含隱含條件的橢圓離心率范圍的求法探究

李恩斌

（四川省巴中市第二中學(xué) 四川·巴中 636000）

求離心率的范圍是高考高頻考點(diǎn)。其中求含隱含條件的離心率范圍問題對(duì)學(xué)生來說更是個(gè)難點(diǎn)。本文通過對(duì)一道經(jīng)典例題不同角度的分析、多解解法的探究，一方面說明如何求含隱含條件的橢圓的離心率的范圍問題，另一方面，讓學(xué)生從不同側(cè)面重溫基礎(chǔ)知識(shí)，看到知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，同時(shí)，解題思路的不同往往還滲透著不同的數(shù)學(xué)思想方法，可以使知識(shí)得到活化，融會(huì)貫通，而且可以開闊思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造思維等方面的能力及提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，充分發(fā)揮經(jīng)典例題在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的教育價(jià)值。

思路一：（根據(jù)橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的最大值為2c而求）

又由橢圓性質(zhì)：橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的最大值為2c知：

方法點(diǎn)睛：結(jié)論：“橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的最大值為2c”是隱含條件，往往學(xué)生不會(huì)挖掘。但實(shí)際上，此結(jié)論是學(xué)生在學(xué)習(xí)橢圓的性質(zhì)時(shí)應(yīng)掌握的知識(shí)點(diǎn)。

方法點(diǎn)睛：焦半徑取值范圍學(xué)生是熟悉的，但真要用來求范圍可能不會(huì)這么自覺。

思路三：（根據(jù)焦點(diǎn)三角形的最大角定理而求，定理：橢圓中，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所成的角，是橢圓上所有的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所成角中最大角）

方法點(diǎn)睛：“最大角定理”很容易理解，在應(yīng)用時(shí)由角的大小轉(zhuǎn)化線余弦的大小關(guān)系時(shí)，易忽略cos∠F1PF2≤1而致錯(cuò)。

思路四：（根據(jù)構(gòu)成三角形的條件求解）

由構(gòu)成△PF1F2(見上圖)條件得：

方法點(diǎn)睛：學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中，容易受“慣性思維”影響，總會(huì)把一些問題復(fù)雜化，卻忽略了更加簡(jiǎn)單的方法。構(gòu)成三角形的條件，對(duì)于解決某些含隱含條件的范圍問題有奇效。

由橢圓定義知：

方法點(diǎn)睛：定義或方程中往往隱含著一些要求和條件限制，這些要求和限制條件往往被我們忽視，而這些要求和限制條件往往是我們求解某些問題的依據(jù)。

思路六：（向量法并結(jié)合中線長(zhǎng)定理而求）

方法點(diǎn)睛：向量實(shí)質(zhì)上是使幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化的工具，它是溝通代數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容的橋梁之一。向量的三角形法則、向量的數(shù)量積是架起橋梁的基石。

思路七：（不等式絕對(duì)值公式法）

方法點(diǎn)睛：構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維方法，構(gòu)造法往往需要奇思妙解，對(duì)學(xué)生的“四能”和數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求很高。

在求含隱含條件的橢圓離心率范圍問題的教學(xué)過程中，注重結(jié)合相應(yīng)的內(nèi)容，落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”，樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動(dòng)的全過程。教學(xué)過程中讓學(xué)生主動(dòng)參與其中，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷失敗、嘗試成功，嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，不斷的探索還讓學(xué)生主動(dòng)探索的精神得到很好的發(fā)展。一題多解的目的在于思維的“多層次”，在于學(xué)生從多解中分析出解法的優(yōu)劣，獲得高水平的思維訓(xùn)練，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。如是這樣更有利于學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行更深層次的思考，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有積極的作用。