3-PRS并聯機構的動力學慣量耦合特性分析*

倪仕全,田大鵬*

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所,吉林 長春 130033;2.中國科學院大學,北京 100049)

0 引 言

并聯機構具有高剛度、高精度、良好的動態性能、易于實現高速度等優點,在天線支撐、輪轂打磨、醫療器械等方面得到了廣泛應用[1-5]。并聯機構是一個多入多出非線性系統,目前,對其研究主要集中于運動學、動力學等方面。然而機構的驅動支鏈存在動力學慣量耦合現象,這種現象在機構高速、高加速運動中更加明顯,嚴重影響了并聯機構的動態性能[6]44[7]604。研究并聯機構的慣量耦合特性對提升機構的動態性能具有重要意義。

由于并聯機構耦合方面的研究主要集中于運動耦合、剛柔耦合等,對于剛度大、高速運動的并聯機構,慣量耦合引起的動力學耦合現象更嚴重[8-10]。文獻[11]對Stewart并聯機構提出了慣量耦合特性的分析方法。文獻[12,13]分析了Stewart并聯機構慣量矩陣具有對角占優及機構關節間具有慣量耦合的特性。文獻[14]研究了Stewart并聯機構在關節空間中負載與電機慣量配比關系。文獻[15]提出了3-PRS并聯機構慣量耦合特性的分析方法,但沒有針對動平臺位姿耦合的關系進行解耦。文獻[16]提出了Stewart并聯機構的耦合慣量特性評價指標，并給出了指標在工作空間的分布規律。文獻[17]針對CrossⅣ并聯機構,提出了支鏈間耦合作用的等效慣量參數計算方法。

上述研究中缺乏統一描述慣量耦合特性的標度。文獻[7]605研究了2(3HUS+S)并聯機構在關節空間中的慣量耦合特性,并提出了降低主動支鏈間動力學耦合強度的措施;文獻[6]50針對5 PSS/UPU并聯機構提出了慣量耦合特性指標,并給出了指標在機構工作空間中的分布規律。

筆者在已有研究的基礎上,在充分考慮并聯機構慣量矩陣為對角優勢陣、慣量耦合特性統一標度的情況下,定義慣量耦合特性;首先,對3-PRS并聯機構進行運動學分析,針對動平臺廣義位姿、速度、加速度存在耦合的問題,進行解耦;采用虛功原理建立機構的動力學模型,基于此,建立機構在關節空間的動力學模型,最后對機構進行慣量耦合特性分析。

1 3-PRS并聯機構運動學分析

1.1 3-PRS并聯機構描述

3-PRS并聯機構結構簡圖如圖1所示。

圖1 3-PRS并聯機構Bi(i=1,2,3)—包括沿導軌運動的移動副、連接滑塊與從動件的轉動副;Pi—球面副;θi—導軌與從動件的夾角

該機構由靜平臺、動平臺及3條相同支鏈構成。每條支鏈按移動副—轉動副—球面副的順序依次連接靜平臺與動平臺,移動副處滑塊的導軌垂直固定于靜平臺。3條支鏈限制了機構的運動特征,使動平臺具有3個自由度:兩個轉動、一個移動。

機構尺寸參數:靜平臺外接圓半徑為R,動平臺外接圓半徑為r,從動件長度為l。

1.2 機構逆運動學建模

圖1中,筆者在靜平臺上建立靜坐標系O-XYZ,原點位于平臺幾何中心;Y軸沿OA1方向并與之共線,Y軸與OAi之間夾角為αi;Z軸垂直于靜平臺方向向上,根據右手定則確定X軸;OAi垂直于對應的轉動副軸線。

動坐標系P-xyz的建立過程與坐標系O-XYZ相同,其中:

(1)

動平臺繞O-XYZ的X軸、Y軸、Z軸分別轉動角度為α、β、γ,則動平臺相對靜平臺的旋轉矩陣為:

(2)

式中:sαi—sinαi;cαi—cosαi。

由文獻[18]可得機構伴隨運動為:

(3)

聯立式(1～3),并根據桿長l不變的條件,可得機構的運動學逆解為:

(4)

式中:PiX—點Pi在靜坐標系X軸坐標;PiY—點Pi在靜坐標系Y軸坐標;PiZ—點Pi在靜坐標系Z軸坐標。

1.3 移動副速度、加速度映射分析

動平臺各球面副中心點Pi的速度為:

vpi=v+w×pi=JpiV

(5)

動平臺各球面副中心點Pi的速度還可以表示為:

vpi=vbie+wli×li

(6)

式中:vbi—移動副速度;wli—從動件角速度。

由式(5,6)可得移動副速度:

vbi=JbiV

(7)

式(7)可改寫成矩陣形式為:

vb=JbV

(8)

(9)

α、β、γ對α、β、z求偏導,即:

(10)

聯立式(9,10)可得:

(11)

由式(8,11)可得機構的解耦速度雅可比矩陣為:

(12)

(13)

式中:εli—從動件角加速度。

式(13)可改寫成:

abi=JbiA+VTJiV

(14)

(15)

(16)

由式(15,16)可得:

(17)

式(14)可表示為:

(18)

1.4 從動件速度、加速度分析

1.4.1 從動件速度分析

(19)

從動件質心處速度為:

(20)

1.4.2 從動件加速度分析

(21)

對式(20)求導,可得:

(22)

1.5 運動學仿真

驗證機構運動學分析的正確性,需將仿真結果與理論計算值進行對比[20]。

機構尺寸參數如下:R=0.055 m;r=0.035 36 m;l=0.040 m。

令動平臺的中點軌跡如下式:

(23)

由式(4,7,18)可得到機構3個滑塊理論位移、速度、加速度,如圖2所示。

圖2 滑塊理論位移、速度、加速度

筆者在運動學仿真軟件Simulink/SimMechanics工具箱中,建立機構的三維模型,得到機構3個滑塊的位移、速度、加速度,如圖3所示。

圖3 滑塊的仿真位移、速度、加速度

在圖3(c)中,初始時刻,滑塊的加速度出現跳變,這是由于動平臺在式(23)的初始位姿與機構初始位姿不同造成的。從圖2和圖3可看出:該結果驗證了機構運動學建模、動平臺位姿(速度、加速度)解耦的正確性。

2 3-PRS并聯機構動力學分析

2.1 受力分析

在不考慮運動副存在摩擦力的情況下,筆者對各個構件的受力進行分析,建立機構的動力學模型。

滑塊受力為:

(24)

式中:τi—驅動力;mb—滑塊質量;g—重力加速度向量。

從動件受力為:

(25)

式中:ml—從動件質量;Ili—從動件在靜坐標系的慣量矩陣。

動平臺受力為:

(26)

式中:fe—外力;ne—外力矩;mp—動平臺質量;Ip—動平臺在靜坐標系的慣量矩陣。

2.2 3-PRS并聯機構整體動力學建模

對于3-PRS并聯機構而言,主動力為各桿件的慣性力(矩)、重力、驅動力、外力(矩)。根據虛功原理,機構主動力做的虛功之和為零,即:

Wh+Wl+Wp+Wf=0

(27)

式中:Wh—滑塊主動力所做虛功;Wl—從動件主動力所做虛功;Wp—動平臺主動力所做虛功;Wf—外力(矩)所做虛功。

由式(24～27)可得機構的動力學方程:

(28)

式中:M—慣量矩陣項;C—向心力及科氏力項;G—重力項。

2.3 動力學數值算例

2.3.1 并聯機構的參數定義

機構的靜平臺、動平臺及從動件的尺寸參數值同1.5部分,并聯結構的其他參數值如表1所示。

表1 結構參數

2.3.2 算例計算

在不考慮動平臺受到外力(矩)擾動的情況下,此處令動平臺的位姿變化軌跡為:

(29)

3個支鏈的理論驅動力及仿真驅動力如圖4所示。

圖4 支鏈的理論驅動力及仿真驅動力

從圖4可知:理論驅動力、仿真驅動力曲線完全吻合,驗證了動力學建模的正確性。

3 3-PRS并聯機構慣量耦合特性分析

3.1 關節空間動力學模型的建立

根據機構在廣義坐標和關節空間坐標下動能相等的原理,可得:

(30)

式中:Mg—關節空間下的慣量矩陣。

當機構在運動過程無奇異情況時:

Mg=(J-1)TMJ-1

(31)

對式(12)求導可得:

(32)

則并聯機構在關節空間坐標的動力學方程為:

Mgab+Cgvb+Gg=τ

(33)

式中:Cg—關節空間下的向心力及科氏力項,Cg=(J-1)T(-MJ-1H+CJ-1);Gg—關節空間下的重力項,Gg=(J-1)TG。

3.2 慣量耦合特性評價指標

由式(33)可知,各通道的力和運動矢量存在著復雜的耦合關系,即一個輸入影響多個輸出,同時一個輸出受多個輸入的影響。

則本研究將評價指標值定義在(0,1)之間,這便于直接反應機構慣量耦合強度;指標值越大,耦合越大,反之越小。

此處定義慣量耦合特性ICIi為:

(34)

且需滿足下式的條件:

(35)

同時,需求雅可比矩陣行列式值來判斷機構是否存在奇異位姿。

3.3 仿真實驗及結果分析

根據慣量耦合特性評價指標,筆者對3-PRS并聯機構耦合特性進行數值仿真分析。根據機構的各條件約束及其可工作空間,選取機構位姿運動范圍為:α∈[-10°,10°]、β∈[-10°,10°]、z∈[-24 mm,24 mm]。

當α=0,β=0時,動平臺沿Z軸在運動范圍移動時,0.025

圖5 慣量耦合特性隨z方向分布規律

圖5中:3個支鏈的慣量耦合特性強度隨z變化一致,且變化范圍較大;隨著z值的增大,慣量耦合強度先減小后增大;在-7.2 mm處,慣量耦合強度最小;各ICI最小值分別為:ICI1=9.964×10-4;ICI2=1.005×10-3;ICI3=1.004×10-3;在z軸運動范圍最大數值處,支鏈間的慣量耦合強度最大。

當β=0,動平臺中心點z值處于初始狀態時,動平臺繞O-XYZ轉動時,0.031

圖6 慣量耦合特性隨α方向分布規律

圖6中:支鏈2、3的耦合慣量隨α的變化一致,且變化范圍較小;支鏈1的耦合慣量隨著α數值增大先小后增大且變化范圍較大。

當α=0,動平臺中心點z值處于初始狀態時,動平臺繞O-XYZ轉動時,0.031

圖7 慣量耦合特性隨β方向分布規律

圖7中:支鏈2、3的耦合慣量隨β的變化相反,這是因為支鏈2、3關于Y軸對稱,且耦合慣量變化范圍較大;支鏈1的耦合慣量隨著α數值增大先小后增大且變化范圍較小。

4 結束語

針對動平臺廣義位姿、速度、速度存在耦合的問題,筆者通過機構約束方程、影響系數矩陣對其進行了解耦,建立了支鏈與動平臺末端的映射關系,驗證了解耦及解耦后運動學模型的正確性;基于虛功原理,筆者建立了3-PRS并聯機構的動力學模型,通過仿真軟件驗證了模型的正確性;在關節空間中建立了機構的動力學模型,分析了機構支鏈間的慣量耦合特性。

研究結果表明:在并聯機構可工作空間內,通過合理規劃機構各個參數的運動范圍,可在一定程度上減小主動支鏈間的耦合慣量,來提高并聯機構的動態性能,但是不能從根本上消除。

在以后研究中,筆者將會基于并聯機構慣量耦合特性的特點,將其應用于并聯機構的具體設計研究當中。