圓錐擺模型的拓展與變式

安徽 董廷燦

一、圓錐擺模型

1.結構特點：一根不可伸長的輕繩拴一個可視為質點的擺球，懸掛后在水平面內做勻速圓周運動，如圖1所示。

圖1

2.受力特點：運動中的小球受到重力和繩對小球的拉力作用，二者的合力提供小球做圓周運動所需的向心力。

3.運動參量：擺線的張力、轉動半徑、向心力、向心加速度、線速度、角速度、周期。

二、常規問題

【例題】如圖1所示，質量為m的小球用長為L的細線拴在天花板上的O點，現將小球拉開，使擺線L與豎直方向的夾角為θ，并使小球在水平面內做勻速圓周運動(這種運動通常稱為圓錐擺運動)。求：

(1)細線對小球的拉力大小；

(2)小球運動的線速度大小；

(3)小球做圓周運動的角速度及周期。

圖2

(2)根據牛頓第二定律得

【點評】解決本題的關鍵在于知道小球做圓周運動向心力的來源，并結合牛頓第二定律進行求解，難度不大。

【拓展】有兩根長度不同的輕質細線下面分別懸掛小球a、b，細線上端固定在同一點，若兩個小球繞同一豎直軸，在水平面內做勻速圓周運動，相對位置關系分別如下圖所示，在兩個擺球在運動過程中，小球a的角速度比小球b的角速度小的是

( )

A

B

C

D

三、變式

1.給圓周擺增加一個面的束縛

【變式1】如圖3所示，長為L的繩子下端連著一質量為m的小球，上端懸于天花板上，當把繩子拉直時，繩子與垂線的夾角θ=60°，此時小球靜止于光滑的水平桌面上。

圖3

【解析】(1)對小球受力分析，作出受力分析圖如圖4，根據牛頓第二定律得

圖4

mg=FN1+FT1cos60° ②

圖5

mg=FT2cosα④

聯立③④解得FT2=4mg

【變式2】如圖6所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為θ=30°，一條長為L的繩(質量不計)，一端固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質量為m的小物體(物體可看作質點)，物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動。

圖6

【解析】小球離開圓錐面的臨界條件為圓錐體對小球的支持力FN=0，如圖7所示，設此時小球的線速度為v0，則

圖7

(1)因為v1

FTcos30°+FNsin30°=mg

圖8

(2)因為v2>v0，小球離開圓錐面，對小球受力分析如圖9所示，有

圖9

【點評】變式2與題根相比，增加了一個外側面的束縛；分析受力、確定向心力來源、抓住小球不脫離錐面的臨界狀態、求出小球對圓錐面恰好無壓力時線速度的大小是解決本題的關鍵。解題時，需先求出物體剛要離開錐面時的線速度，此時支持力為零，根據牛頓第二定律求出該臨界線速度。當小球的線速度大于臨界線速度，則小球離開錐面；當小球的線速度小于臨界線速度，小球仍受到圓錐面支持力。

【變式3】將一個透明玻璃漏斗倒扣在水平桌面上，如圖10所示。OC⊥AB，∠BOC=53°，一條長為L(L

圖10

(1)小球的線速度v多大時，小球與漏斗之間剛好沒有擠壓；

【解析】(1)當小球與漏斗之間剛好沒有擠壓時，小球只受重力和繩的拉力，根據向心力方程有

(2)因為v1>v，小球擠壓漏斗，漏斗對小球的彈力FN≠0，設繩子拉力為FT。

豎直方向FTcos53°-FNsin53°=mg

解得FT=2mg

【點評】變式3與例題相比，增加了一個內側面的束縛；分析受力、確定向心力來源、抓住小球不脫離漏斗的臨界狀態、求解出小球對漏斗內側恰好無壓力時線速度的大小是解決本題的關鍵。解題時，需先求出物體剛要離開漏斗時的線速度，此時支持力為零，根據牛頓第二定律求出該臨界線速度。當小球的線速度大于臨界速度時，小球擠壓漏斗；當小球的線速度小于臨界速度時，小球脫離漏斗。

2.給圓周擺增加一條線的束縛

【變式4】如圖11所示，兩根輕繩同系一個質量m=0.1 kg 的小球，兩繩的另一端分別固定在軸上的A、B兩處，繩AC長L=2 m，當兩繩都拉直時，與軸的夾角分別為30°和45°，小球隨軸一起在水平面內做勻速圓周運動，g=10 m/s2。求：

圖11

(1)當AC、BC均處于拉直狀態，且BC繩拉力恰好為零時，小球的角速度為多少？

(2)當AC、BC均處于拉直狀態，且AC繩拉力恰好為零時，小球的角速度為多少？

(3)當小球的角速度為ω=4 rad/s時，上下兩根輕繩拉力各為多少？

【解析】(1)當恰好只有AC繩拉緊而BC繩拉直但無拉力時，根據牛頓第二定律可得

解得ω1≈2.4 rad/s

解得ω2≈3.16 rad/s

(3)由(1)(2)可知：當2.4 rad/s<ω<3.16 rad/s時兩繩均張緊。當ω=4 rad/s時，AC繩無拉力，BC繩與桿的夾角θ>45°。設此時BC與豎直方向的夾角為θ，對小球有

FBCcosθ=mg

FBCsinθ=mω2LBCsinθ

Lsin30°=LBCsin45°

聯立解得FBC≈2.3 N，FAC=0。

【點評】變式4與例題相比，小球多了一根懸線的束縛，但仍然做勻速圓周運動。當小球的轉速較小時，AC繩繃緊而BC繩松弛，當小球的轉速較大時，BC繩繃緊而AC繩松弛；當AC繩拉直但沒有力時，BC繩拉力的水平分力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求出此時的角速度，當BC繩拉直但沒有力時，AC繩子拉力的水平分力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求出角速度，當角速度處于兩者之間時，兩繩均張緊；當ω=4 rad/s時，BC繩子拉力的水平分力提供向心力，豎直方向分力之和與重力平衡，根據牛頓第二定律列式求解。

【變式5】如圖12所示，AC、BC兩根繩子系著一個質量為m=0.5 kg的小球，兩繩的A、B端分別固定在豎直轉動軸上，AC繩長L=2 m，兩繩都拉直時與軸的夾角分別為37°和53°，(sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10 m/s2)求：

圖12

(1)小球隨軸轉動的角速度ω=2.5 rad/s時，繩AC、BC的張力分別是多少？

(2)小球隨軸轉動的角速度ω=3.0 rad/s時，繩AC、BC的張力分別是多少？

【解析】(1)若BC繩子剛好伸直，則

解得ω0=2.5 rad/s

因為ω0=ω，所以BC繩子張力為0；根據牛頓第二定律，有

FACx=mω2Lsin37°=3.456 N

FACy=mg=5 N

(2)當ω=3.0 rad/s>ω0時，BC繩子是伸直的，根據牛頓第二定律，有

豎直方向FACcos37°-FBCcos53°=mg

水平方向FACsin37°+FBCsin53°=mω2Lsin37°

聯立解得FAC≈7.24 N，FBC≈1.32 N

【點評】變式5與變式4相比，BC繩子的懸點B由小球重心的上方變為下方，對應的臨界條件也有所不同。當小球的轉速較小時，AC繩子繃緊而BC繩子松弛，當小球的轉速較大時，兩根繩子均繃緊；解決本題的關鍵在于找出BC繩子恰好拉直的臨界狀態，然后根據牛頓第二定律列式求解。

【變式6】如圖13所示，AB為豎直轉軸，細繩AC和BC的結點C系一質量為m=2 kg的小球，其中BC=1 m，兩繩能承擔的最大拉力相等且為F=40 N，小球隨轉軸以一定的角速度轉動，AC和BC均拉直，此時∠ACB=53°，BC⊥AB，ABC能繞豎直軸AB勻速轉動，而C球在水平面內做勻速圓周運動(sin53°=0.8，cos53°=0.6，g=10 m/s2)(結果保留3位有效數字)，求：

圖13

(1)當BC繩剛好拉直時，角速度多大？

(2)當小球的角速度增大時，通過計算判斷AC和BC哪條繩先斷？當先斷的繩剛斷時，角速度多大？

(3)一條繩被拉斷后，為了讓小球能夠做圓周運動，則小球的最大線速度為多少？

【解析】(1)當BC繩剛好拉直時，小球受AC繩的拉力FAC和重力mg，對小球有：

水平方向FACcos53°=mω2·BC

豎直方向FACsin53°=mg

由以上方程解得ω≈2.73 rad/s

(3)當BC繩剛好拉直后，AC繩和BC繩上的拉力分別為FAC和FBC，對小球有：

豎直方向FACsin53°=mg

水平方向FBC+FACcos53°=mω2·BC

當小球的加速度增大時，繩AC的拉力FAC不變，繩BC的拉力FBC增大，所以繩BC先斷；由題意可知當FBC=F=40 N時，繩BC被拉斷，由以上方程化簡可得此時的角速度ω≈5.24 rad/s。

(3)當BC繩被拉斷后，設AC繩與豎直方向的夾角為α，則FACcosα=mg

由題意可知，FAC的最大值為FACmax=40 N

由以上方程可知α=60°，即當α=60°時，對應線速度最大，則

由幾何關系可知AC=1.25 m

由以上方程解得v=4.33 m/s

【點評】變式6與變式4、5相比，BC繩子的懸點B由小球重心的上、下兩側變為等高，對應的臨界條件也有所不同。當小球線速度增大時，BC逐漸被拉直，小球線速度增至BC剛被拉直時，對小球進行受力分析，合外力提供向心力，根據向心力公式求解角速度；線速度再增大些，FAC不變而FBC增大，所以BC繩先斷；當BC繩斷后，AC繩與豎直方向夾角α因離心運動而增大，當小球線速度再增大時，角α隨球速增大而增大，當AC也要被拉斷時，速度最大，根據向心力公式求解即可。

綜上所述，解決好圓錐擺問題的關鍵在于明確小球的運動情況、受力情況、臨界狀態，再結合牛頓運動定律、圓周運動知識進行求解。