北斗三號衛星鐘差短期預報與穩定性分析

押少帥，趙興旺，胡豪杰，劉超，陳健

(安徽理工大學 空間信息與測繪工程學院，安徽 淮南 232001)

0 引 言

全球衛星導航系統(GNSS)是基于時間測量的系統，準確的距離測量實際上就是時間測量[1].星載原子鐘作為導航定位的星上時間基準，又是導航衛星的核心有效負荷之一，其性能直接影響導航定位精度[2]，如時間系統上1 ns 的誤差，導致3 dm 的距離誤差[3].由國際 GNSS 服務(IGS)提供的最終星歷，其鐘差精度可以達到75 ps[4]，但是這個產品要延遲12～18 天，不能用于實時定位.因此，如何利用較少的數據提高鐘差的精度以滿足實時定位的要求成為研究的重點.

目前，國內外許多學者對鐘差的預報模型做了大量的研究，取得了豐富的成果.常用的模型有時間序列模型(ARIMA)[5]、灰色模型(GM)[6]、一次多項式(LP)模型[7]、二次多項式(QP)模型[8]、譜分析模型[9]和卡爾曼濾波模型[10].由于這些模型適應性不同[11]，且原子鐘受外部環境和自身特性的影響，很難找出適合所有衛星的鐘差預報模型.近些年，一些學者用機器學習進行鐘差預測得到了很好的精度[12-14]，但是機器學習的方法需要設置許多參數，目前對參數的選取還沒有一個科學的理論支持，需要不斷的嘗試才能找到最優參數，這是在機器學習算法中一個未完善的部分.隨著北斗三號(BDS-3)的建設到全球組網成功，對BDS 系統原子鐘的性能評估也成為一個熱點.文獻[15]對BDS-3 的原子鐘進行了周期性分析和穩定性分析，文獻[16]對BDS 系統原子鐘進行了頻率穩定性分析性，但它們只是選取了一部分衛星，沒有對全部衛星進行評估.文獻[17]基于北斗二號(BDS-2)的事后鐘差產品對三種軌道衛星性能和預報精度進行了分析，為BDS-3 提供了一些有意義的結論.以上文獻多數是對BDS-2 原子鐘和預報模型進行研究，缺少對BDS-3 和不同原子鐘類型的預報分析.

鑒于以上分析，本文在分析BDS-3 衛星鐘的穩定性的基礎上，選取LP、QP、GM、ARIMA 四種模型對鐘差進行預報，總結了不同類型原子鐘的預報精度，并且對預報模型的穩定性進行了評估.

1 衛星鐘差預報分析

衛星鐘差預報對實時導航定位應用具有重要的意義，然而預報精度受到模型適用性、原子鐘穩定性等多方面因素的影響[18].因此，為了客觀分析BDS-3衛星鐘差預報的精度，本文對原子鐘的頻率穩定性和四種預報模型做了比較分析，以便在鐘差預報時選用合適的模型.

1.1 衛星鐘頻率穩定性

衛星鐘的穩定性是衡量衛星鐘的輸出頻率隨機起伏變化狀況的一個指標.由于衛星鐘的輸出頻率不是一個固定的值[1].BDS 衛星鐘大多搭載的是銣鐘，具有明顯的頻漂，因此，本文用Hadamard 方差對衛星鐘的頻率穩定性進行分析.

對于頻率數據序列yn,n={1,2,···,M}，其采樣間隔 τ0，M為采樣個數，基于頻率數據的Hadamard 方差可表達為

1.2 衛星鐘差預報方法

1)多項式模型通常是根據原子鐘的相位、頻率和頻漂等時頻特性來構造的，主要包括LP 模型、QP 模型.QP 模型的觀測方程為：

對于星載原子鐘頻漂特性不明顯的衛星，鐘差預報模型可簡化為LP 模型

2) GM 模型是將原始時間序列按順序進行累加，使之形成具有明顯特征規律的新序列，然后用一階線性微分方程的解來逼近的過程[19]，模型如下：

3) ARIMA 模型是通過對自回歸模型(AR)和滑動平均模型(MA)進行組合，然后引入差分方法處理非平穩時間序列的預測模型[20].GNSS 衛星鐘差序列具有明顯的非平穩特征，ARIMA 模型能夠很好地通過差分消除非平穩序列的趨勢項和周期項，從而實現對處理后的鐘差序列進行建模預報.基于差分數據的ARIMA(p,d,q)模型，記為{xt} ～ARIMA(p,d,q).其中 {xt} 是數據序列，p和q為模型的階數，d為差分的次數.當d=0 時，即ARMA 模型為

式 中：ai、bj分別為自回歸參數和滑動平均參數；{εt}～WN(0,σ2) 為白噪聲(WN)序列；σ2為WN 方差.

以上模型具有不同的特性，因此在鐘差預報時也會存在一定的差異性.如多項式模型具有計算簡單、充分體現原子鐘的物理特征和短期預報精度高等優點.但是，存在的預報誤差會隨著時間的累積迅速增大.灰色預測具有建模數據少，適合長期預報的優點，但在實際應用中，預報結果并不穩定，有時會造成巨大誤差.ARIMA 模型存在模型識別和階數確定的問題，當建模數據量較少時該模型的識別和階數確定問題存在困難，因此ARIMA 不適合進行建模數據較少情況下的長期預報.

2 算例分析

2.1 實驗數據及方案

自2019 年1 月1 日起，武漢大學開始提供BDS-3公開精密鐘差產品(WUM)，為BDS-3 參與多GNSS精密定位提供了產品基礎，同時，該產品也為BDS-3衛星原子鐘性能研究及鐘差模型精化提供了數據支撐.為了分析不同衛星鐘差預報模型在不同預報時長下的鐘差預報精度，本文選用LP 模型、QP 模型、GM 模型、ARIMA 模型進行鐘差預報.實驗數據選取2020 年年積日151—180 天內采樣間隔為30 s 的WUM 精密鐘差產品.統計不同方案下的鐘差預報精度.通過對比BDS-3 衛星所搭載的新型銣鐘和氫鐘在不同預報模型下的表現，分析適用于新型銣鐘和氫鐘的鐘差預報模型，為BDS-3 鐘差模型精化提供最優的基礎參考模型.具體方案為：1)用Hadamard 方差評估衛星原子鐘的頻率穩定性時，采用不間斷的數據進行計算；2)基于30 天的WUM 鐘差數據，使用LP 模型、QP 模型、GM 模型以及ARIMA 模型進行擬合預報，即基于每天前12 h 的鐘差數據擬合，預報后12 h 的衛星鐘差，并按3 h、6 h 和12 h 三個預報弧段進行精度分析.以WUM 精密鐘差產品為參考值，從均方根(RMS)、最大、最小誤差差值兩方面評價預報效果.由于在WUM 精密鐘差產品中存在著相位跳變和數據缺失的異常情況，需要對BDS 衛星鐘差數據進行預處理，采用數據分段處理鐘差數據相位跳變，采用中位數(MAD)和Baarda 組合方法識別異常值，采用線性插值方法填補缺失數據[21].

2.2 衛星穩定性分析

圖1～圖3 分別給出了BDS-2 銣鐘、BDS-3 新型銣鐘、BDS-3 氫鐘三種類型原子鐘的穩定性隨時間變化的趨勢.從圖中可以看出，三種原子鐘的穩定性數值隨著時間的增加而降低，且在千秒之前穩定性整體呈現線性變化.但是BDS-2 銣鐘的穩定性在萬秒之后出現非規律性變化，而BDS-3 的穩定性在2 000 s 之后開始趨于平穩，在萬秒附近有一個明顯的凸起，這是由于周期特性引起的[15]，之后呈現出波浪狀向下的變化趨勢.

圖1 BDS-2 銣鐘的Hadamard 方差

圖2 BDS-3 新型銣鐘的Hadamard 方差

圖3 BDS-3 氫鐘 的Hadamard 方差

為了分析不同原子鐘穩定性的高低，BDS-2 和BDS-3 每顆衛星的千秒穩定性、萬秒穩定性和日穩定性，分別如圖4、圖5 所示.不同類型鐘的穩定性統計結果如表1 所示.由圖4 和圖5 可知BDS-2 的千秒穩定性大多數都在10?13量級，萬秒穩定性和日穩定性基本都在10?14量級；BDS-3 的千秒穩定性和萬秒穩定性都在10?14量級，日穩定性大多數都在10?15量級.結合表1 的統計信息可以得出，BDS-3 氫鐘的穩定性要優于BDS-2 的銣鐘和BDS-3 的新型銣鐘，其中BDS-2 的銣鐘穩定度最差.BDS-3 新型銣鐘和氫鐘的千秒穩定性要高于BDS-2 銣鐘一個量級；BDS-2、BDS-3 原子鐘的萬秒穩定性差別不大；而BDS-3 氫鐘的日穩定性均為10?15量級遠優于BDS-2 的銣鐘和BDS-3 新型銣鐘，尤其是C27 可以達到10?16量級.從穩定性的最大值最小值可以得出，BDS-2 銣鐘在不同衛星間穩定性差異較大，BDS-3 氫鐘的穩定性最好.對于BDS-2 的C06 衛星鐘和BDS-3 的C24 衛星鐘的日穩定性比千秒穩定性和萬秒穩定性都要差這一反常現象，可能是由于C06、C24 衛星鐘的數據不穩定導致的.

表1 頻率穩定性統計結果

圖4 BDS-2 的頻率穩定性

圖5 BDS-3 的頻率穩定性

2.3 鐘差預報精度分析

圖6～圖8 分別給出了3 h、6 h 和12 h 預報時長，不同衛星原子鐘在LP、QP、GM 和ARIMA 模型下的預報結果的RMS 值，箱型圖為30 天的預報結果RMS 分布情況，其中灰色代表BDS-2 銣鐘，黃色代表BDS-3 新型銣鐘，紅色代表BDS-3 氫鐘.表2 給出了各類型原子鐘在不同預報時長下各個模型預報結果RMS 的均值.

表2 四種模型不同預報時長下鐘差結果RMS 均值 ns

由圖6～圖8 可以看出，在預報時長為3 h 下，BDS-3 氫鐘的RMS 值在LP、QP、GM 模型下均處于0.5 ns 內，在ARIMA 模型下該指標可達到0.2 ns內，優于同模型下BDS-3 新型銣鐘和BDS-2 銣鐘.同樣地，在6 h 和12 h 下BDS-3 氫鐘的RMS 值優于BDS-3新型銣鐘和BDS-2 銣鐘.在不同模型下，BDS-3 新型銣鐘要比BDS-2 銣鐘的精度高，且BDS-2 銣鐘在不同衛星間精度變化比較大，這可能是由于衛星在太空中運行，受到復雜的外部環境的影響，致使衛星鐘的內部零件損壞和老化，因此衛星運行時間越長對原子鐘影響越大.

圖6 四種模型3 h 預報結果RMS 值

圖7 四種模型6 h 預報結果RMS 值

圖8 四種模型12 h 預報結果RMS 值

由表2 所示，3 h 預報時長下BDS-3 氫鐘各模型RMS 均值為0.17 ns，新型銣鐘為0.34 ns，BDS-2 銣鐘為0.88 ns；6 h 預報時長下BDS-3 氫鐘各模型RMS均值為0.26 ns，新型銣鐘為0.59 ns，銣鐘為1.42 ns；12 h 預報時長下氫鐘、新型銣鐘及銣鐘各模型RMS均值分別為0.44 ns、1.24 ns 和2.86 ns.因此，BDS-3所搭載的氫鐘具有最優的預報精度，且在預報12 h情況下預報精度仍保持在0.5 ns 以內.

對不同原子鐘的預報模型分析知，BDS-2 銣鐘在不同的時間下ARIMA 模型預報精度最好為0.44 ns、0.76 ns、1.48 ns，GM 模型的預報精度最差為1.44 ns、2.16 ns、4.30 ns，ARIMA 模型的預報精度明顯優于GM 模 型.BDS-3 新型銣鐘在不同時間下，ARIMA 和QP 模型的預報精度分別為0.22 ns、0.47 ns、1.11 ns 和0.28 ns、0.50 ns、1.04 ns，這兩個模型的預報精度相當且都優于LP 和GM 模型；隨著預報時間的增加，QP 模型的預報精度要優于ARIMA 模型.BDS-3 氫鐘在不同時間下，ARIMA 模型的預報精度都要優于其他三種模型.

Range 表示最大誤差與最小誤差的距離，體現了預報結果的穩定性.圖9～圖11 分別給出了3 h、6 h 和12 h 預報時長，不同衛星原子鐘在LP、QP、GM 和ARIMA 模型下的預報結果的Range 值，表2 給出了各類型原子鐘在不同預報時長下各個模型預報結果Range 的均值.

由圖9～圖11 可知，從Range 值的箱型圖分布情況可以看出，BDS-3 氫鐘的預報穩定性在四種模型下都優于BDS-3 新型銣鐘和BDS-2 銣鐘；四種模型的Range 值都在隨著預報時時間的增加而增加；BDS-2 不同衛星的Range 值有較大的差別.BDS-3 氫鐘在3 h、6 h 和12 h 下Range 均值為0.28 ns、0.47 ns和0.88 ns；相對于BDS-3 新型銣鐘的0.45 ns、0.47 ns和2.25 ns，BDS-2 銣鐘的1.20 ns、2.32 ns 和5.49 ns，四種模型不同預報時長下鐘差結果Range 均值如表3所示.由表3 可知，BDS-3氫鐘的預報穩定性遠優于BDS-3 新型銣鐘和BDS-2 銣鐘.

表3 四種模型不同預報時長下鐘差結果Range 均值 ns

圖9 四種模型3 h 預報結果Range 值

圖10 四種模型6 h 預報結果Range 值

圖11 四種模型12 h 預報結果Range 值

通過對比不同模型的Range 均值可知，LP 和ARIMA模型的Range 均值要優于QP 和GM 模型，這可能跟模型本身的特性有關.但對于BDS-3 新型銣鐘，在不同預報時間下QP 模型的Range 均值為0.43 ns、0.86 ns、1.97 ns，要優于其他三種模型的Range 均值，這說明了QP 模型對BDS-3 新型銣鐘進行鐘差預報的穩定性要優于LP、GM、ARIMA 三個模型.

作為兩個基礎的預報模型，LP 和QP 在BDS-3不同類型原子鐘預報的適用性問題更加值得注意.通過對比各個時長下，LP 和QP 模型在不同原子鐘下的預報結果，可以看出，LP 模型更加適合做BDS-3 氫鐘鐘差數據預報，而QP 模型更加適合做BDS-3 新型銣鐘.結合表2 和表3，在3 h、6 h 和12 h 預報時長下BDS-3 新型銣鐘采用QP 模型進行預報的結果RMS均值為0.28 ns、0.50 ns 和1.04 ns，對應的Range 均值為0.43 ns、0.86 ns 和1.97 ns，優于LP 模型下RMS 均值的0.39 ns、0.63 ns 和1.27 ns，以及Range 均值的0.44 ns、0.94 ns 和2.22 ns；因此，BDS-3 新型銣鐘采用QP 模型預報效果較優.在3 h、6 h和12 h 預報時長下，BDS-3 氫鐘采用LP 模型進行預報的結果RMS均值為0.18 ns、0.23 ns 和0.35 ns，均優于0.5 ns，其對應的Range 均值為0.27 ns、0.41 ns 和0.68 ns，優于QP 模型下RMS 均值的0.20 ns、0.34 ns 和0.68 ns，以及Range 均值的0.32 ns、0.60 ns 和1.31 ns；因此，BDS-3 氫鐘采用LP 模型預報效果較優.

由于BDS-2 與BDS-3 都搭載有銣鐘，因此BDS-2銣鐘的變化可以給BDS-3 新型銣鐘一些有意義的參考.銣鐘具有明顯的頻漂，因此對銣鐘進行預測時采用顧及頻漂的QP 模型要比LP 模型要準確，但是根據表2 和表3 統計的結果可以看出，LP 模型對BDS-2的預報精度和預報穩定性要優于QP 模型，而BDS-3新型銣鐘的QP 模型優于LP 模型.因此可以得出，銣鐘在運行一定時間后，用LP 模型進行鐘差預報要優于QP 模型.

為了直觀的了解三種原子鐘在不同模型下的預報精度和穩定性，圖12 給出了第156 天BDS 衛星鐘差預報12 h 的偏差序列.可以看出在LP、QP、GM及ARIMA 模型中，ARIMA 模型具有最優的預報結果，GM 模型預報效果最差，LP 模型預報結果稍遜于ARIMA 模型，整體上優于QP 模型.結合表2 和表3，ARIMA 模型12 h 預報結果RMS 均值為0.96 ns，6 h預報結果RMS 均值為0.47 ns，在0.5 ns 以內；12 h、6 h和3 h 預報結果Range 均值分別為2.02 ns、0.97 ns和0.54 ns.相對于其他三種模型ARIMA 具有最優的預報結果，但是，該模型需要明確模型階次和數據差分次數信息，靈活性較差.LP 模型在3 h、6 h 和12 h下預報結果RMS 均值為0.45 ns、0.64 ns 和1.12 ns，對應的Range 均值為0.56 ns、0.99 ns 和2.07 ns；其預報效果僅次于ARIMA 模型.QP 模型在3 h 時長下預報結果與LP 模型相當，但隨著預報時長的增加，QP 模型精度較差.GM 模型短期預報效果稍遜于LP模型和QP 模型但相差不大，在3 h 預報時長下GM模型預報結果RMS 均值為0.7 ns，對應Range 均值為0.75 ns；在6 h 和12 h 預報時長下的精度與穩定性在四種模型中最差.

圖12 四種模型12 h 預測偏差序列（DOY 156）

在建模時長為一定的情況下，預報誤差會隨著預報時長的增加而增加.整體上，BDS 衛星鐘差在3 h、6 h 和12 h 預報結果RMS 值分別為0.46 ns、0.76 ns和1.51 ns，對應的Range 值分別為0.64 ns、1.25 ns 和2.87 ns.在進行定位應用過程中，衛星鐘差存在1 ns的誤差就會產生0.3 m 的等效距離誤差，因此，仍需對基礎鐘差模型進行精化以滿足高精度定位的要求.

3 結 論

本文基于30 天BDS 精密鐘差數據，對BDS-2和BDS-3 的穩定性和不同預報時長下LP、QP、GM和ARIMA 四種模型的預報結果進行分析，得到了一些有益的結論，為BDS-3 衛星鐘差模型精化提供了參考基礎：

1) BDS-3 氫鐘在三個時間段上的頻率穩定性都是最優，其中千秒穩定性要比BDS-2 銣鐘高出一個量級，在日穩定性上氫鐘都達到了10?15量級，其中C27 達到10?16量級，要遠優于BDS-2 銣鐘和BDS-3 新型銣鐘.

2) BDS-3 氫鐘的預報精度和預報穩定性要優于BDS-2 銣鐘，特別是BDS-3 氫鐘的結果最優，在3 h、6 h 和12 h 下預報結果RMS 均值為0.17 ns、0.26 ns和0.44 ns，對應的Range 均值為0.28 ns、0.47 ns 和0.88 ns；在較長的預報時長下，BDS-3 氫鐘仍能保持較優的預報精度和穩定性.這在一定程度上也說明了氫鐘的頻率穩定性越好，預報精度越高.

3) 對比四種不同模型預報結果，ARIMA 模型預報結果最優，GM 模型預報結果最差.對于BDS 整體而言，LP 模型在12 h 下預報精度為1.12 ns，優于QP 模型的1.88 ns.

4)本文對考慮原子鐘物理特性的LP 模型和QP 模型在不同原子鐘下的精度進行了比較，結果表明，BDS-2 的銣鐘隨著運行時間的增加更適合忽略頻漂的LP 模型,此結論可以為BDS-3 鐘差模型的進一步精化提供有利的參考.

致謝：感謝國際GNSS 監測評估系統(iGMAS)提供的數據.