讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)自然生成

劉珊珊 劉敏敏

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達(dá)定理，韋達(dá)定理是代數(shù)中的一個(gè)重要定理。隨著學(xué)生年齡的增長和思維能力的提高，他們的邏輯推理能力也有了明顯的提高。因此在學(xué)習(xí)了一元二次方程概念和它的解法之后，讓學(xué)生自主探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系就水到渠成。徐建國老師執(zhí)教的“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”這節(jié)課，通過引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系，很好地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，創(chuàng)新的教學(xué)設(shè)計(jì)為定理教學(xué)起到了示范作用。整節(jié)課自然流暢、簡約深刻，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂上自然生成。下面對這節(jié)課中的幾個(gè)教學(xué)片段進(jìn)行賞析。

一、回顧舊知

師：同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的哪些解法？

生：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。

師：請你們說說解方程x2+4x-5=0可以用哪種方法。

生：配方法。

生：公式法。

生：因式分解法。

（教師在黑板上演示用三種方法解一元二次方程x2+4x-5=0）

師：你們覺得哪種解法最簡便呢？

生：因式分解法。

師：我個(gè)人也覺得因式分解法最優(yōu)。

師：（x+2）2-10（x+2）+25=0這道題怎么解方程的呢？

生：把x+2看成一個(gè)整體，用因式分解法。

生：先把一元二次方程化成一般形式，再用因式分解法。

師：那我們用這兩個(gè)同學(xué)說的方法來試一試。

教師在黑板上演示用兩種方法解方程（x+2）2-10（x+2）+25=0

師：第一個(gè)同學(xué)把x+2看成一個(gè)整體，這是數(shù)學(xué)里經(jīng)常用到的整體思想。

【賞析】教學(xué)中，徐老師演示三種不同的解方程的方法，既達(dá)到了復(fù)習(xí)這三種方法的目的，又讓學(xué)生直觀地感受到因式分解法是最優(yōu)的。兩道題放在一起，讓學(xué)生再一次感受到因式分解法的優(yōu)越性。同時(shí)，突出了整體思想在解一元二次方程中的重要作用。

二、學(xué)習(xí)新知

師：同學(xué)們，因式分解法包括哪些方法？

生：提公因式法、公式法、十字相乘法。

師：請大家用十字相乘法解下面4個(gè)一元二次方程：

（1）x2+5x+6=0;（2）x2+5x-6=0;

（3）x2-5x+6=0;（4）x2-5x-6=0。

（教師先用十字相乘法演示第一個(gè)題目并且強(qiáng)調(diào)答案是x=-2而不是x=2，再請三個(gè)同學(xué)在黑板上進(jìn)行演算）

師：請大家想一想，x2______6x______5=0橫線上填“+”還是“-”，怎樣填也能夠用十字相乘法？

（學(xué)生展開討論，最后教師指出可能的填法是x2+6x+5=0、x2+6x-5=0、x2-6x-5=0、x2-6x+5=0。但只有x2+6x+5=0和x2-6x+5=0能用十字相乘法）

師：觀察x2+4x-5=0、x2+5x-6=0、x2-6x+5=0這3個(gè)方程，它們的解有什么共同特點(diǎn)？

生：它們都有一個(gè)解是x=1。

師：這3個(gè)一元二次方程的系數(shù)有什么關(guān)系呢？

（學(xué)生激烈地討論起來，歸納得出一元二次方程的3個(gè)系數(shù)相加為0時(shí)，一定有一個(gè)解為1。即若a+b+c=0，則ax2+bx+c=0必有一根x=1。學(xué)生自行驗(yàn)證，教師再板書）

師：既然“若a+b+c=0，則ax2+bx+c=0必有一根x=1”，那另外一根是多少呢？

師：用公式法求得ax2+bx+c=0的兩根分別為x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a。推導(dǎo)得出x1+x2=-ba，x1x2=ca。

所以如果一根為1，那么另外一根是ca。

【賞析】在教學(xué)中，徐老師把相似的4個(gè)一元二次方程放在一起，讓學(xué)生帶著“好玩”的心態(tài)解答這4道題，緊接著又給出一個(gè)承前啟后的問題，讓學(xué)生去思考如何填“+”或者“-”才能用十字相乘法來解答問題。徐老師指出在黑板上有3個(gè)方程都有一個(gè)根是1，再次把學(xué)生的注意力吸引過去，帶著這個(gè)問題師生共同得出“若a+b+c=0，則ax2+bx+c=0必有一根x=1”的結(jié)論。既然知道一根為1，那么學(xué)生當(dāng)然想揭開另外一根的神秘面紗。所以，就很自然地推導(dǎo)出了兩根之和、兩根之積的公式。

三、提出概念

師：我們稱x1+x2=-ba、x1x2=ca為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系或者是韋達(dá)定理。韋達(dá)是法國16世紀(jì)頗有影響的數(shù)學(xué)家之一，他第一個(gè)引進(jìn)系統(tǒng)的代數(shù)符號，并對方程論做了改進(jìn)。

師：韋達(dá)是法國的業(yè)余數(shù)學(xué)家。我們很多定理都由發(fā)現(xiàn)該定理的人命名。如果我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)定理那應(yīng)該叫什么？

……

【賞析】“如果我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)定理那應(yīng)該叫什么”，徐老師的問題讓課堂氛圍再次活躍起來。徐老師從韋達(dá)的生平介紹中增添了數(shù)學(xué)本身的文化內(nèi)涵，在探究韋達(dá)定理中讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)，彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的德育功能。

四、鞏固練習(xí)

師：上述4個(gè)一元二次方程中兩根之和、兩根之積分別為多少？

……

師：4x2-5x+6=0的兩根之和是多少？

生： 。

師：其實(shí)該方程并沒有根。

生：為什么呢？

師：請大家計(jì)算下這個(gè)方程的根的判別式Δ。

師：韋達(dá)定理應(yīng)該有個(gè)大前提Δ≥0。

……

【賞析】一開始學(xué)生還在質(zhì)疑，前面4個(gè)一元二次方程的題目已經(jīng)問了兩根之和、兩根之積分別是多少，再單獨(dú)列個(gè)方程來問是不是有點(diǎn)多余，后來學(xué)生才發(fā)現(xiàn)，原來自己也進(jìn)入了徐老師設(shè)計(jì)的“圈套”，由4x2-5x+6=0這道題來突出韋達(dá)定理的應(yīng)用前提是Δ≥0，這樣做令學(xué)生印象更加深刻。

徐老師的這節(jié)課讓我們收獲很多，看似漫不經(jīng)心的一個(gè)概念、一個(gè)問題、一道題目，其實(shí)都是精心設(shè)計(jì)好的，所有的教學(xué)過程都按照他所預(yù)設(shè)的情節(jié)發(fā)展。一堂課下來，知識容量很大，但學(xué)生并不覺得累，整節(jié)課跌宕起伏、扣人心弦。

（作者單位：江西省南昌市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 江西省南昌市盲校）