探討圓錐曲線一個幾何性質

王 寧

(北京師范大學附屬實驗中學 100032)

1 問題的提出

文獻[1,2]等都提到了橢圓的一個優美的幾何性質：設A,B,C,D,E,F為橢圓上六個點，若AB∥DE且BC∥EF，則AF∥DC(如圖1)．此性質是圓錐曲線的Pascal定理[2,3]的一種特殊情形．定理表明：對于同一條圓錐曲線上的六個點A,B,C,D,E,F，如果AB∩DE=M，BC∩EF=N，AF∩DC=P，則M，N，P三點共線．根據射影幾何的觀點，若AB∥DE且BC∥EF，意味著M，N為兩個不同的無窮遠點，因此三點共無窮遠直線，因此點P也是無窮遠點，所以AF∥DC(圖1～4)．推廣到任意圓錐曲線后，下文中簡稱此結論為“性質”．

圖1 橢圓

“性質”適合作為高中學生課外探究活動的素材．學生利用幾何畫板或GeoGebra軟件可以方便地觀察和驗證上述結論，并留下深刻印象．但是，他們若想說明其中的道理——特別是當圓錐曲線為雙曲線時——是比較困難的．我們的教學和研究體會大致是：

(1)從射影幾何的觀點看，通過以無窮遠點為投影中心的中心投影(即平行投影)，可以把任意橢圓變成圓[2]．如果我們在圓中考慮“性質”(圖2)，則證明是簡單的.

圖2 圓

注意到平行投影的一個性質是將平行線投影成平行線[2]，既然“性質”在圓中成立，它對于所有的橢圓也必然成立．

用這種方法研究橢圓，是學生也可以想到的．但是，(i)雖然在射影幾何的觀點下，選擇空間某點作為投影中心，可以把任何一種圓錐曲線變成圓(借助圓錐截面，學生能夠理解這點)，但此變換不能保證把平行線投影成平行線．(ii)如果選擇無窮遠點為投影中心(平行投影)，則橢圓只能變成橢圓或圓，雙曲線只能變成雙曲線，拋物線只能變成拋物線，三種圓錐曲線之間不能相互轉化[2]．綜合(i)(ii)可知，不能通過空間投影的方法把“性質”直接推廣到雙曲線和拋物線．

(2)如果把“性質”視為Pascal定理的一種特殊情形，則必須依賴于射影幾何的觀念，特別是“無窮遠點”、“無窮遠直線”的概念．這些對于中學生而言是超前的概念，即使可以接受，也很難知其所以然．

(3)文獻[3]以“二次曲線系”為工具，給出了Pascal定理(包括各種特殊情況)的不用射影幾何知識的證明，這使得Pascal定理和“性質”可以進入部分中學生的知識范圍，對于定理的普及推廣極有意義．與[3]的工作類似，我們也和學生討論了一種基于曲線系的證明方法．

性質設A,B,C,D,E,F為圓錐曲線(橢圓、雙曲線或拋物線)上的六個點，若AB∥DE且BC∥EF，則AF∥DC．

證明我們依次記直線AB,BC,CD,DE,EF,FA的方程為fi(x,y)=0(i=1,2,3,4,5,6)，記直線AD的方程為g(x,y)=0，記圓錐曲線的方程為G(x,y)=0．

考慮A,B,C,D四點，存在系數μ1,λ1使得μ1G=f2g+λ1f1f3=0；考慮A,D,E,F四點，存在系數μ2,λ2使得μ2G=f5g+λ2f4f6=0．顯然這里μ1μ2λ1λ2≠0．

消去g，得到(μ1f5-μ2f2)G=λ1f1f3f5-λ2f2f4f6(*)．注意此式為恒等式，對平面內任意一點(x,y)都成立．

假設AF與CD不平行，交點為P(x0,y0)，顯然點P不在圓錐曲線上．將P(x0,y0)帶入(*)，因為f3(x0,y0)=f6(x0,y0)=0，所以右式=0；而左式中，G(x0,y0)≠0，所以μ1f5(x0,y0)-μ2f2(x0,y0)=0．因為BC∥EF，所以f5(x0,y0)≠f2(x0,y0)，所以μ1≠μ2，所以μ1f5-μ2f2=0表示一條與BC和EF都平行，并且經過P(x0,y0)的直線，記作L．

取L與直線AB的交點Q1(x1,y1)，則(*)左式在Q1(x1,y1)處的值為0，且右式中f1(x1,y1)=0，f2(x1,y1)≠0，f4(x1,y1)≠0，所以f6(x1,y1)=0，所以點Q1也在直線AF上，所以點Q1與點A重合；同理，取L與直線DE的交點Q2，則點Q2也在直線CD上，所以點Q2與點D重合．

現在，直線L與直線AF有公共點P和Q1，與直線CD有公共點P和Q2，所以點P，Q1(即點A)，Q2(即點D)都重合，這就與A，D是兩個不同的點相矛盾．因此“假設AF與CD不平行”不能成立．(1)上述證明過程，到(*)為止與[3]的思路相同．之后我們采用了更依賴幾何直觀的反證法，而[3]采用了基于多項式整除性的代數證法．□

但是，曲線系的方法仍然超出了高中數學的知識范圍．為使這個優美的性質能夠成為高中學生研究性學習的適當素材，本文將繼續研究以下問題：

(1) 用高中數學知識證明“性質”(不涉及Pascal定理)；

(2) 基于“性質”的高中數學命題．

2 用中學數學的方法研究“性質”

高中解析幾何，平行是最常見的條件之一．要想證明“性質”，不難想到以下直截了當的思路(讀者可對照圖1、圖3、圖4)：

圖3 雙曲線

圖4 拋物線

設B(x1,y1),E(x2,y2)，設kAB=kDE=k1,kBC=kEF=k2．首先計算A,D,C,E四點的坐標(用x1,y1,x2,y2,k1,k2表示)，再驗證(yA-yF)(xD-xC)=(xA-xF)(yD-yC)．

這種思路理論上可行，但計算量過大．針對不同類型的圓錐曲線，我們分類討論，探索其它證法．

2.1 拋物線

不妨設拋物線的方程為x=my2，并設A～F這六個點的坐標依次為(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)．我們有以下非常簡潔的證法．

2.2 雙曲線和橢圓

假設圓錐曲線的方程為mx2+ny2=1．仍設A～F這六個點的坐標依次為(xi,yi)．

兩式相減得x1y4-x3y6=y1x4-y3x6，

即x1y4+x6y3=y1x4+y6x3， ⑤

可以驗證

(x1y4)2+(x6y3)2-(y1x4)2-(y6x3)2

=(x1y3)2+(x6y4)2-(y1x3)2-(y6x4)2，

將⑤兩邊平方，再減去上式，即得

(x1y3+x6y4)2=(y1x3+y6x4)2. ⑥

在已證得⑤、⑥的基礎上只需再證明

x1y3+x6y4=y1x3+y6x4，⑦

并否定(x1y3+x6y4)=-(y1x3+y6x4)．⑦′

從已證的⑥到目標⑦，看似一步之遙，卻是最困難也最有趣的一步．

【先看雙曲線】

用高中知識不難證明：(1)對于雙曲線上的任意一點P，平行于OP(O為坐標原點)的直線與雙曲線一定有兩個交點，且分別位于雙曲線的兩支上．(2)如果雙曲線有兩條平行弦，那么或者4個端點都在同一支上，或者有2個點在一支、另2個點在另一支上．

以圖3為例，假設點A，B在同一支(左支)上，點C，D在另一支(右支)上．因為AB∥DE，所以點E必在右支上；因為BC∥EF，所以點F必在左支上．

對于F1，因為它同時滿足⑤、⑦，因此AF1∥DC，所以點F1在左支上，相應地點F2在右支上．已證點F在左支上，所以F=F1，所以AF∥DC．

點A，B，C，D在雙曲線兩支上的其它分布情況，均可類似地驗證．□

【再看橢圓】

式①～⑥仍然成立，但為從⑥到⑦，我們需要引入新的工具——參數方程．

(從這里也可看出⑤式成立.)

同時，分別將①③、②④兩邊平方后相減，

將⑨和⑩中的第一個式子聯立，可以得到α1-α4-α5+α2=2kπ(分類討論，過程略).

將⑨和⑩的第二個式子聯立，同理得α3-α6-α5+α2=2k′π，故α1-α4=α3-α6+2λπ.

所以sin(α1-α3)=sin(α4-α6)成立，

進而⑦成立，所以AF∥DC．□

2.3 證法小結和引申

以上我們對于拋物線、雙曲線、橢圓這三種圓錐曲線，用不超出中學教材范圍的知識和方法——其中融會貫通了代數、幾何、三角等知識，以及特定圓錐曲線的一些特殊性質——證明了“性質”成立．如果不局限于高中知識，上述證明還可以帶給我們一些額外的收獲：

將式(△)變形為

用二維向量的“向量積”表示，就是

如圖5(1)，我們事實上已經由式(△)得到了一個推論：

圖5(1)

推論如果在橢圓(或雙曲線)中兩條弦AB∥DE，則S△OAD=S△OEB．

圖5(2)

3 基于“性質”的高中數學命題

高中數學研究圓錐曲線，通常用聯立方程的辦法處理直線與圓錐曲線之間的位置關系，用代數計算的方法分析論證衍生圖形的幾何性質．本文所研究的這個“性質”，條件和結論簡單清晰，從圖形背景來看，很適合編寫符合北京卷風格、研究運動變化過程中不變因素的證明題[4]．但為遷就高中解題的通性通法，必須讓6個點的分布滿足一些特殊的條件．

我們曾為本校高三年級命題如下：

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)若橢圓上的兩點E、F(不與頂點重合)滿足EF∥AB，點E關于y軸的對稱點是點G，求證：CF∥AG．

所以 當Δ>0時，

有x1+x2=-2t，x1·x2=2(t2-1).

其中，

=x1x2+(t-1)(x1+x2)-2(t-1)

=2(t2-1)-2t(t-1)-2(t-1)=0.

所以kCF=kAG，所以CF∥AG．□

本題可以再調整已知和求證，構造“姊妹題”．例如：任取橢圓上關于y軸對稱的兩個點E和G，作CF∥AG交橢圓于F，求證直線EF的斜率為定值；或者已知EF∥AB和CF∥AG，求證點E和點G關于y軸對稱等．相應地，解題思路和計算量也會有所調整．

4 結論

本文的主要成果，是僅用高中數學的知識方法證明了圓錐曲線的一個幾何性質，使得高中生也能夠“知其所以然”．在證明過程中，我們不斷發現新問題，又不斷引進新方法，將幾何、代數、三角等知識融會貫通，使得本文的方法適合作為高中數學研究性學習的素材；“性質”的一些特殊情形也可以作為高中數學考試命題的背景素材．有興趣進一步研究的學生，還可繼續學習二次曲線系、射影幾何、Pascal定理等知識[5]．

我們常說，數學教學要提升學生的思維水平、培養發現問題的意識和創新能力．以這個小問題的解決為例，僅限于高中知識的證明畢竟是相對繁瑣的；只有在更廣闊的知識背景和更高觀點的方法的基礎上，才能深入發掘其內涵，獲得更有價值的成果．