拼接梯度壓電材料中多裂紋的響應問題

周春梅， 馬 旭， 閆 潔

(寧夏師范學院數學與計算機科學學院， 固原 756000)

梯度壓電材料作為一種新型的復合智能材料，兼具壓電和梯度二者的優點，被廣泛應用于諸多工程領域。材料的復合雖然克服了單項材料的缺陷，但又有許多新的問題需要解決。例如，如何判定裂紋在這種新型材料中的穩定性是一個值得關注的課題。一般的金屬材料，都考慮用動應力強度因子、能量釋放率、能量密度因子作為斷裂分析的依據.對于裂紋擴張來說，當材料呈脆性或小范圍承受時，應力強度因子通常作為斷裂的依據。薛宇等[1]針對傳統壓電構建容易被破壞的問題，提出了一個改進的功能梯度材料特性分布形式，研究了材料分布類型、梯度分布指數和材料總體積分數對材料板振動控制的影響。張智娟等[2]研究了一種懸臂梁雙晶壓電能量采集裝置的發電性能，實驗將兩片雙晶壓電振子并聯，得到振動臺頻率、激勵位移等對裝置輸出電壓和負載功率的影響情況。劉婷等[3]介紹了4類壓電材料的研究進展，分析了它們的結構特點、制作方法和應用場合，并且展望了壓電材料的未來發展趨勢。李林利等[4]討論了恒定溫度場下壓電材料矩形板的頻率和振幅，給出了溫度對位移的影響，以及速度、加速度的變化規律。穆翔等[5]研究了傅里葉變換在壓電材料與熱電材料的接觸、斷裂等問題中的應用。劉媛等[6]利用有限截項法分析了無限板圓孔邊四不等長裂紋，得到應力強度因子的接近程度與裂紋半長與半徑比有關。祝青鈺等[7]研究了橢圓孔邊任意長度雙裂紋復合型應力強度因子復變函數解。提出了一種基于Muskhelishvili復變函數理論和有限截項原則的強度因子求解方法，得出強度因子受橢圓孔半軸比、夾角和裂紋長度的綜合影響。梁瑞虹等[8]分析并制造了寬溫堿低損耗的新型壓電材料與摩擦功能材料，提岀了通過相結構調控、增加第三組元、引入偶極子缺陷釘扎疇壁等方法來制備低損耗壓電陶瓷材料。李潔等[9]研究了一種用于壓電傳感器的柔性電極的制備及其性能分析。朱帥等[10]利用有限元模型，采用分層法進行材料的梯度仿真模擬，分析了功能梯度壓電材料單裂紋的受力情況，得到緩解應力集中的參數算例結果。現對拼接壓電材料中的共線多裂紋問題進行分析。

1 問題描述及理論分析

如圖1所示，在x-y平面中，梯度壓電材料(functionally graded piezoelectric material，FGPM)拼接在一均勻壓電材料(piezoelectric material，PM)上，材料沿Z軸極化。裂紋位于高度為h1+h2的梯度壓電帶y=0的平面上，裂紋間距為2c，裂紋的長度為|bj-aj|=2a0，設第j個裂紋的左右尖端在x軸的坐標分別為aj、bj，裂紋表面處有反平面應力載荷τxy=τ(x)、平面內的電位移Dy=D(x)。

圖1 拼接梯度壓電材料中共線多裂紋模型

壓電材料的本構方程為

(1)

(2)

式中：τxz(i)、τyz(i)和Dx(i)、Dy(i)分別為應力和電位移；wi和φi為位移和電勢；i(i=1，2) 分別對應區域D1和D2；c44(i)、e15(i)、ε11(i)分別為彈性剛度系數、介電常量、壓電常量。

電場分量與電勢有如下的關系：

(3)

假設梯度壓電材料的彈、電性系數沿y軸按指數函數分布：

[c44(1)(y)，e15(1)(y)，ε11(1)(y)]=

eβy[c0，e0，ε0]， -h2

(4)

[c44(2)(y)，e15(2)(y)，ε11(2)(y)]=

eβh1[c0，e0，ε0]，y>h1

(5)

式中：β、c0、e0、ε0分別為功能梯度參數、剪切模量、壓電系數、介電常數。

靜態平衡方程為

(6)

由式(1)～式(6)，得到控制方程為

-h2

(7)

(8)

由此可得

(9)

(10)

式(9)和式(10)解的形式為

(11)

-h2

(12)

(13)

式(11)～式(13)的未知函數的表達式為

(14)

2 問題求解

由于材料結構關于y軸對稱，只需要考慮右半平面。邊界條件及連續性條件[11]為

(15)

(16)

(17)

運用傅里葉變換，并且利用邊界條件式(15)～式(17)，得到下列方程:

A1(α)ep1 h1+A2(α)ep2 h1-E1(α)e-αh1=0

(18)

B1(α)ep1 h1+B2(α)ep2 h1-F1(α)e-αh1=0

(19)

+αF1(α)e-αh1]e-iαxdα=0

(20)

×ep2 h1+αF1(α)e-αh1]e-iαxdα=0

(21)

e-iαxdα=0

(22)

e-iαxdα=0

(23)

p1D1(α)-p2D2(α)]e-iαxdα=0

(24)

p2D2(α)]e-iαxdα=0

(25)

引入兩個位錯函數[12]s1(x)和s2(x):

(26)

(27)

將應力和電勢的解代入式(26)、式(27)中，并結合邊界條件有

(28)

x∈[aj，bj]時，可得

C1(α)-C2(α)]e-iαxdα

(29)

D1(α)-D2(α)]e-iαxdα

(30)

應用Fourier變換法和邊界條件式(15)～式(17)式求解方程組，解出系數Ai(α)、Bi(α)、Ci(α)、Di(α)、E1(α)、F1(α)。再由本構方程和邊界條件得到應力和電位移的解析表達式[13]為

(31)

當α→∞時，k有奇異項被分離，可以表示為

(32)

令

(33)

將式(32)、式(33)代入式(31)，方程被標準化為

(34)

(35)

(36)

通過Gauss-Chebyshev積分公式對第一類奇異積分方程式(34)和式(35)進行求解。基函數與權函數有如式(37)所示關系：

(37)

式(34)、式(35)通過簡化為Chebyshev多項式求解。

(38)

(39)

(40)

最后解得裂紋端切應力強度因子和電位移強度因子[15]為

(41)

(42)

(43)

(44)

式中:未知函數的值Fj(-1)(j=1，2)和Fj(1)可以分別從Fj(tn-1)、Fj(tn-2)、Fj(tn-3)和Fj(t2)、Fj(t3)、Fj(t4)的二次插值得到。

3 數值計算及討論

裂紋端強度因子正則化[16]為

(45)

(46)

取PZT-4為基本壓電材料，通過數值計算，可以得到以下一些結論。

從圖2得到正則化強度因子與裂紋長度2a0的變化規律。第j個裂紋的左端aj處的強度因子比裂紋右端bj處的強度因子大。隨著帶寬比h1/h2的增大，裂紋左右端處的強度因子逐漸增大，從圖形可以看出，強度因子是平行的增大趨勢。當帶寬比的值固定不變時，裂紋端的強度因子與裂紋長度2a0有同樣的變化趨勢，即裂紋長度增大時，強度因子也增大。

從圖3得到正則化強度因子隨帶寬比h1/h2的變化規律?？梢钥闯雠c圖2有相似的結論，裂紋左端處的強度因子比裂紋右端處的強度因子大。隨著非均勻參數β的增大，裂紋左右端的強度因子逐漸增大，并且也是平行的增大趨勢。當非均勻參數β固定不變時，裂紋端的強度因子隨著帶寬比h1/h2的增大而減小。

圖2 不同帶寬比下，裂紋長度與正則化強度因子的響應

圖3 不同非均勻參數下，帶寬比與正則化強度因子的響應

從圖4得到正則化強度因子隨裂紋間距2c的變化規律。與前面的結論一致，裂紋的左端處的強度因子比裂紋右端處的強度因子更大。隨著非均勻參數β的增大，裂紋左右端的強度因子逐漸增大，這里可以看到，當β=1.5時，線條有跳動的趨勢，不再是平行的變化情況。當非均勻參數β的值固定不變時，裂紋端的強度因子隨著裂紋間距2c的增大而減小。

圖4 不同非均勻參數下，裂紋間距與正則化強度因子的響應

4 結論

討論了拼接壓電材料中共線多裂紋問題。利用傅里葉變換技術將邊值問題轉化為積分方程，應用位錯函數以及高斯-切比雪夫方法求解方程獲得裂紋端的切應力和電位移的解析式。最后的數值分析結果顯示們，裂紋端強度因子與裂紋幾何長度、裂紋間距、材料帶寬比以及非均勻梯度參數的關系密切。圖2～圖4有統一的結果，即裂紋左端的強度因子總比裂紋右端的強度因子大。隨著帶寬比以及非均勻梯度參數的增大，裂紋端強度因子也隨之增大；當帶寬比有確定值時，裂紋長度增大時，強度因子也增大；當非均勻梯度參數有確定值時，帶寬比和裂紋間距增大時，強度因子反而減小。