基于計算機的數學評價：PISA2021數學素養測評的啟示

張僑平　陳慕丹

【摘要】素養為本的數學教學重視培養學生的綜合能力。數學推理能力是學生數學核心素養的重要部分。即將開展的PISA2021數學素養測評，為我們在數學課堂落實發展學生數學素養，以及通過數學任務或問題的設計對數學素養進行評價提供借鑒和參考。同時，基于計算機的數學素養評價也能為我國新常態下的數學課堂教學提供一些啟示。

【關鍵詞】PISA2021數學素養;基于計算機的數學評價;數學推理

一、背景

經濟合作與發展組織（OECD：Organization for Economic Cooperation and Development）在1997年發起國際學生評價項目（Programme for Internation-al Student Assessment，以下簡稱PISA），旨在通過一種國際公認的衡量標準，測量世界范圍內15歲學生（大約是我國初中畢業年級）的閱讀、科學和數學三個學習領域的素養，自2000年起PISA每三年測試一次，每次聚焦三個領域中的一個主題。目前，PISA已逐漸發展成為最具國際影響力的大型教學評價項目之一。我國首次正式參加的是PI-SA2009，到目前為止已經參與了四次測試，在三個領域的成績均表現優異。最新的PISA2021將聚焦數學學科（因疫情關系推遲到2022年開展），主要采用基于計算機的數學評價模式（Computer-Based Assessment of Mathematics，以下簡稱CBAM）測量學生已有的數學知識以及學生在不同情境下運用數學推理和問題解決的能力。2020年在新冠疫情的影響下，大規模的線上教學給習慣于傳統面授教學的教師帶來壓力和挑戰。如何在線上教學或在今后線上線下混合教學的新常態中，培養和評估學生的數學素養已經成為目前國內外教育研究者和一線教師關注的焦點。本文在解讀PISA 2021數學框架的基礎上，從數學推理和問題解決過程、數學內容知識、情境三個方面結合具體的CBAM試題進行分析，闡釋其背后的設計思路和意圖，以期為我國當前培養學生的數學核心素養和進行相關測試題的編制提供啟示。

二、PISA2021數學框架

PISA2021數學框架將數學素養定義為個人進行數學推理的能力，以及通過公式表示、應用和解釋數學，從而解決一系列現實環境中問題的能力。它包含掌握數學中的概念、程序、事實，以及運用工具去描述、解釋和預測現實世界中的一些現象。它有助于個人作為具有建設性、參與性和反思性的21世紀的公民，了解數學在世界上所發揮的作用并做出有充分根據的判斷和決定。該框架將數學推理和三種問題解決的過程（即形成、應用、詮釋和評價）視為數學素養的核心，更加突出數學推理在問題解決和數學素養中的核心地位，并將數學內容劃分為數量、不確定性和數據、變化和關系以及空間和形狀四個領域。同以往框架相一致，將現實情境進一步解釋為包括個人、職業、社會和科學在內的四種情境。另外，PISA2021將八項21世紀技能融合到數學素養評估框架中，具體包括批判性思維，創造力，研究與探究，自我導向、主動和堅毅，信息使用，系統思維，交流，反思（見圖1），并指出在試題的編制中會滲透21世紀技能的相關內容。為進一步了解PISA2021數學框架，將從數學推理和問題解決過程、數學內容知識、情境三個方面對框架進行闡釋。

（一）數學推理和問題解決過程

推理是數學的基礎，教學生學會邏輯推理是學校數學課程的重要目標之一。學生只有具備良好的數學推理能力，才能真正領悟數學的真諦。PISA2021數學框架提出可以從以下六個方面培養學生的數學推理能力：（1）理解數量、數系和代數性質;（2）欣賞抽象性和符號表征，讓學生理解從特殊到一股的推理過程;（3）掌握數學結構和規律，讓學生學會類比;（4）認識數量之間的函數關系，讓學生了解變量間的相互關系;（5）應用數學模型，鼓勵學生學會對問題進行化簡，發現問題的核心要素;（6）理解變化是統計的核心，鼓勵學生用數據說話，并意識到結論的局限性。

數學推理充分體現了PISA2021所定義的數學素養的內涵，而數學問題是數學的心臟，學生的數學推理能力正是透過數學問題解決來實現。PI-SA2021數學框架將問題解決劃分為三個數學過程，首先是將實際問題轉化為數學問題，其次是應用數學概念、法則和原理得出結論，最后對所得數學結果進行詮釋、應用和評價。

數學推理和問題解決是PISA2021所界定的數學素養的組成部分，二者有相互重疊的部分，即問題解決的不同過程需要應用到數學推理;同時，數學推理不僅局限于現實世界的問題解決，還可以幫助學生從數量和邏輯的角度評估社會熱點議題信息的有效性。

（二）數學內容知識

現實世界中進行數學推理和問題解決需要借助一定的數學知識。PISA2021大致沿用了以往框架對數學內容四個領域的劃分（數量、不確定性和數據、變化和關系以及空間和形狀），該劃分反映數學的基本結構，涵蓋數學的整體領域，也契合學校的課程主線。

數量是數學中最基本且最常見的概念，而量化是基于數量描述和測量事物屬性的主要方法。在“數量”維度，數學素養主要體現在數感、數的多重表征、最優計算、心算、估計和評估結果的合理性等方面。

不確定性常常出現在對現實問題進行數學解析的過程中，概率和統計理論、數據表示和描述有助于分析和解決這一類問題?！安淮_定性和數據”維度的內容包括識別變量在現實世界中的重要性，對變化的事物和關系能夠以量化的方法處理，認識相關推論中的不確定性和誤差，形成、解釋并評估在不確定性存在的情況下得出的結論。

現實世界的事物之間存在相互關系，而不同的關系中又存在變化，“變化和關系”維度的內容涉及用適當的函數和方程對“變化和關系”進行建模，用符號表征和圖形表征建構、揭示和轉化不同的關系。

在現實世界中，空間和形狀隨處可見，數學素養在“空間和形狀”維度下體現為理解圖形、創建和閱讀地圖、轉換圖形、解讀三維場景以及構建形狀表征。值得注意的是，PISA2021特別強調上述四個數學內容類別下的四個主題：計算機模擬（數量）、條件決策（不確定性和數據）、增長現象（變化和關系）和幾何近似（空間和形狀）。

（三）問題情境

PISA2021提出，學會用數學解決不同情境下的問題是數學素養的重要體現之一，現實情境包括個人、職業、社會和科學在內的四種情境。個人情境聚焦個人及其家庭或同伴的活動，涵蓋食物準備、購物、游戲、健康、交通、娛樂、體育、旅行、日程安排和個人財務等情境。職業情境以工作領域為中心，涉及測量、成本計算和建筑材料訂購、工資單/會計、質量監控、調度/庫存、設計/架構以及與工作相關的決策等。社會情境更關注群體，包括投票制度、公共交通、政府、公共政策、人口統計、廣告、國家統計和經濟等方面?？茖W情境關注數學在自然世界中的應用以及與科學技術相關的問題和主題，包括天氣或氣候、生態學、醫學、空間科學、遺傳學、測量學等。

三、試題解析

從上述PISA2021數學框架的分析可以看出，數學素養更關注數學知識在現實世界中的應用，衡量個人在運用公式表示、應用數學知識和詮釋數學內涵以解決一系列現實環境中問題的能力。因此，基于數學素養的測評與以往傳統測評專注于課程內容不同，它需要為學生創設合理的真實情境，讓學生根據不同情境運用相應的數學知識進行數學推理和數學問題解決。

既然PISA2021數學素養測試題的設計以上述框架為基礎，那么數學素養框架中的組成元素在試題中又是如何呈現的呢？下面將以PISA2021數學框架中的試題“智能手機的使用（SMARTPHONEUSE）”為例（圖2～圖6），圍繞內容、過程、情境三個層面對試題進行分析。

PISA2021指出，在目前的職業生活中，使用計算機工具和數學素養具有相互依存的關系，基于計算機評價模式相較于紙筆測試更能滿足現實生活和21世紀的需求。

作為PISA2021主要評估工具，計算機的使用能夠為數學素養測評提供一系列發展機會，例如向學生展示真實世界的數據，給予學生進行自適應測評（根據學生的回答和早期的學習單元分數為他們提供更多的個性化測試單元組合，從而獲得學生詳細的學習表現）的機會，使測評更符合現代世界發展的趨勢，即從執行基本計算的需求轉變為由新技術驅動發展的新世界，個體在其中具有創造力和參與度，可以對自己和所生活的社會做出判斷和評估。

圖2到圖6展示了例題“智能手機的使用”的計算機測試界面截圖（其中Zed是虛構的國家Zedland的貨幣單位）。PISA將題目和問題數據以及圖表分別設置在屏幕的左右兩側以方便學生閱讀，不僅從視覺上吸引學生，還有助于學生理解題意。另外，基于計算機的測試可以為學生提供圖像及不同表征之間的鏈接，方便學生依據已有的變量估計未知的變量來解決問題。例如，在第二小題中（圖4），考生可以使用電子表格上方的按鈕對數據進行排序，以輔助答題。

值得注意的是，在例題中，所有計算機工具的使用都是為了滿足培養學生數學素養的需求，這使得計算機評估對于不熟悉使用計算機工具的學生來說也是友好的，不會影響他們解決數學問題。這是PISA測試利用計算機對學生進行有效評估的重要前提。

除此之外，本文分析的PISA2021例題“智能手機的使用”基于“社會”情境，關注不同國家人口數量及智能手機使用的問題，涉及“數量”和“變化和關系”兩個內容知識領域。

第一小題（圖3）考查學生對比例概念的掌握程度，要求學生選出使用智能手機的人數比例的表達式;第二小題（圖4）考查學生獲取圖表信息的能力，要求學生對人口數量和使用智能手機人數之間、人口數量和使用智能手機的人數比例之間的關系作初步判斷：第三小題（圖5和圖6）將人口數量、使用智能手機的人數比例和最低時薪視為變量，考查學生在研究變量間非線性函數關系過程中的數學推理能力，要求學生通過圖像提取信息，判斷變量間的相互關系并解釋原因。三個問題的難度和開放度逐漸遞增，前面的問題設置為學生解決后面的問題提供輔助，這也印證了“數量”與“變化和關系”維度的結合，同時凸顯了數量在數學中的基礎地位。

四、啟示

PISA2021數學框架在以往的PISA數學框架的基礎上，強調培養學生在問題解決過程中的數學推理能力，利用計算機工具讓學生體會數學問題中數據的變化以及理解變量之間的相互關系，進而從特殊到一般，遷移之前的學習經驗知識去解決其他問題。同時，PISA2021充分利用計算機學習工具的優勢，在數學題目中融合了視覺豐富的圖標等真實性情景信息，加強數學題目的真實性和趣味性，在吸引學生注意力的同時，提高學生在數學學習中的參與度，也達到培養學生數學素養的目的。除此之外，CBAM題目難度的設計規劃對于學生解題的引導作用也值得注意，比如，例題中的問題從易到難，問題的開放性逐漸增加，逐步引導學生運用推理進行解題，并在最后一小題中要求學生進行原因解釋，進而可以更準確地評估學生的學習表現。最后，要設計基于計算機評價的數學題目，關鍵要確保這些題目能持續地評價學生的數學素養，因此，設計者需要將無關的干擾因素維持在最低水平，例如讓學生避免受到與數學素養無關的因素（比如題目表達格式）的干擾，以此來保證學生用計算機進行測評和學習的過程能順利進行。PISA2021在試題編制中滲透了21世紀技能的相關內容，這些技能與我國當前發展學生核心素養的目標是一致的。因此，對PISA2021試題的分析，能對培養學生的數學核心素養以及進行相關評價有所借鑒和啟示。