注重數學思想方法 提升推理論證能力

貴州 胡道成

物理學是一門定量的精密科學，物理學的許多概念既有質的規定性，又往往表現為特定的可以測量和計算的物理量。物理學的基本定律與公式，正是物理量之間函數關系在一定條件下的規律性反映，這說明物理學和數學的關系極為密切。數學作為研究物理學的一種重要方法和工具，為物理學提供了描述物理概念和規律的簡潔、精確的表達式，促進了物理規律和理論的建立，為分析和解決具體的物理問題提供了運算工具。高考評價體系出臺后，原考試大綱中提出的“分析綜合能力和應用數學處理物理問題能力”的相關要求已融入到了“推理論證能力”之中，也就是“物理運算能力”現在已被“推理論證能力”所取代。在高考命題從“能力立意”轉變為“能力立意和素養導向”的背景下，高考二輪復習必須高度關注數學思想方法，只有順利跨越物理運算障礙，才能切實提升學生的推理論證能力。本文結合具體實例談談數學思想方法在物理推理論證過程中的應用，以期拋磚引玉。

一、用遞推法實現推理論證

遞推法在物理運算中經常被用來解決物體與物體發生多次相互作用后的問題。即當問題中涉及的相互作用過程較多、且有某種規律時，可根據相互作用的特點應用數學思想將所研究的問題進行歸納，然后找出通式，再根據通式進行推理論證，得出正確結論。具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結論，再根據多次作用的重復性和它們的共同點，把結論進行推廣，然后結合數學知識求解。用遞推法解題的關鍵是找出相鄰幾次作用的遞推關系式，所以不能盲目埋頭計算，而要善于抬頭思考，以便發現其中蘊含的基本規律，及時走出繁雜運算的泥潭。

【例1】(2020·全國卷Ⅱ·21)水平冰面上有一固定的豎直擋板，一滑冰運動員面對擋板靜止在冰面上，他把一質量為4.0 kg的靜止物塊以大小為5.0 m/s的速度沿與擋板垂直的方向推向擋板，運動員獲得退行速度；物塊與擋板彈性碰撞，速度反向，追上運動員時，運動員又把物塊推向擋板，使其再一次以大小為5.0 m/s的速度與擋板彈性碰撞?？偣步涍^8次這樣推物塊后，運動員退行速度的大小大于5.0 m/s，反彈的物塊不能再追上運動員，不計冰面的摩擦力，該運動員的質量可能為

( )

A.48 kg B.53 kg C.58 kg D.63 kg

【答案】BC

二、用圖像法通過數形結合實現推理論證

圖像作為一種重要的物理語言貫穿在整個物理學知識體系中。圖像作為信息的載體和處理信息的重要工具，能清晰地表達出各物理量之間的邏輯關系，反映物理量隨時間或空間的變化規律及發展趨勢，可以承載定量計算或定性與半定量分析類物理問題，歷來是高考命題的主要信息呈現方式，容易實現對學生理解能力、創新能力、推理能力的考查。近年來命題專家通過創設新情境而命制出一些學生從未見過的非常規圖像問題，以便在信息的提取與處理中考查學生的理解能力、創新能力與推理能力。備考對策是把圖像法作為一種重要的推理論證方法來看待，引導學生從以下幾個方面進行突破：一看軸(弄清坐標軸表示的物理量)，二看線(弄清物理量變化趨勢)，三看斜率(斜率的物理意義)，四看面(面積的物理意義)，五看截距(橫軸和縱軸上的交點)，六看點(圖線交點與轉折點)。從圖像中準確地提取有用信息，并與題目所給的具體物理情境和物理過程相對應，以便結合實際運用物理規律進行綜合分析，既重視定量計算，也重視定性和半定量分析，實現嚴密而快捷地推理論證。

【例2】(2020·全國卷Ⅰ·17)圖1(a)所示的電路中，K與L間接一智能電源，用以控制電容器C兩端的電壓UC。如果UC隨時間t的變化如圖1(b)所示，則下列描述電阻R兩端電壓UR隨時間t變化的圖像中，正確的是

( )

(a)

A

【答案】A

三、用一次函數處理實驗題的推理論證

【例3】某興趣小組設計如圖(b)所示的電路測金屬絲的電阻率和定值電阻的阻值。

(1)用螺旋測微器測量金屬絲的直徑如圖(a)所示，其讀數為________mm；

(a)

(2)請用筆畫線代替導線，按實驗電路圖(b)，完成圖(c)的實物連線；

圖4

四、用分類討論的數學思想來實現推理論證

近年來高考物理題出現了一些“結構不良”問題，由于試題的情境內容、初始條件、目標結論和解題途徑等具有一定的不明確性或開放性，或沒有足夠的信息來解決問題，這類試題需要學生充分利用思維的發散性和創造性，以物理知識為依據，對研究對象或過程形成猜想與假設并進行分類討論，從而使充滿不確定性的復雜問題得到清晰、完整、嚴密的解答，這樣既有利于引導學生深入了解物理現象，理解物理概念和規律，掌握物理公式的使用條件，同時還可以消除頭腦中的一些片面或錯誤的認識，以考查學生的物理想象能力和發散思維能力。在解決具體的物理問題時，一般可以從研究對象、已知條件、物理過程、物理狀態和所得結果等方面去進行分類討論，結合物理原理和規律對問題進行求解。

( )

圖5

【答案】C

圖6

五、利用三角形相關知識實現直觀、簡捷的推理論證

在高中物理解題過程中，常常要用到三角形的有關知識，如三角函數關系、勾股定理、正弦定理、余弦定理、矢量三角形、相似三角形，尤其處理矢量(力、速度、電場強度等)的合成與分解問題時，只有通過畫出矢量三角形圖示將問題直觀形象地展示出來，才能進行具體的分析與運算。常見的帶電粒子在電場和磁場中的運動問題、幾何光學問題、小船渡河問題、平拋運動(類平拋運動)問題、地面上接收衛星信號問題等都需要進行作圖，然后利用解三角形的方法結合相應的物理規律進行求解。熟練運用三角形知識解題具有直觀、簡捷的優點，矢量運算中的平行四邊形定則最終也會轉化為解三角形的問題，所以這是高考解題過程中最常用的數學方法，我們要高度重視三角形知識在物理解題中的靈活運用。

【例5】如圖7所示，在光滑定滑輪C正下方與C相距h的A處固定一電荷量為Q(Q>0)的點電荷，電荷量為+q的帶電小球B用絕緣細線拴著，細線跨過定滑輪，另一端用適當大小的力F拉住，使B處于靜止狀態，此時B與A點的距離為R，B和C之間的細線與AB垂直，BC長為L。若B所受的重力為G，緩慢拉動細線(始終保持B平衡)直到B接近A的正上方，靜電力常量為k，環境可視為真空，電荷量為Q的點電荷與B均可視為質點，則下列說法正確的是

( )

圖7

A.F逐漸減小

B.F逐漸增大

C.B受到的庫侖力大小不變

D.B受到的庫侖力逐漸增大

【答案】AC

圖8

六、應用導數求物理極值進行推理論證

應用導數求物理極值問題可以拓展學生的解題思路，開闊視野，展示物理和數學的密切關系，提高學生應用數學處理物理問題的能力，還可以體現數學學科的工具性和實用性，加強學科間的滲透，強化對物理運算能力的考查。而且有些題目不通過求導數根本無法解答，所以復習階段有必要引入一些用導數求物理極值的具體問題，以便學生能熟悉這種解題思路，提高學生的推理論證能力。

【例6】如圖9所示，豎直放置的光滑“T”形架上，物塊A、B分別套在水平桿和豎直桿上，且用一根長為L的不可伸長的輕繩相連，A、B質量相等且均可看作質點。開始時細繩水平伸直，A、B靜止?，F由靜止釋放B，則當物塊A運動到豎直桿位置的過程中，物塊B的最大速率為

( )

圖9

【答案】D

總之，數學思想方法是解決物理問題的基礎和關鍵。將數學知識熟練的應用到物理解題過程中是新高考對學生推理論證能力的必然要求，在二輪復習階段，教師有必要準備一些典型的、能充分體現數學思想方法在物理解題中應用的問題，通過教師的點撥、啟發引導讓學生積極地將數學知識應用到物理解題中，充分進行交流、討論、拓展思路，逐漸形成解決方案，基于證據和嚴密的推理得出結論。注重“對稱法”“逆向思維法”“假設法”“極值法”“討論法”“估算法”“近似法”等物理方法與數學思想方法的有機結合，建構起解決物理問題的基本思維圖式，有利于培養學生的創造性思維能力、物理運算能力和推理論證能力。

本文為2019年貴州教育科學規劃立項課題“核心素養視域下高中學生物理能力培養的實踐研究”(編號：2019B025)的課題研究成果之一。