微凸體對直齒輪接觸特性及疲勞壽命影響分析

李 智， 吳勝利*， 簡曉春， 劉啟坤， 邢文婷

(1.重慶交通大學交通運輸學院， 重慶 400074； 2.重慶工商大學管理科學與工程學院， 重慶 400067)

齒輪傳動被廣泛應用于航空航天、高鐵、輕軌、艦船以及精密機床等重要裝備，齒面缺陷嚴重影響傳遞精度。在交變載荷作用下，齒面不可避免的產生接觸疲勞，并萌生裂紋等缺陷。尤其粗糙齒面微凸體接觸對齒輪接觸疲勞的影響更是不可忽略。因此，亟需通過對微凸體參數的研究，揭示其對裂紋萌生機理，為進一步開展疲勞壽命的影響研究詳實的理論依據和數據支撐。

粗糙表面間接觸疲勞的研究以微觀表面微凸體的研究及疲勞裂紋萌生方面為主，中外學者進行了許多研究。卞榮等[1]、賀治成等[2]對單粗糙峰，及粗糙峰粗糙谷對彈流潤滑影響進行了研究；郭嘉楠等[3]建立了一種兼顧能量損失和粗糙接觸面動力學特性的碰撞模型，并考慮了接觸面形貌的影響，分析了粗糙度等因素對接觸碰撞力的影響規律；李文廣等[4]通過實際測量獲得粗糙度數據再生成粗糙度函數模型；李玲等[5]研究了含有硬涂層的粗糙表面中微凸體和基體變形對表面微觀接觸特性的影響規律，通過與Hertz模型、有限元分析結果比較驗證了新模型的正確性；Guilbault等[6]提出了一種統計公式來描述在混合潤滑下由磨損和塑性變形引起的粗糙形狀的演變，建立了粗糙應變硬化模型，并對接觸裂紋萌生進行了預測；Wang等[7]提出粗糙面測量點之間形狀的可能諧波狀態，提出了一種新的有限元接觸模型，研究了在法向載荷和法向和切向載荷作用下，粗糙表面參數對接觸性能的影響；戴翎等[8]基于Zaretsky接觸疲勞壽命計算模型，計算了不同速度工況下光滑和粗糙表面從嚙入到嚙出的齒面接觸壽命。

目前研究主要通過建立單微凸體與剛性平面接觸模型，粗糙表面與光滑表面接觸模型，研究單微凸體對彈流潤滑的影響，微凸體變形量對微凸體接觸剛度和接觸載荷的影響。缺少微凸體結構參數對接觸特性影響規律的研究。為此，基于Hertz接觸理論建立微凸體法向接觸模型，結合粗糙表面形貌的Greenwood-Williamson統計模型建立粗糙表面接觸模型。分析了接觸界面微凸體曲率半徑和高度對齒輪表面接觸特性的影響。通過與文獻[9]模型結果和有限元模型對比驗證了模型的正確性。并根據Smith-Watson-Topper公式對齒輪初始接觸疲勞壽命進行預估，為合理設計齒輪表面參數提高齒輪接觸疲勞壽命提供了理論依據。

1 單微凸體接觸模型

1.1 微凸體接觸微觀模型

圖1為不同頂點曲率的單微凸體接觸模型，可得在無摩擦時，根據Briscoe[10]接觸理論微凸體彈性接觸半徑ra[圖1(b)]可表示為

圖1 微凸體接觸模型

(1)

式(1)中：E*為微凸體復合彈性模量；F為微凸體接觸力；R為兩微凸體等效曲率半徑。

兩微凸體接觸變形量w可表示為

(2)

由式(1)、式(2)可得

(3)

微凸體接觸力F可表示為

(4)

微凸體接觸應力計算公式為

(5)

式(5)中：r為接觸半徑；σmax為最大接觸應力，其計算公式為

(6)

當微凸體處于彈性變形向彈塑性變形轉變時的臨界變形量為[11]

(7)

式(7)中：k為硬度系數，k=0.454+0.41v，其中v為泊松比，取值為0.3；H為材料的接觸硬度，取值為4.7 GP。引入開始出現塑性變形時的相對變形量，即臨界變形量wc，當wwc時，微凸體發生彈塑性變形。

圖1(b)中，假設微凸體接觸區域由內圓半徑為rp的塑性區和外圓寬度為(ra-rp)的圓環內彈性區兩部分組成[12]。

塑性區域rp內塑性載荷FTp的表達式為

(8)

式(8)中：σp為內圈塑性區域接觸應力。

外圈彈性區域載荷FTe為

(9)

則接觸總載荷FT為彈性載荷與塑性載荷的合力，其表達式為

(10)

根據式(4)、式(5)得正接觸狀態下，微凸體接觸區的彈塑性法向接觸應力為

(11)

將式(3)代入式(11)中可得微凸體等效曲率半徑R和接觸變形量w與接觸應力的關系為

(12)

1.2 粗糙齒面接觸模型

Greenwood等[13]通過實驗發現大多數表面微凸體高度都服從正太分布，特別是經過噴丸處理的表面非常近似正態分布。并分析了一個光滑剛性平面與名義上平坦的粗糙表面之間的接觸，稱為G-W(Greenwood-Williamson)模型，如圖2所示。

圖2 隨機粗糙表面與剛性光滑平面接觸

假設齒輪嚙合齒寬上微凸體面密度為η，齒輪齒寬為b，名義接觸寬度為a0。名義接觸寬度是指由于表面微凸體的存在，導致齒面嚙合時不是完全的線接觸，而是在有一定寬度的微小接觸面內接觸，此寬度定義為名義接觸寬度。當表面間距為h時，微凸體高度為z則期望進入接觸的微凸體數量n可表示為[13]

(13)

式(13)中：h為接觸表面間距；φ(z)為表面微凸體高度分布的概率密度函數，對于標準差為σ的高斯分布的概率密度函數，其表達式為

(14)

當微凸體高度z超出了接觸表面間距h時，頂點壓縮量為w=(z-h)，若參與接觸的微凸體數量為n，則實際接觸面積A可表示為

(15)

由微凸體彈性變形量與外載荷關系可以得微凸體參與接觸總的載荷為

(16)

由式(15)、式(16)得平均應力為

(17)

2 模型結果驗證

2.1 單微凸體模型驗證

為便于比較，對模型進行無量綱化。即無量綱接觸載荷F*=F/Fc，無量綱相對變形δ*=w/wc，其中Fc為開始出現塑性變形時的接觸載荷。

隨載荷的增加，兩微凸體相對變形量隨之增大，如圖3所示，本文模型與文獻[9]模型都具有較好的單調性。而在Zhao等[14]提出的在臨界點滿足連續性和光滑性要求的法向接觸模型簡稱(MZMC模型)中，相對變形量在δ*=6、110時不單調，認為δ*=6時接觸表面首次達到彈性極限，而在δ*=110時接觸表面將完全變為塑性接觸。

圖3 單微凸體彈塑性接觸載荷與相對變形量

文獻[9]模型為滿足微凸體在完全彈性-彈塑性-完全塑性的不同接觸之間變化的連續、光滑和單調性，進行了復雜煩瑣的計算，增加了多個需要求解的系數，并且不便于對微凸體參數所造成的影響進行分析。本文模型簡化了對接觸面積的求解，突出表達微凸體參數對接觸載荷和接觸應力的直接關系。為分析微凸體參數造成的影響提供了正確且更為簡單的求解方法。

2.2 粗糙齒面模型驗證

選用一對45號鍛鋼材料磨削工藝處理漸開線直齒輪嚙合模型，數值計算參數，如表1所示。

根據模型所得平均應力計算公式[式(17)]可以看出，當齒輪表面微凸體曲率半徑一定時，載荷相同時增加齒輪接觸表面微凸體高度z，會使齒輪表面平均應力增加。計算了一組表面微凸體高度z為0.08、0.16、0.32 μm接觸應力，如表2所示。并用有限元模型對計算結果進行了驗證。

為了驗證表2中計算結果正確性，根據表1數值計算所用的齒輪嚙合模型數據，在ANSYS APDL中首先建齒輪接觸有限元模型，如圖4所示。對齒輪應力進行接觸應力分析，確定齒輪的最大接觸應力值和相應的嚙合位置。

再建立剛性平面與等效曲率半徑的微凸體表面接觸模型，采用等效曲率半徑相同設置微凸體高度z為0.08、0.16、0.32 μm有限元模型，采用C3D8R單元對粗糙微凸體進行有限元網格劃分，進行微凸表面與剛性平面的接觸仿真分析。預施加適當的位移載荷并將載荷逐步調大，防止位移過大導致計算不能收斂，根據文獻[14]鋼質表面微凸體變形量在δ*=6時開始產生塑性變形，而實際齒面雖為非彈性接觸，但是正常工作載荷常以彈性變形為主，發生塑性變形較小，故在對粗糙齒面進行有限元分析時施加的位移載荷控制在10wc以內為宜。表面微凸體位置的設置，如圖5所示。

得到的馮·米塞斯應力分布云圖，如圖6所示。且微凸體接觸模型所得結果與齒輪嚙合模型所得應力基本一致。圖6(a)、圖6(b)、圖6(c)分別為嚙合點處3 mm的范圍，微凸體高度z分別為0.08、0.16、0.32 μm時所受到的應力分布。其結果顯示當受到相同的載荷是與數值計算模型所結果基本一致，驗證了數值計算模型的正確性。進行了不同高度微凸體的有限元仿真，為微凸體高度對初始裂紋源形成部位的影響分析提供了依據。

圖6 粗糙峰值對最大剪切應力影響

3 微凸體參數對接觸應力影響分析

3.1 微凸體曲率半徑對接觸應力的影響

兩微凸體曲率半徑越大所得等效曲率半徑也越大，由式(3)得當變形量w一定時，等效曲率半徑越大微凸體接觸半徑也越大，微凸體接觸面積增加。無量綱處理接觸載荷F*=F/Fc，當施加的位移載荷一定時，不同微凸體曲率半徑對接觸應力的影響規律，如圖7所示。

圖7 微凸體等效曲率半徑對無量綱接觸應力影響

可得微凸體無量綱接觸應力隨微凸體等效曲率半徑的增加逐漸減小。曲率半徑越大微凸體實際接觸面積增加，在相同法向載荷下所受接觸應力減小。

為了驗證接觸模型所得結論，建立不同相等頂點曲率的微凸體有限元接觸模型，如圖8所示，對微凸體施加一定法向載荷，得到微凸體頂點曲率R分別為0.1、0.2、0.3 mm的應力云圖，如圖9所示。通過有限元模型所得微凸體頂點曲率對接觸應力的影響規律與數值模型得到結果基本一致，在微凸體高度一定時，接觸應力隨微凸體頂點曲率的增加而減小。

圖8 微凸體接觸有限元模型

圖9 不同頂點曲率微凸體應力云圖

3.2 微凸體高度對齒面接觸應力影響

單個微凸體高度越高受到的壓縮變形量增加，應力越大。但隨著塑性變形量的增大，其最大應力在超過材料屈服強度后應力增量明顯減小。對于粗糙齒面微凸體接觸，表面微凸體高度增加，齒面載荷和實際接觸面積都線性增加，微凸體高度較低時表面大多都是發生彈性變形，隨著微凸體高度的增加，進入塑性變形的微凸體越大，塑性變形量也越大。由圖10可知，在相同曲率半徑時，微凸體相對變形量越大赫茲接觸應力越大。

圖10 無量綱相對變形量對赫茲接觸應力影響

4 接觸疲勞裂紋萌生預測

4.1 接觸疲勞產生部位分析

圖11為最大馮·米塞斯應力隨接觸表面深度關系曲線。可以發現最大馮·米塞斯應力出現在齒輪齒根次表面0.2～0.4 mm處，是疲勞裂紋萌生區域。微凸體高度增加應力越大，并且最大馮·米塞斯應力向表面轉移與表面間距縮短，初始微裂紋更容易向表面擴展形成開口的初始裂紋加劇齒輪的失效。

圖11 不同微凸體高度對馮·米塞斯應力影響

4.2 初始接觸疲勞裂紋萌生壽命

裂紋的萌生是齒輪接觸疲勞的重要階段。文獻[15]中將仿真分析或實驗測得的應力應變值代入Smith-Watson-Topper公式來計算齒輪嚙合部位裂紋萌生壽命。SWT參數同時考慮了彈性和塑性應變分量，并考慮了平均應力影響。其計算公式為

(18)

式(18)中：σmax為臨界平面上的最大法向應力；Δε1為最大法相應變幅值；σ′f為疲勞強度系數，ε′f為軸向疲勞韌性；b和c分別表示疲勞強度指數與疲勞延性指數；Nf為裂紋萌生過程的循環次數。45號鋼軸向拉伸應力應變特性如圖12所示，45號鋼各項材料參數如表3所示。

表3 45號鋼材料參數

圖12 材料45號鋼軸向拉伸應力應變曲線

通過Smith-Watson-Topper公式計算得到了不同微凸體高度的裂紋萌生壽命，如表4所示。

表4 不同微凸體高度下裂紋萌生加載循環次數

5 結論

針對粗糙齒輪表面接觸疲勞問題，基于Hertz接觸理論和GW模型，建立了微凸體接觸模型和粗糙齒面模型，用ANSYS有限元模型對模型進行了驗證分析。并分析了微凸體曲率半徑和微凸體高度對齒輪接觸疲勞的影響規律。得出以下結論。

(1)本文模型簡化了對接觸面積的計算，使模型更加簡潔，便于分析參數對計算結果造成的影響，得到載荷變化結果同樣單調且光滑變化。

(2)研究表明，微凸體曲率半徑增加接觸應力會有所降低，但是隨著曲率半徑的增加接觸應力降低趨勢減緩；微凸體高度增加接觸應力隨之增加，但是在應力達到材料屈服強度后，應力增加不再明顯。并且微凸體高度對應力造成的影響更大。

(3)隨著微凸體高度的增加Von Mises應力由次表面逐漸向表面轉移，最大Von Mises應力在次表面0.2～0.4 mm處，是疲勞裂紋萌生區域。根據SWT公式計算得，降低微凸體高度能有效提高齒輪表面的初始接觸疲勞壽命。