選對方法 速解動態平衡問題

新疆 劉杭州 宋書婷

力學動態平衡問題是高中物理中的難點之一，多數題目都可一題多解，選取恰當的方法是快速解題的關鍵。通過分析典型例題，歸納總結動態平衡問題解題方法的選取特點，使學生做到“舉一反三、見題想法”，為該類問題提供教學思路。

力學動態平衡是指平衡問題中的一部分力是變力，是動態力，力的大小和方向均要發生變化。動態平衡類問題的題眼是“緩慢”變化，最常見的是三個力作用下的平衡問題。主要類型有：“一力恒定，一力方向不變”問題、“一力恒定，兩力大小方向都變”問題、“菱形動態平衡”問題等。解題的主要方法有：解析法、拉密定理法(正弦定理法)、平行四邊形法、矢量三角形法、相似三角形法、輔助圓法、特殊位置法等。引導學生依據不同物理環境的特征選取適合的方法是教學的主要內容。

1 “一力恒定，一力方向不變”問題

“一力恒定，一力方向不變”問題可選取的主要方法有解析法、平行四邊形法、矢量三角形法。多數問題三個方法均可選取，值得注意的是教學過程中多數教師更加偏愛圖解法，因為圖解法更加直觀、有效，故一般選取平行四邊形法和矢量三角形法。

1.1 平行四邊形法

平行四邊形法是指在動態平衡問題中通過多次構建平行四邊形的方式判斷動態力的變化情況。選取特征為：在“一力恒定，一力方向不變”問題中，若便于受力分析，易構建平行四邊形(如有繩子參與)的問題。

【例1】質量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上，用水平力F拉著繩的中點O，使OA段繩偏離豎直方向一定角度，如圖1所示。設繩OA段拉力的大小為FT，若保持O點位置不變，則當力F的方向順時針緩慢旋轉至豎直方向的過程中

( )

A.F先變大后變小，FT逐漸變小

B.F先變大后變小，FT逐漸變大

C.F先變小后變大，FT逐漸變小

D.F先變小后變大，FT逐漸變大

圖1

【答案】C

【解析】對結點O進行受力分析，結點位置不變，FTOB=G恒定，FT的方向不變，應用平行四邊形法多次構建平行四邊形，如圖2，顯然F先變大后變小，FT逐漸變小，ABD錯誤，C正確。

圖2

1.2 矢量三角形法

矢量三角法是指在動態平衡問題中通過多次構建矢量三角形的方式判斷動態力的變化情況。選取特征為：在“一力恒定，一力方向不變”問題中，若不便于直接受力分析，構建平行四邊形繁瑣，尤其是求極值問題。

【例2】如圖3所示，重為mg的水桶用細繩懸掛在門楣上，一人將水桶拉起使細繩與豎直方向的夾角為30°且細繩繃緊，則人對水桶施加的作用力可能為

( )

圖3

【答案】AD

圖4

2 “一力恒定，兩力大小方向都變”問題

“一力恒定，兩力大小方向都變”問題可選取的主要方法有：解析法、拉密定理法(正弦定理法)、相似三角形法、輔助圓法、特殊位置法等。由于兩個力的大小和方向都發生了變化，故通過構建平行四邊形和矢量三角形直接得到動態力的變化十分困難，需要一些輔助，如尋找幾何關系，加入輔助圓等。

2.1 解析法

解析法是指通過合成或分解，應用三角函數表示出動態力的大小，通過判斷角度對應的三角函數的變化來判斷動態力的變化。選取特征為：在始終為直角三角形的動態平衡問題中，變力對應的角度變化明確，尤其是兩個力大小方向都變的問題。

【例3】一只甲蟲沿著近似為圓弧的樹枝緩慢地從A點爬到B點，此過程中樹枝對甲蟲支持力大小

( )

A.變大 B.變小

C.保持不變 D.無法判斷

圖5

【答案】B

【解析】甲蟲在緩慢運動過程中，受到的支持力和摩擦力為變力，大小和方向都變，但二者始終垂直，故可用解析法解決，如圖6所示，支持力FN=Gcosθ，顯然θ增大，支持力變小，B正確，ACD錯誤。

圖6

2.2 相似三角形法

相似三角形法是指受力分析后構建的平行四邊形中力構成的三角形和變化過程物理環境中的三角形為相似三角形，通過判斷物理環境中三角形的變化來判斷動態力的變化情況。選取特征：在“一力恒定，兩力大小、方向都變”問題中，如研究對象做圓周運動，且有明顯的相似關系。

【例4】如圖7所示，固定在豎直平面內的光滑圓環的最高點有一個光滑的小孔，質量為m的小球套在圓環上。一根細線的下端系著小球，上端穿過小孔用手拉住。現拉動細線，使小球沿圓環緩慢上移，在移動過程中手對線的拉力F和軌道對小球的彈力FN的大小變化情況是

( )

圖7

A.F不變，FN增大 B.F減小，FN不變

C.F不變，FN減小 D.F增大，FN減小

【答案】B

圖8

2.3 輔助圓法、拉密定理法、特殊位置法

輔助圓法是在矢量三角形的基礎上畫出外接圓，通過圓的內接矢量三角形邊長的變化判斷動態力的變化。拉密定理法是指用拉密定理判斷動態力的變化。特殊位置法是指選取動態變化過程中的一些特殊位置進行多次受力分析構建平行四邊形或矢量三角形判斷動態力的變化。選取特征：以上三種方法一般只用于兩個變力夾角不變的情況。

【例5】如圖9所示，水平橫桿的一端通過鉸鏈連接在墻上的P點，細繩AO、BO和OC吊起重物Q，已知∠ABO=60°，∠BAO=25°，在橫桿繞P點在豎直平面內從水平位置逆時針緩慢轉動45°的過程中，以下說法正確的是

( )

圖9

A.細繩BO受到的拉力逐漸減小

B.細繩BO受到的拉力逐漸增大

C.細繩AO受到的拉力先減小后增大

D.細繩AO受到的拉力逐漸增大

【答案】AD

【解析】在橫桿轉動過程中，∠AOB不變，可以選用輔助圓法、拉密定理法、特殊位置法。

輔助圓法：設∠AOB=θ，則輔助圓如圖10。橫桿轉動45°的過程中，顯然細繩BO受到的拉力逐漸減小，細繩AO受到的拉力逐漸增大，AD正確，BC錯誤。

圖10

圖11

特殊位置法：對特殊位置做標準的平行四邊形同樣可以得到相同的答案。

3 “菱形動態平衡”問題

圖12

圖13

【例6】一物塊用輕繩AB懸掛于天花板上，用力F拉住套在輕繩上的光滑小圓環O(圓環質量忽略不計)，系統在圖14所示位置處于靜止狀態，此時輕繩OA與豎直方向的夾角為α，力F與豎直方向的夾角為β。當緩慢拉動圓環使α(0°<α<90°)增大時

( )

A.F變大，β變大 B.F變大，β變小

C.F變小，β變大 D.F變小，β變小

圖14

【答案】B

4 結語

動態平衡問題技巧性強，需通過對典型例題的分析，加深學生對解題方法的理解。通過分析使學生理解不同方法的選取特征，做到“見題想法”、“舉一反三”，提升學生的解題能力。