒有體會向量方法特點的表現.

4.3 加強通過向量及其運算表示和研究幾何問題的體驗

人教A版指出，向量是軀體，運算是靈魂；如果沒有運算，向量只是一個路標.通過向量及其運算，不僅能表示空間中的點、直線和平面等基本元素，而且能使空間基本元素的位置關系、大小度量得到表達：

(1)向量a，b(b≠0)平行?a=λb；

(2)向量p與向量a，b共面?p=λa+μb；

(4)設u1，u2是直線l1，l2的方向向量，那么

l1∥l2?u1∥u2?u1=ku2；

(5)設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，那么

l∥α?u⊥n?u·n=0 ；

(6)設n1，n2是α，β的法向量，那么

α∥β?n1∥n2?存在k，使n1=kn2；

(7)設u1，u2是直線l1，l2的方向向量，那么

l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2=0；

(8)設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，那么

l⊥α?u∥n?存在k，使n=ku；

(9)設n1，n2是α，β的法向量，那么

α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0；

距離問題，除兩點間距離公式外，點到直線的距離、點到平面的距離等與向量投影有關，其中涉及“參考向量”的選擇等，需要根據問題的條件確定，是不同于綜合幾何方法的，需要進行專門訓練，養成習慣.

夾角問題，利用直線的方向向量、平面的法向量可以方便地對夾角作出表達.因為向量方法是坐標原點可以任意移動的坐標法，所以向量法為解決問題提供了更大的自由度.

4.4 通過具體例子引導學生體會維數對向量推廣的影響

最關鍵的是只要涉及到3個以上的向量，就要考慮這些向量不共面的問題.例如，空間向量加法的結合律，證明過程中就要注意把圖形畫成“立體的”(如圖9所示，a，b，c不共面).當然，代數推理時與平面向量加法結合律沒有太大差異：

圖9

所以(a+b)+c=a+(b+c).