用等溫分態公式 解決變質量問題

廣東 林東星

理想氣體狀態方程是歷年高考選考題必考的知識點，以計算題的方式出現。理想氣體狀態方程，通常都是以一定質量的氣體為研究對象。也就是說，對一定質量的氣體變化的過程進行分析，學生容易理解。但是，生活中又常有涉及氣體的變質量問題，學生不容易解決。例如2016年全國卷Ⅱ、2017年全國卷Ⅰ、2019年全國卷Ⅰ、2020年全國卷Ⅰ、2021年廣東省普通高考適應性測試卷中的熱學考題，都有涉及變質量問題。在解題中，學生如果能理解玻意耳定律等溫分態公式，并運用等溫分態公式解決問題，就能變得簡潔高效。學生也可以從中體驗到物理與生活息息相關，提高自身的核心素養。本文以試題為例，探討如何利用等溫分態公式，快速準確地解決理想氣體的變質量問題。

玻意耳定律是英國科學家玻意耳和法國科學家馬略特各自通過實驗發現的，即一定質量的某種氣體，在溫度不變的情況下，壓強P與體積V成反比，寫成公式pV=C，或者p1V1=p2V2，其中C為常量，p1、V1、p2、V2分別是該氣體在1、2兩個狀態的壓強、體積狀態參量。玻意耳定律只是理想氣體狀態方程一個方面的內容，而理想氣體狀態方程的另一種表達式為pV=nRT，其中：p為壓強，V為氣體體積，T為熱力學溫度，n為氣體的物質的量，R為摩爾氣體常數。因此，我們可以把一定質量的理想氣體，根據問題情境的需要，在溫度不變的情況下分成若干份不同狀態的氣體，推導出玻意耳定律等溫分態公式，即pV=n1RT+n2RT+n3RT+…+nnRT=p1V1+p2V2+p3V3+…+pnVn。該公式常被用于處理氣體的變質量問題，具體的問題情境一般分為三類：氣體分裝問題、充氣問題和放氣問題，本文在此分別加以分析與點評。

一、用等溫分態公式解決氣體分裝問題

(ⅰ)兩罐中氣體的壓強；

(ⅱ)甲罐中氣體的質量與甲罐中原有氣體的質量之比。

【解析】(ⅰ)常規解法：氣體發生等溫變化，對甲、乙兩罐中的氣體，可認為甲罐中原氣體由體積V變成3V，乙罐中原氣體體積由2V變成3V，則根據玻意耳定律分別有

pV=p1·3V

(ⅱ)常規解法：若調配后將甲罐中氣體再等溫壓縮到氣體原來的壓強為p，則p′V=pV′

等溫分態公式法：將甲罐中原有的氣體看成一個整體，調配的過程相當于將甲中原有的氣體分裝后壓強為p′，一部分氣體留在甲罐中，另一部分氣體調配到乙罐中，總體積變為V甲總。用等溫分態公式求解，即pV=p′·V甲總

【點評】相比于常規解法，學生用等溫分態公式法解題時，要會將變質量問題看成整體質量不變來處理。本題中，如果只看甲罐或者乙罐，那么單一罐中的氣體在調配的過程中，就是一個變質量問題。但是，如果能把甲罐和乙罐看成一個整體，從這個角度來思考，氣體整體的總質量卻是不變的，溫度也是保持不變的。只是分裝在不同罐中的原有氣體，有不同的壓強和體積。這就是氣體分裝問題，可以使用等溫分態公式求解。由此題可見，等溫分態公式雖然需要通過玻意耳定律推導而來，但直接被運用到等溫變質量的問題情境中，有一定的便利性，計算量少，不易出錯。

二、用等溫分態公式解決充氣問題

【例2】(2021·廣東省普通高考適應性測試卷)輪胎氣壓是行車安全的重要參數，某型號汽車輪胎容積V0為25 L，安全氣壓范圍為2.4～3.0 atm。汽車行駛一段時間后，發現胎壓下降到p1=2.0 atm，用車載氣泵給其充氣，氣泵每秒鐘注入0.5 L壓強為p0=1.0 atm的空氣。忽略輪胎容積與氣體溫度的變化。為使氣壓回到安全范圍求氣泵工作的時間范圍。

【解析】常規解法：已知汽車輪胎容積V0=25 L，發現胎壓下降到p1=2.0 atm，胎內空氣相當于壓強為p0=1.0 atm，體積為V1的空氣。根據玻意耳定律有

p1V0=p0V1

當氣泵給輪胎充氣到安全氣壓最小值pmin=2.4 atm時，胎內空氣相當于壓強為p0=1.0 atm，體積設為Vmin的空氣。根據玻意耳定律有pminV0=p0Vmin

由于氣泵每秒鐘注入ΔV=0.5 L，壓強為p0=1.0 atm的空氣，所以此充氣過程需要時間為

代入數據得tmin=20 s

當氣泵給輪胎充氣到安全氣壓最大值pmax=3.0 atm時，胎內空氣相當于壓強為p0=1.0 atm，體積設為Vmax的空氣。根據玻意耳定律有pmaxV0=p0Vmax

此充氣過程需要時間為

代入數據得tmax=50 s

因此，氣泵工作的時間范圍為20 s≤t≤50 s

等溫分態公式法：從輪胎外部向內部充氣的過程，設已知條件每秒鐘注入空氣體積V=0.5 L，氣泵工作t秒后輪胎內的壓強為p。充氣前后，由等溫分態公式有

p1V0+t·p0V=pV0

代入數據得p=0.02t+2 (atm)

由于安全氣壓范圍為2.4 atm≤p≤3.0 atm

代入解得氣泵工作的時間范圍為20 s≤t≤50 s

【點評】本題提供了給輪胎充氣這種常見的生活現象，讓學生思考如何應用物理知識解決生活中的問題。這體現了理論要運用到實踐當中的思想，讓學生形成科學的物理觀念和思維，體驗到物理與生活息息相關，從而提高自身的學科核心素養。對于充氣過程，學生容易陷入輪胎內氣體質量變大，不能對輪胎內空氣直接運用理想氣體狀態方程求解的困境中。但是，如果學生能夠將注入的空氣與輪胎內原有的空氣，看成一個整體，那么，變質量問題就可以轉變為一定質量的問題，學生再運用玻意耳定律等溫分態公式，就能快速準確地列方程求解。

【例3】(2019·全國卷Ⅰ)熱等靜壓設備廣泛用于材料加工中。該設備工作時，先在室溫下把惰性氣體用壓縮機壓入到一個預抽真空的爐腔中，然后爐腔升溫，利用高溫高氣壓環境對放入爐腔中的材料加工處理，改善其性能。一臺熱等靜壓設備的爐腔中某次放入固體材料后剩余的容積為0.13 m3，爐腔抽真空后，在室溫下用壓縮機將10瓶氬氣壓入到爐腔中。已知每瓶氬氣的容積為3.2×10-2m3，使用前瓶中氣體壓強為1.5×107Pa，使用后瓶中剩余氣體壓強為2.0×106Pa；室溫溫度為27℃。氬氣可視為理想氣體。

(ⅰ)求壓入氬氣后爐腔中氣體在室溫下的壓強；

(ⅱ)將壓入氬氣后的爐腔加熱到1 227℃，求此時爐腔中氣體的壓強。

【解析】(ⅰ)常規解法：設初始時每瓶氣體的體積為V0，壓強為p0；使用后氣瓶中剩余氣體的壓強為p1。假設體積為V0、壓強為p0的氣體壓強變為p1時，其體積膨脹為V1。由玻意耳定律得

p0V0=p1V1

被壓入到爐腔的氣體在室溫和p1條件下的體積為

V′=V1-V0

設10瓶氣體壓入完成后爐腔中氣體的壓強為p2，體積為V2。由玻意耳定律得

p2V2=10p1V′

聯立并代入數據得

p2=3.2×107Pa

等溫分態公式法：將10瓶氣體看成一個整體，部分氣體經過壓縮機壓入爐腔中，另外剩余部分留在10個氣瓶中。由等溫分態公式得

10p0V0=p2V2+10p1V0

代入數據得

p2=3.2×107Pa

結合第一問并代入數據得

p3=1.6×108Pa

【點評】本題第(1)問中，壓入氬氣的過程實際上就是充氣過程，充氣前、后兩個狀態，溫度都是室溫。因此，可以運用玻意耳定律、等溫分態公式。相比常規解法，學生運用等溫分態公式法，只需要列一個算式，即可解得問題答案，方便快捷，且不易算錯。特別是學生在考試過程中，能準確快速地解基礎題，提高做題效率，剩余足夠的時間，對于攻克難題，尤為重要。本題第(2)問是等容變化過程，體積保持不變，適用查理定律，顯然不滿足玻意耳定律、等溫分態公式的適用條件。

三、用等溫分態公式解決放氣問題

【例4】(2016·全國卷Ⅱ)一氧氣瓶的容積為0.08 m3，開始時瓶中氧氣的壓強為20個大氣壓。某實驗室每天消耗1個大氣壓的氧氣0.36 m3。當氧氣瓶中的壓強降低到2個大氣壓時，需重新充氣。若氧氣的溫度保持不變，求這瓶氧氣重新充氣前可供該實驗室使用多少天。

【解析】常規解法：設氧氣在開始時的壓強為20個大氣壓20p0，體積為V1，假設瓶中全部氧氣在2個大氣壓2p0下的體積為V2。由于氧氣的溫度保持不變，根據玻意耳定律得

20p0V1=2p0V2

用去的氧氣在2p0壓強下的體積為

V3=V2-V1

設這些用去的氧氣，在1個大氣壓p0下的體積為V0，根據玻意耳定律得

2p0V3=p0V0

每天消耗氧氣體積，設為ΔV，則用去的氧氣體積換算成可用的天數為

聯立并代入數據得

N=4(天)

等溫分態公式法：設氧氣可用的天數為N天，1個大氣壓為p0。由于瓶中原有的全部氧氣，最終變成為兩部分，即剩余在瓶中的氧氣和消耗掉的氧氣。消耗過程中，氧氣的溫度保持不變，由等溫分態公式有

20p0V1=2p0V1+p0N·ΔV

代入題給數據得N=4(天)

【點評】本題主要考查玻意耳定律的應用；學生使用常規解法解題，每一步都要明確研究的氣體是什么，并且找到該氣體在初末狀態下的體積、壓強等狀態參量，然后列方程求解。如果使用等溫分態公式解題，也要先明確研究的氣體，只不過要將瓶中原有的氧氣看成一個整體，最終變為兩部分。其中消耗氧氣可以看成放氣過程，而且題目中強調氧氣的溫度保持不變，即暗示該過程滿足玻意耳定律、等溫分態公式。對比兩種解法發現，等溫分態公式簡潔明了，是較為優化的解法。

【例5】(2017·全國卷Ⅰ)如圖，容積均為V的氣缸A、B下端有細管(容積可忽略)連通，閥門K2位于細管的中部，A、B的頂部各有一閥門K1、K3；B中有一可自由滑動的活塞(質量、體積均可忽略)。初始時，三個閥門均打開，活塞在B的底部；關閉K2、K3，通過K1給氣缸充氣，使A中的氣體壓強達到大氣壓p0的3倍后關閉K1。已知室溫為27℃，氣缸導熱。

(ⅰ)打開K2，求穩定時活塞上方氣體的體積和壓強；

(ⅱ)接著打開K3，求穩定時活塞的位置；

(ⅲ)再緩慢加熱氣缸內的氣體使其溫度升高20℃，求此時活塞下方氣體的壓強。

【解析】(ⅰ)設打開K2后，穩定時活塞上方氣體的壓強為p1，體積為V1。依題意可知，兩個氣缸內的氣體都經歷等溫變化過程。

常規解法：由玻意耳定律可知

對B中的氣體有p0V=p1V1

對A中的氣體有(3p0)V=p1(2V-V1)

等溫分態公式解法：打開K2后，就是A中氣體往B中充氣的過程，由玻意耳定律等溫分態公式，

對整體有：3p0V+p0V=p1·2V

對B中的氣體有：p0V=p1V1

(ⅱ)打開K3后，由(ⅰ)問可知，活塞會上升。設在活塞下方氣體與A中氣體的體積之和為V2(V2≤2V)時，活塞下方氣體壓強為p2，由玻意耳定律得

(3p0)V=p2V2

因此，打開K3后活塞上升直到B的頂部為止，此時

代入數據得p3=1.6p0

【點評】本題考查理想氣體的狀態方程，審題時要注意“氣缸導熱”這一條件，即第(ⅰ)小題所指的過程為等溫變化過程。對于本題而言，兩種解法列出來的方程，只有形式上的細微差別，優劣不分伯仲。所以說，對于封閉空間內的氣體，經過等溫變化后變成另外一個單一壓強狀態，用玻意耳定律常規表達式解題即可。在多種壓強、體積狀態的變質量問題中，使用等溫分態公式的優勢才比較明顯。

四、結束語

從以上列舉的五個例題中可以看到，等溫分態公式在解決氣體變質量問題時，具有方便快捷、簡潔明了、不易算錯等優勢，特別是在分裝氣體、充氣與放氣問題上。等溫分態公式實際上是玻意耳定律的內容，也是理想氣體狀態方程的內容。教師單獨提出來講解，讓學生練習相關題型，并在生活現象中加以運用，解釋生活現象，解決新問題。這樣，有助于學生認識理想氣體，形成物理觀念，鍛煉思維能力，提高物理核心素養。