數學問題解答

2021年5月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2601(1)題目在第5期刊出后，供題人安振平老師又復核了問題，發現題目中的條件a+b+c=abc是多余的，故在解答中去除.在此我們對安老師的認真細致表示感謝！已知a,b,c∈R,求證：

(a2+1)(b2+1)(c2+1)≥(ab+bc+ca-1)2.

(陜西省咸陽師范學院教育科學學院 安振平 712000)

證明已構造復數z1=1+ai,z2=1+bi,z3=1+ci,則

(a2+1)(b2+1)(c2+1)=(|z1||z2||z3|)2

=|z1z2z3|2

=|(1+ai)(1+bi)(1+ci)|2

=|[(1-ab)+(a+b)i](1+ci)|2

=|(1-ab-bc-ca)+(a+b+c-abc)i|2

=(1-ab-bc-ca)2+(a+b+c-abc)2

≥(ab+bc+ca-1)2,

所以(a2+1)(b2+1)(c2+1)≥(ab+bc+ca-1)2.

2602已知，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，點F1，F2在BC上，且∠CAF1=∠BAF2，AF1，AF2與CD分別交于點E1，E2．

(北京市朝陽區教育研究中心 蔣曉東 100028；北京市朝陽區芳草地國際學校富力分校 郭文征 100121)

證明如圖，因為∠ACB=90°，

所以∠CAF1+∠AF1C=90°．

因為CD⊥AB，

所以∠BAF2+∠AE2D=90°．

因為∠CAF1=∠BAF2，

所以∠AE2D=∠AF1C．

又∠AE2D=∠E1E2F2，

所以∠AF1C=∠E1E2F2．

從而E1，E2，F2，F1四點共圓．

所以CE1·CE2=CF1·CF2．

因為∠CAF1=∠BAF2，

所以AF1，AF2為△ABC的∠CAB的內等角線．

由三角形的內等角線定理，得

?AC2[BC2-BC(CF1+CF2)+CF1·CF2]

=AB2·(CF1·CF2)

當且僅當∠CAB的內等角線合并為∠CAB的平分線時，不等式中的等號成立．

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

那么就有

又由熟知的歐拉比公式

我們可得

(1)

利用三元均值定理及兩個熟知的三角公式

即不等式(1)成立,故原不等式成立.

2604已知a，b，c>0，且abc=1．

(湖北省公安縣第一中學 楊先義 434300)

(2)由于abc=1，所以a，b，c必有不大于1者，不妨設0

則f(a)是減函數，

當且僅當a=1取等號，此時bc=1，

綜上所述，使不等式

(安徽省六安第二中學 陶興紅 237005 )

解過A作AD⊥BC,垂足為D,

由tanB=4tanC,可得

可設BD=x,CD=4x,AD=h,

則由勾股定理得

b2=16x2+h2,c2=x2+h2,

所以由均值不等式得

2021年6月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2606設凸四邊形ABCD的邊長和對角線長分別為BC=a,CD=b,DA=c,AB=d,AC=m,BD=n，四邊形的面積為Δ，則

(a+c)2+(c+d)2-m2-n2≥4Δ，

當且僅當四邊形為正方形時等號成立.

(山東省泰安市寧陽第一中學 劉才華 271400)

2607設數列{an}的通項公式為

(河南質量工程職業學院 李永利 467001)

2608已知a,b,c∈R，且a,b,c中至多一個為0，則有

≥ab+bc+ca.

(云南省大理州漾濞縣第一中學 秦慶雄 范花妹 672500)

(浙江臺州市洪家中學 鄔天泉 318015)

2610設任意△ABC的三邊長，對應的三中線分別為a、b、c，mambmc，則有

當且僅當△ABC為正三角形時等號成立.