微凸體對(duì)直齒輪接觸特性及疲勞壽命影響分析

李 智， 吳勝利*， 簡曉春， 劉啟坤， 邢文婷

(1.重慶交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院， 重慶 400074； 2.重慶工商大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院， 重慶 400067)

齒輪傳動(dòng)被廣泛應(yīng)用于航空航天、高鐵、輕軌、艦船以及精密機(jī)床等重要裝備，齒面缺陷嚴(yán)重影響傳遞精度。在交變載荷作用下，齒面不可避免的產(chǎn)生接觸疲勞，并萌生裂紋等缺陷。尤其粗糙齒面微凸體接觸對(duì)齒輪接觸疲勞的影響更是不可忽略。因此，亟需通過對(duì)微凸體參數(shù)的研究，揭示其對(duì)裂紋萌生機(jī)理，為進(jìn)一步開展疲勞壽命的影響研究詳實(shí)的理論依據(jù)和數(shù)據(jù)支撐。

粗糙表面間接觸疲勞的研究以微觀表面微凸體的研究及疲勞裂紋萌生方面為主，中外學(xué)者進(jìn)行了許多研究。卞榮等[1]、賀治成等[2]對(duì)單粗糙峰，及粗糙峰粗糙谷對(duì)彈流潤滑影響進(jìn)行了研究；郭嘉楠等[3]建立了一種兼顧能量損失和粗糙接觸面動(dòng)力學(xué)特性的碰撞模型，并考慮了接觸面形貌的影響，分析了粗糙度等因素對(duì)接觸碰撞力的影響規(guī)律；李文廣等[4]通過實(shí)際測(cè)量獲得粗糙度數(shù)據(jù)再生成粗糙度函數(shù)模型；李玲等[5]研究了含有硬涂層的粗糙表面中微凸體和基體變形對(duì)表面微觀接觸特性的影響規(guī)律，通過與Hertz模型、有限元分析結(jié)果比較驗(yàn)證了新模型的正確性；Guilbault等[6]提出了一種統(tǒng)計(jì)公式來描述在混合潤滑下由磨損和塑性變形引起的粗糙形狀的演變，建立了粗糙應(yīng)變硬化模型，并對(duì)接觸裂紋萌生進(jìn)行了預(yù)測(cè)；Wang等[7]提出粗糙面測(cè)量點(diǎn)之間形狀的可能諧波狀態(tài)，提出了一種新的有限元接觸模型，研究了在法向載荷和法向和切向載荷作用下，粗糙表面參數(shù)對(duì)接觸性能的影響；戴翎等[8]基于Zaretsky接觸疲勞壽命計(jì)算模型，計(jì)算了不同速度工況下光滑和粗糙表面從嚙入到嚙出的齒面接觸壽命。

目前研究主要通過建立單微凸體與剛性平面接觸模型，粗糙表面與光滑表面接觸模型，研究單微凸體對(duì)彈流潤滑的影響，微凸體變形量對(duì)微凸體接觸剛度和接觸載荷的影響。缺少微凸體結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)接觸特性影響規(guī)律的研究。為此，基于Hertz接觸理論建立微凸體法向接觸模型，結(jié)合粗糙表面形貌的Greenwood-Williamson統(tǒng)計(jì)模型建立粗糙表面接觸模型。分析了接觸界面微凸體曲率半徑和高度對(duì)齒輪表面接觸特性的影響。通過與文獻(xiàn)[9]模型結(jié)果和有限元模型對(duì)比驗(yàn)證了模型的正確性。并根據(jù)Smith-Watson-Topper公式對(duì)齒輪初始接觸疲勞壽命進(jìn)行預(yù)估，為合理設(shè)計(jì)齒輪表面參數(shù)提高齒輪接觸疲勞壽命提供了理論依據(jù)。

1 單微凸體接觸模型

1.1 微凸體接觸微觀模型

圖1為不同頂點(diǎn)曲率的單微凸體接觸模型，可得在無摩擦?xí)r，根據(jù)Briscoe[10]接觸理論微凸體彈性接觸半徑ra[圖1(b)]可表示為

圖1 微凸體接觸模型

(1)

式(1)中：E*為微凸體復(fù)合彈性模量；F為微凸體接觸力；R為兩微凸體等效曲率半徑。

兩微凸體接觸變形量w可表示為

(2)

由式(1)、式(2)可得

(3)

微凸體接觸力F可表示為

(4)

微凸體接觸應(yīng)力計(jì)算公式為

(5)

式(5)中：r為接觸半徑；σmax為最大接觸應(yīng)力，其計(jì)算公式為

(6)

當(dāng)微凸體處于彈性變形向彈塑性變形轉(zhuǎn)變時(shí)的臨界變形量為[11]

(7)

式(7)中：k為硬度系數(shù)，k=0.454+0.41v，其中v為泊松比，取值為0.3；H為材料的接觸硬度，取值為4.7 GP。引入開始出現(xiàn)塑性變形時(shí)的相對(duì)變形量，即臨界變形量wc，當(dāng)wwc時(shí)，微凸體發(fā)生彈塑性變形。

圖1(b)中，假設(shè)微凸體接觸區(qū)域由內(nèi)圓半徑為rp的塑性區(qū)和外圓寬度為(ra-rp)的圓環(huán)內(nèi)彈性區(qū)兩部分組成[12]。

塑性區(qū)域rp內(nèi)塑性載荷FTp的表達(dá)式為

(8)

式(8)中：σp為內(nèi)圈塑性區(qū)域接觸應(yīng)力。

外圈彈性區(qū)域載荷FTe為

(9)

則接觸總載荷FT為彈性載荷與塑性載荷的合力，其表達(dá)式為

(10)

根據(jù)式(4)、式(5)得正接觸狀態(tài)下，微凸體接觸區(qū)的彈塑性法向接觸應(yīng)力為

(11)

將式(3)代入式(11)中可得微凸體等效曲率半徑R和接觸變形量w與接觸應(yīng)力的關(guān)系為

(12)

1.2 粗糙齒面接觸模型

Greenwood等[13]通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)大多數(shù)表面微凸體高度都服從正太分布，特別是經(jīng)過噴丸處理的表面非常近似正態(tài)分布。并分析了一個(gè)光滑剛性平面與名義上平坦的粗糙表面之間的接觸，稱為G-W(Greenwood-Williamson)模型，如圖2所示。

圖2 隨機(jī)粗糙表面與剛性光滑平面接觸

假設(shè)齒輪嚙合齒寬上微凸體面密度為η，齒輪齒寬為b，名義接觸寬度為a0。名義接觸寬度是指由于表面微凸體的存在，導(dǎo)致齒面嚙合時(shí)不是完全的線接觸，而是在有一定寬度的微小接觸面內(nèi)接觸，此寬度定義為名義接觸寬度。當(dāng)表面間距為h時(shí)，微凸體高度為z則期望進(jìn)入接觸的微凸體數(shù)量n可表示為[13]

(13)

式(13)中：h為接觸表面間距；φ(z)為表面微凸體高度分布的概率密度函數(shù)，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯分布的概率密度函數(shù)，其表達(dá)式為

(14)

當(dāng)微凸體高度z超出了接觸表面間距h時(shí)，頂點(diǎn)壓縮量為w=(z-h)，若參與接觸的微凸體數(shù)量為n，則實(shí)際接觸面積A可表示為

(15)

由微凸體彈性變形量與外載荷關(guān)系可以得微凸體參與接觸總的載荷為

(16)

由式(15)、式(16)得平均應(yīng)力為

(17)

2 模型結(jié)果驗(yàn)證

2.1 單微凸體模型驗(yàn)證

為便于比較，對(duì)模型進(jìn)行無量綱化。即無量綱接觸載荷F*=F/Fc，無量綱相對(duì)變形δ*=w/wc，其中Fc為開始出現(xiàn)塑性變形時(shí)的接觸載荷。

隨載荷的增加，兩微凸體相對(duì)變形量隨之增大，如圖3所示，本文模型與文獻(xiàn)[9]模型都具有較好的單調(diào)性。而在Zhao等[14]提出的在臨界點(diǎn)滿足連續(xù)性和光滑性要求的法向接觸模型簡稱(MZMC模型)中，相對(duì)變形量在δ*=6、110時(shí)不單調(diào)，認(rèn)為δ*=6時(shí)接觸表面首次達(dá)到彈性極限，而在δ*=110時(shí)接觸表面將完全變?yōu)樗苄越佑|。

圖3 單微凸體彈塑性接觸載荷與相對(duì)變形量

文獻(xiàn)[9]模型為滿足微凸體在完全彈性-彈塑性-完全塑性的不同接觸之間變化的連續(xù)、光滑和單調(diào)性，進(jìn)行了復(fù)雜煩瑣的計(jì)算，增加了多個(gè)需要求解的系數(shù)，并且不便于對(duì)微凸體參數(shù)所造成的影響進(jìn)行分析。本文模型簡化了對(duì)接觸面積的求解，突出表達(dá)微凸體參數(shù)對(duì)接觸載荷和接觸應(yīng)力的直接關(guān)系。為分析微凸體參數(shù)造成的影響提供了正確且更為簡單的求解方法。

2.2 粗糙齒面模型驗(yàn)證

選用一對(duì)45號(hào)鍛鋼材料磨削工藝處理漸開線直齒輪嚙合模型，數(shù)值計(jì)算參數(shù)，如表1所示。

根據(jù)模型所得平均應(yīng)力計(jì)算公式[式(17)]可以看出，當(dāng)齒輪表面微凸體曲率半徑一定時(shí)，載荷相同時(shí)增加齒輪接觸表面微凸體高度z，會(huì)使齒輪表面平均應(yīng)力增加。計(jì)算了一組表面微凸體高度z為0.08、0.16、0.32 μm接觸應(yīng)力，如表2所示。并用有限元模型對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

為了驗(yàn)證表2中計(jì)算結(jié)果正確性，根據(jù)表1數(shù)值計(jì)算所用的齒輪嚙合模型數(shù)據(jù)，在ANSYS APDL中首先建齒輪接觸有限元模型，如圖4所示。對(duì)齒輪應(yīng)力進(jìn)行接觸應(yīng)力分析，確定齒輪的最大接觸應(yīng)力值和相應(yīng)的嚙合位置。

再建立剛性平面與等效曲率半徑的微凸體表面接觸模型，采用等效曲率半徑相同設(shè)置微凸體高度z為0.08、0.16、0.32 μm有限元模型，采用C3D8R單元對(duì)粗糙微凸體進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，進(jìn)行微凸表面與剛性平面的接觸仿真分析。預(yù)施加適當(dāng)?shù)奈灰戚d荷并將載荷逐步調(diào)大，防止位移過大導(dǎo)致計(jì)算不能收斂，根據(jù)文獻(xiàn)[14]鋼質(zhì)表面微凸體變形量在δ*=6時(shí)開始產(chǎn)生塑性變形，而實(shí)際齒面雖為非彈性接觸，但是正常工作載荷常以彈性變形為主，發(fā)生塑性變形較小，故在對(duì)粗糙齒面進(jìn)行有限元分析時(shí)施加的位移載荷控制在10wc以內(nèi)為宜。表面微凸體位置的設(shè)置，如圖5所示。

得到的馮·米塞斯應(yīng)力分布云圖，如圖6所示。且微凸體接觸模型所得結(jié)果與齒輪嚙合模型所得應(yīng)力基本一致。圖6(a)、圖6(b)、圖6(c)分別為嚙合點(diǎn)處3 mm的范圍，微凸體高度z分別為0.08、0.16、0.32 μm時(shí)所受到的應(yīng)力分布。其結(jié)果顯示當(dāng)受到相同的載荷是與數(shù)值計(jì)算模型所結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算模型的正確性。進(jìn)行了不同高度微凸體的有限元仿真，為微凸體高度對(duì)初始裂紋源形成部位的影響分析提供了依據(jù)。

圖6 粗糙峰值對(duì)最大剪切應(yīng)力影響

3 微凸體參數(shù)對(duì)接觸應(yīng)力影響分析

3.1 微凸體曲率半徑對(duì)接觸應(yīng)力的影響

兩微凸體曲率半徑越大所得等效曲率半徑也越大，由式(3)得當(dāng)變形量w一定時(shí)，等效曲率半徑越大微凸體接觸半徑也越大，微凸體接觸面積增加。無量綱處理接觸載荷F*=F/Fc，當(dāng)施加的位移載荷一定時(shí)，不同微凸體曲率半徑對(duì)接觸應(yīng)力的影響規(guī)律，如圖7所示。

圖7 微凸體等效曲率半徑對(duì)無量綱接觸應(yīng)力影響

可得微凸體無量綱接觸應(yīng)力隨微凸體等效曲率半徑的增加逐漸減小。曲率半徑越大微凸體實(shí)際接觸面積增加，在相同法向載荷下所受接觸應(yīng)力減小。

為了驗(yàn)證接觸模型所得結(jié)論，建立不同相等頂點(diǎn)曲率的微凸體有限元接觸模型，如圖8所示，對(duì)微凸體施加一定法向載荷，得到微凸體頂點(diǎn)曲率R分別為0.1、0.2、0.3 mm的應(yīng)力云圖，如圖9所示。通過有限元模型所得微凸體頂點(diǎn)曲率對(duì)接觸應(yīng)力的影響規(guī)律與數(shù)值模型得到結(jié)果基本一致，在微凸體高度一定時(shí)，接觸應(yīng)力隨微凸體頂點(diǎn)曲率的增加而減小。

圖8 微凸體接觸有限元模型

圖9 不同頂點(diǎn)曲率微凸體應(yīng)力云圖

3.2 微凸體高度對(duì)齒面接觸應(yīng)力影響

單個(gè)微凸體高度越高受到的壓縮變形量增加，應(yīng)力越大。但隨著塑性變形量的增大，其最大應(yīng)力在超過材料屈服強(qiáng)度后應(yīng)力增量明顯減小。對(duì)于粗糙齒面微凸體接觸，表面微凸體高度增加，齒面載荷和實(shí)際接觸面積都線性增加，微凸體高度較低時(shí)表面大多都是發(fā)生彈性變形，隨著微凸體高度的增加，進(jìn)入塑性變形的微凸體越大，塑性變形量也越大。由圖10可知，在相同曲率半徑時(shí)，微凸體相對(duì)變形量越大赫茲接觸應(yīng)力越大。

圖10 無量綱相對(duì)變形量對(duì)赫茲接觸應(yīng)力影響

4 接觸疲勞裂紋萌生預(yù)測(cè)

4.1 接觸疲勞產(chǎn)生部位分析

圖11為最大馮·米塞斯應(yīng)力隨接觸表面深度關(guān)系曲線。可以發(fā)現(xiàn)最大馮·米塞斯應(yīng)力出現(xiàn)在齒輪齒根次表面0.2～0.4 mm處，是疲勞裂紋萌生區(qū)域。微凸體高度增加應(yīng)力越大，并且最大馮·米塞斯應(yīng)力向表面轉(zhuǎn)移與表面間距縮短，初始微裂紋更容易向表面擴(kuò)展形成開口的初始裂紋加劇齒輪的失效。

圖11 不同微凸體高度對(duì)馮·米塞斯應(yīng)力影響

4.2 初始接觸疲勞裂紋萌生壽命

裂紋的萌生是齒輪接觸疲勞的重要階段。文獻(xiàn)[15]中將仿真分析或?qū)嶒?yàn)測(cè)得的應(yīng)力應(yīng)變值代入Smith-Watson-Topper公式來計(jì)算齒輪嚙合部位裂紋萌生壽命。SWT參數(shù)同時(shí)考慮了彈性和塑性應(yīng)變分量，并考慮了平均應(yīng)力影響。其計(jì)算公式為

(18)

式(18)中：σmax為臨界平面上的最大法向應(yīng)力；Δε1為最大法相應(yīng)變幅值；σ′f為疲勞強(qiáng)度系數(shù)，ε′f為軸向疲勞韌性；b和c分別表示疲勞強(qiáng)度指數(shù)與疲勞延性指數(shù)；Nf為裂紋萌生過程的循環(huán)次數(shù)。45號(hào)鋼軸向拉伸應(yīng)力應(yīng)變特性如圖12所示，45號(hào)鋼各項(xiàng)材料參數(shù)如表3所示。

表3 45號(hào)鋼材料參數(shù)

圖12 材料45號(hào)鋼軸向拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線

通過Smith-Watson-Topper公式計(jì)算得到了不同微凸體高度的裂紋萌生壽命，如表4所示。

表4 不同微凸體高度下裂紋萌生加載循環(huán)次數(shù)

5 結(jié)論

針對(duì)粗糙齒輪表面接觸疲勞問題，基于Hertz接觸理論和GW模型，建立了微凸體接觸模型和粗糙齒面模型，用ANSYS有限元模型對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證分析。并分析了微凸體曲率半徑和微凸體高度對(duì)齒輪接觸疲勞的影響規(guī)律。得出以下結(jié)論。

(1)本文模型簡化了對(duì)接觸面積的計(jì)算，使模型更加簡潔，便于分析參數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果造成的影響，得到載荷變化結(jié)果同樣單調(diào)且光滑變化。

(2)研究表明，微凸體曲率半徑增加接觸應(yīng)力會(huì)有所降低，但是隨著曲率半徑的增加接觸應(yīng)力降低趨勢(shì)減緩；微凸體高度增加接觸應(yīng)力隨之增加，但是在應(yīng)力達(dá)到材料屈服強(qiáng)度后，應(yīng)力增加不再明顯。并且微凸體高度對(duì)應(yīng)力造成的影響更大。

(3)隨著微凸體高度的增加Von Mises應(yīng)力由次表面逐漸向表面轉(zhuǎn)移，最大Von Mises應(yīng)力在次表面0.2～0.4 mm處，是疲勞裂紋萌生區(qū)域。根據(jù)SWT公式計(jì)算得，降低微凸體高度能有效提高齒輪表面的初始接觸疲勞壽命。