蘊藏本質 傳承經典
——漫談2020年浙江高考數列解答題

浙江 曹亞奇

2020年浙江高考數學數列解答題著重考查等差、等比數列的通項公式及求和等數列常規知識.涉及“數學抽象”“邏輯推理”“數學運算”等重要的學科核心素養.下述例題蘊含了“累加累乘”“裂項相消”等數列中的“通性通法”,亦可用到“構造常數列”等優化計算的技巧,而這些方法技巧均可歸納為代數運算中的“同構”思想.

(Ⅰ)若{bn}為等比數列,公比q>0,且b1+b2=6b3,求q的值及數列{an}的通項公式；

題型綜述:2020年浙江高考數列解答題的設計注重通性通法,背景公平熟悉,試題表述簡潔精準,設問由淺入深,梯度明顯.試題的設計返璞歸真,立足教材,著重考查等差、等比數列的通項及求和等數列常規知識.涉及了“數學抽象”“數學運算”以及“邏輯推理”等重要的學科核心素養.縱向對比去年高考的數列大題,第(Ⅰ)問難度略有下降,第(Ⅱ)問難度基本持平,為不同基礎、不同能力水平的考生都提供了適當的思考空間.下面,筆者將從“解法”“思想”“拓展”“本源”等多個角度來分析這道好題.

1.庖丁解牛 漫談解法

1.1 通性通法 波瀾不驚

【點評】本小題考查等比數列、累加法等基礎知識與基本技能.試題起點低,易入手,面向全體考生,解題方向明確.

而第(Ⅱ)小題區分度明顯.

1.2 裂項求和 各顯神通

方向一(累乘)

【點評】本小問涉及等差數列性質與累乘的方法,呼應第一小問的等比數列與累加法.依然是通性通法,然而題干不涉及具體數值,稍顯抽象,學生容易“卡殼”,停滯不前.

方向二(構造常數列)

cn+1bn+2=bncn?bn+1bn+2cn+1=bnbn+1cn,

令dn=bnbn+1cn,則{dn}為常數列.

而后裂項相消同方向一.

【點評】原遞推方程兩邊同乘以bn+1后,便構造出一個相鄰兩項的“同構式”,即構造出一個常數列,從而簡化了計算.當然這個方法對學生的整體大局觀和抽象思維要求頗高,正所謂“想的多一些,便算的少一些”.事實上這種構造常數列的方法在往年的高考真題卷或者競賽卷上屢見不鮮(后面會舉例說明).

方向三(不完全歸納,先猜后證)

而后裂項相消同方向一.

【點評】不完全歸納法體現了從特殊到一般的辯證關系.“猜”并不是瞎猜,而是以觀察為向導,以聯想為手段,以邏輯為根據,類比歸納結果.當然作為等差型數列的裂項過程與前幾種方向保持一致,亦是這幾種方向的共同突破口.

方向四(加強型數學歸納法)

2.靈活多變的技巧——裂項相消

2.1 常見結構 了然于胸

以上四個方向是該數列題的常規解法.筆者從本屆高考的部分學生那里得到的反饋是:第(Ⅱ)問“沒有頭緒”、感覺“抽象”、“難以下手”等評價.那我們從解法上看,無論哪個方向都避不開“裂項”這個主題.數列解答題中的“裂項相消求和”的技巧是最常規也是最熱門的考點之一.學生“卡殼”的主要原因在于其表達式的“抽象性”(不帶具體數字),沒有識別其結構,對其表達的數學本質沒有看透.筆者歸納了以下幾種常見的“裂項相消”的結構式.

(5)三角函數型:an=tann·tan(n+1);

(6)組合數公式型:an=nn!；

2.2 三項裂變 降維轉化

學生考試后所反饋的裂項放縮的途徑大致兩個方向.

3.優化計算的法寶——構造常數列

3.1 真題溯源 優化計算

從前文的解法上看,方向二(構造常數列)計算過程最為簡潔.而該方法可謂是優化計算的法寶,在過往的浙江高考真題與省數學競賽中亦可應用推廣,下面列舉兩例.

題1(2018·浙江卷·20)已知等比數列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項.數列{bn}滿足b1=1,數列{(bn+1-bn)an}的前n項和為2n2+n.

(Ⅰ)求q的值；

(Ⅱ)求數列{bn}的通項公式.

(Ⅰ)求數列{an}的通項公式；

3.2 致敬經典 拓展改編

事實上,3.1題1(2018·浙江卷·20)第(Ⅱ)問在實際高考解答中,利用常規的“錯位相減法”屬于比較普遍和穩妥的方法,而待定系數法構造“常數列”在優化計算方面也有其優勢.于是筆者參考過往幾年的浙江高考真題卷,拓展改編了一道“模擬題”,試圖將“累加法”“構造常數列”“裂項放縮”等方法融入其中,致敬經典.

【原創題】設數列{an}的前n項和為Sn,滿足a2=-2,2Sn=nan-3n.

(Ⅰ)求證:{an}為等差數列,并求{an}的通項公式；

【解析】(Ⅰ)由2Sn=nan-3n,得2Sn-1=(n-1)an-1-3(n-1)(n≥2)，

此處方法有分化,大致可以三個方向.

方向一(遞推式作差)

將(n-1)an+1-nan=3與(*)作差得,

(n-1)an+1-2(n-1)an+(n-1)an-1=0(n≥2),即an+1+an-1=2an,

所以{an}為等差數列.由2S1=a1-3?a1=-3,得an=n-4.

方向二(累加求和)

方向三(構造常數列)

接下來,可以用“錯位相減法”或者更為簡潔的“裂項相消”求和.

4.數列運算的主旋律——同構式

上述原創題中,筆者出題的靈感來源于浙江高考數學2013年(文)、2018年、2020年這三年的數列解答題，創編的意圖和主題可以用“同構”來概括.

“同構”其實是抽象代數的專業術語,指的是一個保持結構的雙射.在高中階段我們提到同構難免會有亂用專業術語的嫌疑.我們之所以經常這么說,是從表面的含義理解出發的,同構表示結構、形式相同,或俗稱“算兩遍”.所以用“同構”來概括一些類型的題目比較合適,可謂言語少,意深遠!事實上,讓我們重新審視2020年浙江高考數列真題和筆者的創編題,“累加”與“裂項相消求和”可看成若干個同構式的加法運算；“累乘”是對一系列同構式的乘法運算；“遞推關系式作差”是關于兩個相鄰同構式的差的運算；“構造常數列”是尋求任意相鄰兩個同構式的等量關系.由此,可以說在數列題型中的常用技巧與思想方法中,“同構思想”占據著舉足輕重的地位.