關注多元表征 注重模型建構

錢兆蘭 王建榮

【教學內容】

蘇教版數學教材四年級下冊第六單元第62～63頁例5、“練一練”。

【教學目標】

1.使學生結合具體問題情境，在解決問題的過程中經歷探索乘法分配律的過程，建構相應模型，理解、掌握并運用乘法分配律。

2.使學生在觀察、比較、分析、抽象和概括等活動過程中，發展推理能力，增強符號意識，體會數學表達的嚴謹、簡潔，感悟模型思想。

3.使學生在參與數學活動的過程中，獲得學習成功的體驗，積累數學活動經驗，增強學習數學的興趣和學好數學的信心。

【教學重點】

理解、掌握并運用乘法分配律。

【教學難點】

從現實背景中抽象概括出乘法分配律，建構、感悟模型。

【課前思考】

“乘法分配律”是乘法、加法混合運算定律，是多位數乘法和有關簡便運算的理論依據，是中學代數學習合并同類項、提取公因式等知識的基礎，是乘法運算定律教學的重點和難點。

綜觀各版本教材，例題情境圖都貼近生活實際，隱含模型特征，試圖引領學生在解決問題的過程中，通過分析數量關系，認識到“乘法的意義”是乘法分配律的核心本質，認識乘法分配律并建立模型。我們跳出“僅關注得數相等結論”的局限，關注“數”“形”“數量關系”“生活實際”的緊密結合，在課堂教學中充分引導學生經歷計算結果、情境表征、幾何表征、符號表征和意義表征的探究過程，通過不同形式的數學表征，從“乘法的意義”“乘法分配律的基本形式”兩方面對乘法分配律展開立體多維式探究，從幾何直觀角度為學生從本質上理解乘法分配律提供清晰形象的模型支撐。

【教學過程】

教師進行課前談話：愛好旅游的一家人，常用相機記錄下美好的瞬間。出示合影照片（孩子在中間，爸爸媽媽在兩邊，各用一只手緊緊牽著孩子），如果你是照片中的小朋友，從爸爸媽媽緊緊牽著自己的手能感受到什么？

學生交流感受：爸爸愛我！媽媽愛我！爸爸媽媽都愛我！兩句話合成一句話來說意思一樣，數學上也有這樣類似的表達。

一、情境導入，探究新知

師：學校器材室新到了一批普通籃球和花色籃球，仔細看圖1，你知道了哪些數學信息？

生：上面3層普通籃球，下面2層花色籃球，每層6個。

師：會列式解決“柜子里兩種籃球一共有多少個？”這個問題嗎？

[教師鼓勵學生說兩道綜合算式：3×6+2×6和（3+2）×6]

師：這兩道算式可以用等號連接嗎？

師：不計算，看這兩個式子本身，能說明相等嗎？

生：能，都表示求5個6是多少，乘法的意義很清楚。

師：觀察（3+2）×6=3×6+2×6，等式兩邊的式子有什么聯系？

師：右邊式子是怎么從左邊式子得來的？

生：左邊式子括號里的3和2分別與6相乘，再相加。

師：表達得真清楚，3+2的和乘6，可以寫成3和2分別與6相乘再相加，結果不變。

師：為便于保管，管理員老師給柜子裝上了柜門（出示圖2），請看數據。

柜門的面積一共是多少平方分米？能列綜合算式解決這個問題嗎？

思考1：不計算，看這個圖你還能說明左右兩個式子相等嗎？

思考2：圖轉一轉（課件演示），你還能看懂左右兩個式子相等嗎？

師生交流后認為：旋轉后的圖形也能說明左右兩個式子相等。15×20求的是（ ），10×20求的是（ ），它們加起來算出了（ ），（15+10）×20算的也是（ ）。

師：我們又得到了一組等式，看一看，它和上面一組等式是一樣嗎？

師生交流后認為：兩組等式左右兩邊有著相同的聯系。

【思考】情境引入，問題先行，教師引導學生運用已有的知識經驗來解決問題，在解決問題的過程中發現并提出新的問題，引發思考，激發學生進一步探索新知識的心理需求。借助情境，“數”“形”“數量關系”“生活實際”緊密結合，引導學生觀察、比較，初步建構乘法分配律知識模型。

二、觀察舉例，明理建模

師：像這樣有聯系的式子你能寫出幾組嗎？

（師生嘗試共寫）

師：左邊式子是“（6+2）×4=（ ）”，你能寫出右邊式子嗎？

生：6×4+2×4。

師：如果知道右邊式子是“（ ）=89×10+11×10”，左邊呢？

生：（89+11）×10。

師：剛寫出的兩組式子符合上面等式左右兩邊式子的聯系特征嗎？

師：像這樣的算式你能再寫一些嗎？請在自己的本子上寫一組。

（學生集體交流）

師：這樣的算式寫得完嗎？

師：黑板上面兩組等式，我們剛才用不同方法解釋了它們左右兩邊式子是相等的，剛寫出的算式左右兩邊的式子是不是也相等呢？

教師相機出示活動要求：

1.從列舉的式子中任選一組算式寫在學習單上。

2.用你喜歡的方法說明選擇的算式左右兩邊是否相等。

3.和同桌交流你的想法。

（學生自主活動、交流，師相機指導）

生：我選的算式是（6+2）×4=6×4+2×4，我用“計算”“點子圖”的方法說明了兩邊式子相等。

生：我選的算式是……我用“計算”和“乘法意義”說明。

生：我選的算式是……我用“計算”和“長方形圖”來說明。

師：同學們很會思考，用多種方法說明了這些算式左右兩邊是相等的。大家選擇的算式左右兩邊有沒有不相等的？

師（小結）：像這樣有聯系特征的算式左右都是相等的。

【思考】在學生初步感知乘法分配律的意義和基本形式、初步建構知識模型的基礎上，教師由扶到放讓學生舉例寫相同聯系特征的一組算式，引導學生自主用計算結果、情境表征、幾何表征、符號表征和意義表征等多種方法驗證說明，充分經歷探究過程，進一步感知認識乘法分配律的意義和基本形式，實現對乘法分配律知識模型的再建構。

三、觀察比較，抽象概括

師：橫著觀察這些等式，剛才已發現它們左右兩邊式子有聯系。

師：豎著觀察這些等式，先看它們左邊的式子有什么特征，再看右邊式子是怎樣從左邊式子得來的。

生：左邊的式子都是兩個數的和乘一個數，右邊式子都是左邊式子括號里的兩個加數分別和括號外面的數相乘，再相加。

師：這里蘊含著一個規律，同學們用自己的話把發現的規律在小組里說一說。

（學生小組交流）

師：一起來看教材中“小番茄”是怎么說的。

師：大家發現的是數學中的一個重要規律——乘法分配律。

師：前面學習加法、乘法的交換律和結合律時，都用了字母式子表示，如果用字母a、b、c分別表示三個數，乘法分配律可以怎樣寫？

（教師板書字母式子）

師：用自己的話說說這個字母式子表示的意思。

師：你是怎么理解乘法分配律里面“分配”兩個字的？

（學生交流，教師板書添加兩條弧線，引導學生感受“分別乘，再相加”）

【思考】教師組織、引導學生對寫出的等式進行再觀察、再比較，用自己的語言描述、歸納其中的規律，進一步深化對乘法分配律的理解，讓學生經歷用字母表示乘法分配律的過程，感悟模型思想及數學符號的簡潔，培養符號意識。

四、分層練習，靈活運用

1.“練一練”第1題（略）。

2.橫著看，在得數相同的算式后面畫“√”。

（28+16）×7=28×7+16×7??????????????? （）

（5×4）×17=5×17+4×17?????????????????? （）

40×50+60×90=（40+60）×90???????? （）

74×99+74=74×（99+1）????????????? （）

師：最后一組式子的兩個算式，如要計算，你選哪一個？為什么？

生：74×（99+1），因為計算簡便。

師：簡便運算在以后的學習中我們將進一步探究。

【思考】教師引導學生填空，從不同角度做出解釋，幫助學生更好地把握乘法分配律的本質內涵，初步體驗應用乘法分配律可以使一些計算簡便，為今后學習有關的簡便計算做鋪墊。

五、回顧小結，鏈接拓展

師：回顧一下，今天我們是怎樣認識乘法分配律的？

生：在解決問題過程中，看到一個數學現象→舉出了更多的例子→用不同的方法進行了解釋說明→歸納出數學規律→用符號表示發現的規律。

師：在學習生活中我們經常要用這樣的方法進行探索研究。

師：今天學習的乘法分配律是兩個數的和與一個數相乘，等于兩個加數分別與這個數相乘，再相加。如果括號里是三個或更多個數相加的和，乘法分配律還適用嗎？如果括號里的加法換成減法呢？

師：有興趣的同學課后可以用我們剛才學習的方法繼續研究。

【思考】教師引導學生回顧整節課，一起探究學習乘法分配律的全過程，幫助學生對乘法分配律的本質內涵進行整體性把握，同時給學生以方法的指引。

【反思】

本節課教師以學生為主體，在充分研讀、理解教材編排意圖的基礎上，對教材進行了適度改編，從“柜子里兩種籃球一共有多少個”“柜門的面積一共是多少平方分米”兩個問題入手展開教學，引導學生用不同的方法（列不同綜合算式）解決實際問題，得出具備乘法分配律意義特征的等式，繼而展開探究。

一、做到形神兼備，多維度理解規律

在教學中，我們往往只重視乘法分配律的概括和歸納，只注意了乘法分配律的“形”。在本節課中，教師更加重視乘法分配律的意義的理解和建構，特別是學生的自主建構。在探索、練習等多個環節中，教師讓學生解釋和驗證，防止出現“（5×4）×17=5×17+4×17”這樣的錯誤，引導學生關注乘法分配律的“神”。教師安排了多個算式讓學生觀察、對比、討論，結合已有的知識和經驗，進行多維度理解，扎實掌握所學知識。

二、關注數學表征，實現意義建構

在教學中，教師從生活情境入手，安排了籃球圖、長方形面積計算等，讓學生認識、感悟數學的多種表征方法，在豐富學生思維的同時，引導學生聯系生活實際，嘗試自主運用多樣的方法來解釋說明算式是否相等，加強對算式意義的理解，為乘法分配律的建構提供意義支撐。豐富的學習材料，不同的數學表征方法，幫助學生自然、成功地建構了乘法分配律的意義模型，促進了學生對乘法分配律的理解。

三、培養模型思想，積累活動經驗

乘法分配律是重要的數學模型，是學生后續學習知識的基礎。由于它包含兩級運算，變式較多，學生理解掌握較為困難。針對難點，教師以建模為目標，引導學生從問題解決，到具體數據的討論，再上升到規律的發現與歸納，最終形成相應的數學模型，在此過程中培養學生的數學模型思想，幫助學生積累數學基本活動經驗。課的最后，師生一起回顧了整節課探究學習乘法分配律的全過程，梳理探究學習的一般過程和常用方法，學習方法的指導亦水到渠成，讓學生在以后的學習生活中，探索研究類似知識有了可參考的經驗和路徑。

（作者單位：江蘇省鹽城市新河實驗小學）