借助板塊問題和彈簧問題區(qū)別功能關(guān)系和能量守恒定律

湖南 王經(jīng)天 劉湘中

在教師的教學(xué)過程中，不注重“功能關(guān)系”和“能量守恒定律”的辨析和對(duì)學(xué)生的規(guī)范要求，導(dǎo)致學(xué)生在利用“功能關(guān)系”或“能量守恒定律”建立方程時(shí)理論依據(jù)不清，列出的方程雜亂無章，教師在批改試卷或作業(yè)的過程中需對(duì)學(xué)生建立的方程進(jìn)行調(diào)整才能判斷學(xué)生建立的功能關(guān)系或能量守恒的方程是否正確，導(dǎo)致現(xiàn)狀的原因是學(xué)生無法分清“功能關(guān)系”和“能量守恒定律”，本文通過區(qū)別功能關(guān)系和能量守恒定律，讓學(xué)生在板塊問題和彈簧問題的體驗(yàn)中找到解決能量問題的基石，讓板塊和彈簧問題不再孤立。

一、理解功和能量變化的關(guān)系

1.理解功和能變化的因果關(guān)系

功是能量轉(zhuǎn)化的原因——“因”；能量轉(zhuǎn)化是力做功的結(jié)果——“果”。

2.理解力所做的功和能量變化的定量關(guān)系

①在概念上理解功和能的定量關(guān)系：功是能量轉(zhuǎn)化的量度——某個(gè)力做了多少功就會(huì)有多少能量從一種形式轉(zhuǎn)化為其他形式。

②借助功能關(guān)系示意圖在數(shù)值上理解功和能量間的定量關(guān)系，力所做的功既等于減少的能量又等于增加的能量。

③借助功能關(guān)系示意圖理解系統(tǒng)中減少的能量和增加的能量間的關(guān)系，對(duì)于某一能量守恒的系統(tǒng)，系統(tǒng)中減少的能量和增加的能量相等。

圖1

3.“尋因究果”理解功能關(guān)系式

圖2

學(xué)生初學(xué)之時(shí)，在用功能關(guān)系式解題時(shí)必須讓學(xué)生養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣，方程的左邊是力所做的功，方程的右邊是能量或能量的變化，這樣書寫方程才符合功是“因”、能量變化是“果”的邏輯關(guān)系。對(duì)于考查功能關(guān)系的選擇題通常采用“聲東擊西”的策略才能有的放矢。

( )

【答案】BD

【解析】根據(jù)功能關(guān)系可知，能量的變化是“果”，力做的功才是能量變化的“因”。處理這類問題的方法是“聲東擊西”，即在判斷能量的變化時(shí)，先放棄“果”的判斷，轉(zhuǎn)而先求解能量變化的“因”，即求出引起能量變化的力所做的功。

“因”依據(jù)“果”A.合力做的功為WF合=23mghWF合=ΔEk動(dòng)能增加了23mgh,所以A錯(cuò)誤B.電場(chǎng)力的做功為WF電=-13mghWF電=-ΔEp電電勢(shì)能增加了13mgh,所以B正確C.重力做的功為WG=mghWG=-ΔEp重重力勢(shì)能減少了mgh,所以C錯(cuò)誤D.除重力以外的力做的功為WF電=-13mghW除G、F彈=ΔE機(jī)械能減少了13mgh,所以D正確

【點(diǎn)評(píng)】“聲東擊西”——先“因”后“果”，水到渠成。

二、理解能量守恒定律

能量守恒定律的表達(dá)式之一：E減=E增(或E增=E減)。

在利用能量守恒定律解題時(shí)，分析所選的系統(tǒng)中減少的能量和增加的能量，把減少的能量放在方程的一邊，把增加的能量放在方程的另一邊，所建立的方程即為能量守恒定律的方程。

圖3

【點(diǎn)評(píng)】在方程的左邊是彈簧和物體A、B整體增加的能量，方程的右邊是彈簧和物體A、B整體減少的能量，因此建立方程的理論依據(jù)是能量守恒定律。

三、區(qū)別功能關(guān)系和能量守恒定律

對(duì)比【例1】和【例2】所建立的方程可知，用功能關(guān)系和能量守恒定律建立方程的區(qū)別是：用功能關(guān)系建立方程的時(shí)候，方程的左邊是力做的功，方程的右邊是能量的變化；而用能量守恒定律建立方程的時(shí)候，方程的一邊是系統(tǒng)內(nèi)減少的能量，另一邊是系統(tǒng)內(nèi)增加的能量。學(xué)生在初學(xué)之時(shí)，一定要按照功能關(guān)系式和能量守恒方程的區(qū)別養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣。

四、合理的選擇功能關(guān)系式和能量守恒定律處理問題

在所有的功能關(guān)系式中，動(dòng)能定理利用最廣，動(dòng)能定理對(duì)單個(gè)物體可用，對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)可能可用。有兩種情況不可用，在這兩種情況下恰恰利用能量守恒定律非常方便，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)動(dòng)能定理的不足之處完美的補(bǔ)充，動(dòng)能定理不可用的兩種情況如下：

【情形一】如圖4所示，質(zhì)量為M的長木板靜止在光滑的水平面上，一質(zhì)量為m的小物塊(可看成質(zhì)點(diǎn))以初速度v0滑上長木板的上表面，物塊和木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，經(jīng)過一段時(shí)間物塊和木板達(dá)到共同速度v，此過程中木塊的對(duì)地位移為x塊，木板的對(duì)地位移為x板，板塊之間的相對(duì)位移為d。

圖4

【情形二】如圖5所示，質(zhì)量為m的小球和輕質(zhì)彈簧連接在一起并處在壓縮狀態(tài)靜止在光滑的地面，左端緊靠墻壁，釋放小球讓彈簧恢復(fù)到原長。

圖5

【分析】對(duì)彈簧和小球組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)所受的合外力為墻壁對(duì)彈簧的支持力，支持力不做功，所以彈簧和小球組成的系統(tǒng)的合外力做功為零，根據(jù)動(dòng)能定理有系統(tǒng)的動(dòng)能不變，而實(shí)際上系統(tǒng)的動(dòng)能增加，由此可見對(duì)彈簧和小球組成的系統(tǒng)不能用動(dòng)能定理。但以彈簧和小球組成的系統(tǒng)可用能量守恒定律進(jìn)行分析，彈簧減少的彈性勢(shì)能等于小球增加的動(dòng)能，因此此處能量守恒定律給動(dòng)能定理做了完美的補(bǔ)充。

五、實(shí)現(xiàn)利用功能關(guān)系式和能量守恒解決問題的自由轉(zhuǎn)換

【例3】(多選)如圖6所示，一足夠長的木板在光滑的水平面上以速度v向右勻速運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)將質(zhì)量為m的物體豎直向下輕輕地放置在木板上的右端，已知物體m和木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，為保持木板的速度不變，須對(duì)木板施一水平向右的作用力F。從物體m放到木板上到它相對(duì)木板靜止的過程中，下列說法正確的是

( )

圖6

A.因摩擦產(chǎn)生的熱量為mv2

C.力F對(duì)木板做功的數(shù)值為mv2

D.力F對(duì)木板做功的數(shù)值為2mv2

【答案】BC

【解析】方法一：對(duì)木板和物塊整體，根據(jù)能量守恒定律建立方程。

方法二：分別隔離木板和物塊，根據(jù)動(dòng)能定理建立方程。

【點(diǎn)評(píng)】在【例3】中，板塊之間有摩擦且有相對(duì)滑動(dòng)，可單獨(dú)對(duì)木板或物塊使用動(dòng)能定理，但不可整體使用動(dòng)能定理，而對(duì)整體可用能量守恒定律建立能量守恒方程；在【例2】中，含有彈簧的問題，不能對(duì)彈簧和物體A、B整體使用動(dòng)能定理求解，但對(duì)彈簧和物體A、B整體采用能量守恒建立方程非常方便。利用功能關(guān)系式和能量守恒定律既各有所長又各有所短，合理選擇功能關(guān)系和能量守恒定律解題才能讓兩者和諧統(tǒng)一。

【例4】如圖7所示，不帶電物體A和帶電的物體B用跨過定滑輪的絕緣輕繩相連，A、B質(zhì)量分別為2m和m，勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定在水平面上，另一端與物體A相連，傾角為θ的斜面沿斜面向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，整個(gè)系統(tǒng)不計(jì)一切摩擦。開始時(shí)，物體B在沿斜面向上的外力F=3mgsinθ的作用下保持靜止且輕繩恰好伸直，然后撤去外力F，直到物體B獲得最大速度，且彈簧未超過彈性限度，求物體B獲得最大速度v時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能為多少？

圖7

【解析】對(duì)物體和彈簧連接在一起組成的系統(tǒng)，最好對(duì)物體和彈簧整體采用能量守恒定律建立方程處理；當(dāng)然也可以把物體隔離，分別對(duì)物體用動(dòng)能定理建立方程處理。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生面對(duì)涉及彈簧能量的問題時(shí)建議兩種方法都去嘗試使用，在熟練到一定程度時(shí)，可根據(jù)自己的喜好合理進(jìn)行對(duì)象的選擇及方法的選擇。

方法一：對(duì)彈簧、物體A和B組成的系統(tǒng)，根據(jù)能量守恒建立方程。

當(dāng)施加外力F時(shí)，對(duì)物體B分析可知

F-mgsinθ-F電=0

所以F電=2mgsinθ

當(dāng)撤去外力F后，在B獲得最大速度時(shí)有

kx=F電+mgsinθ

對(duì)彈簧、物體A和B組成的系統(tǒng)據(jù)能量守恒定律得

方法二：對(duì)物體A和B組成的系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)能定理建立方程。

對(duì)A和B組成的系統(tǒng)據(jù)動(dòng)能定理得

其中F電=2mgsinθ，WF彈=Epmax

六、“抓狀態(tài)建方程”找到利用功能關(guān)系式與能量守恒解決問題的基石

“抓狀態(tài)建方程”的內(nèi)涵：在具體應(yīng)用中，當(dāng)物體處在平衡狀態(tài)時(shí)，往往要對(duì)物體進(jìn)行受力分析建立力的平衡方程；當(dāng)物體處在加速狀態(tài)或處在某個(gè)特殊位置時(shí)，往往要對(duì)物體進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律建立加速度的方程。

功能關(guān)系和能量守恒肯定離不開力的做功，而功是過程量，因此在進(jìn)行功能分析的時(shí)候，離不開對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的過程分析，在對(duì)物體的受力及過程均分析清楚的情況下，才能合理的選擇功能關(guān)系式或建立能量守恒的方程。

【例6】如圖8所示，在傾角為30°的光滑斜面上，一輕質(zhì)彈簧兩端連接兩個(gè)質(zhì)量均為m=1 kg的物塊B和C。物塊C緊靠著擋板P，物塊B通過一跨過光滑定滑輪的輕質(zhì)細(xì)繩與質(zhì)量為m0=8 kg、可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A相連，與物塊B相連的細(xì)繩平行于斜面，小球A在外力作用下靜止在對(duì)應(yīng)圓心角為60°、半徑R=2 m的光滑圓弧軌道的最高點(diǎn)a處，此時(shí)細(xì)繩恰好伸直且無拉力，圓弧軌道的最低點(diǎn)b與光滑水平軌道bc相切。現(xiàn)由靜止釋放小球A，當(dāng)小球A滑至b點(diǎn)時(shí)，物塊B未到達(dá)a點(diǎn)，物塊C恰好離開擋板P。已知重力加速度g取10 m/s2，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，細(xì)繩不可伸長，定滑輪的大小不計(jì)。求：

圖8

(1)彈簧的勁度系數(shù)；

(2)在物塊C恰好離開擋板P瞬間，小球A的速度vA。

【解析】(1)彈簧的勁度系數(shù)k與彈簧的彈力相關(guān)聯(lián)，因此需對(duì)物體進(jìn)行受力分析，當(dāng)小球A位于a處時(shí)，物塊B處在平衡狀態(tài)，需對(duì)B建立平衡方程；當(dāng)小球A滑至b點(diǎn)時(shí)物塊C恰好離開擋板P，C的加速度為0，C處在平衡狀態(tài)，需對(duì)C建立平衡方程——“抓狀態(tài)建方程(抓平衡狀態(tài)建平衡方程)”

對(duì)B由力的平衡得kx=mgsin30°

對(duì)C由力的平衡得kx′=mgsin30°

由幾何關(guān)系知R=x+x′

將A在b處的速度分解有vAcos30°=vB

【點(diǎn)評(píng)】【例6】的第(1)問中抓平衡狀態(tài)建平衡方程，是“抓狀態(tài)建方程”的典型應(yīng)用。通過建立平衡方程后可明顯地看出彈簧的壓縮量x和伸長量x′相等，因此彈簧的彈性勢(shì)能在這兩個(gè)狀態(tài)相等，為第(2)問建立能量守恒方程(機(jī)械能相等)做好鋪墊。

【例7】(多選)如圖9所示，質(zhì)量分別為mA=2 kg，mB=1 kg 的兩個(gè)物塊中間連接有勁度系數(shù)為k=200 N/m的彈簧，整個(gè)裝置放在傾角為30°的光滑斜面上，斜面底端有固定擋板，對(duì)物體A施加一個(gè)沿斜面向下的大小為F=20 N的力，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，g=10 m/s2，突然撤去外力F后，則

( )

圖9

A.當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí)，物塊A沿斜面上升5 cm

B.當(dāng)物塊B剛要與擋板分離時(shí)，物塊A的加速度為a=7.5 m/s2

C.當(dāng)物塊B剛要與擋板分離時(shí)，物塊A克服重力做的功為1.75 J

D.物塊A和物塊B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

【答案】BC

【解析】當(dāng)力F作用在A上時(shí)，A處在靜止?fàn)顟B(tài)，需對(duì)A建立平衡方程mAgsinθ+F=kx1，解得x1=15 cm，所以A錯(cuò)誤；撤掉F后，當(dāng)物塊B剛要與擋板分離時(shí)，B的加速度為0，需對(duì)B建立平衡方程mBgsinθ=kx2，解得x2=2.5 cm；撤掉F后，當(dāng)物塊B剛要與擋板分離時(shí)，A有加速度，需對(duì)A建立牛頓第二定律kx2+mAgsinθ=mAa，解得a=7.5 m/s2，所以B正確；WGA=mAg(x1+x2)=1.75 J，所以C正確；對(duì)彈簧、物塊A和B組成的系統(tǒng)：在撤掉外力F后系統(tǒng)的總能量守恒，彈簧的彈性勢(shì)能在變化，所以物塊A、B組成的系統(tǒng)的機(jī)械能也在變化，所以D錯(cuò)誤。

【點(diǎn)評(píng)】通過“抓狀態(tài)建方程”的應(yīng)用，逐步讓學(xué)生對(duì)特殊狀態(tài)產(chǎn)生一定的敏銳性，為解決能量問題做好應(yīng)有的鋪墊，所以“抓狀態(tài)建方程”是利用功能關(guān)系與能量守恒定律解決問題的基石。

板塊問題和彈簧問題是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的疑難點(diǎn)，功能關(guān)系和能量守恒定律也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的疑難點(diǎn)，本文先從理論上辨析了功能關(guān)系式和能量守恒定律的區(qū)別，再以板塊模型和彈簧模型構(gòu)建情景，讓學(xué)生在使用功能關(guān)系式和能量守恒定律解決問題的直接體驗(yàn)中，對(duì)不同的研究對(duì)象，學(xué)會(huì)合理的選擇功能關(guān)系式和能量守恒定律，并通過“抓狀態(tài)建方程”的應(yīng)用，力求讓學(xué)生找到功能關(guān)系和能量守恒的基石，同時(shí)讓板塊問題和彈簧問題不再孤立。