鯨魚優化算法及斷路器觸頭彈簧小型化設計

田蕓賀， 夏克文， 解 敏

(河北工業大學電子信息工程學院， 天津 300401)

隨著智能電網的迅速發展以及供配電市場規模逐步擴大，傳統的供配電系統已經無法滿足國家電網的需求[1]。低壓斷路器作為接通和分斷短路電流的開關電器，并且具有過負載、短路、欠壓和漏電保護功能，已經廣泛地應用于低壓配電系統之中[2-3]。由于用戶的用電量急劇上升，對斷路器的需求增大，市場對低壓斷路器性能的要求也越來越高。其中，現代新型工藝對低壓電器的開發提供了良好的條件，提高斷路器限流能力，因此設計小型化、低能耗、高分斷、高性能、可通信的智能型低壓斷路器一直是研究熱點問題[4]。

為了達到低壓斷路器的小型化、高性能指標，需要合理地設計觸頭彈簧系統。其中，動、靜觸頭之間的相互作用保證了斷路器的正常通斷，通過合理設計觸頭彈簧的質量與體積，保證穩定的觸頭壓力，減小不必要的機械磨損，防止發生“彈跳”現象，實現觸頭結構的穩定性[5]。同時為了保障彈簧處于正常工作狀態，需要對彈簧靜強度、剛度、疲勞系數、旋繞指數等條件進行約束[6]。其中，傳統的經驗估算不能夠建立科學的數學模型，使得設計的斷路器具有體積過大、分斷能力差等缺陷[7]。因此，為了更好地設計觸頭彈簧結構，需要結合性能良好的算法對相關參數進行優化。

智能優化算法具有全局優化性能，并且適用性強，已經廣泛地應用于求解各種復雜問題最優解與滿意解。常見的智能優化算法有很多，比如:蟻群算法(ant colony optimization algorithm， ACO)[8]、粒子群算法(particle swarm optimization， PSO)[9]、人工蜂群算法(artificial bee colony algorithm， ABC)[10]、差分進化算法(differential evolution algorithm， DE)[11]等，而且都得到了較廣泛應用。鯨魚優化算法(whale optimization algorithm，WOA)[12]是Mirjalili和Lewis于2016年根據座頭鯨獨特的覓食行為提出的新型群智能優化算法，WOA具有操作簡單、求解問題適用性高、局部與全局搜索能力強等特點。但是，在面對復雜多維問題時，WOA容易陷入局部最優，且后期收斂速度減慢，收斂精度難以達到要求。目前，許多學者已經對WOA進行了改進并應用到多個領域。Yan等[13]提出一種改進的鯨魚算法(IWOA)來優化S_Kohonen網絡的輸入層和競爭層之間的權重。在算法中引入征費飛行的隨機搜索模式，并在慣性權重中引入隨機因子。通過實驗表明，改進的算法優化的S_Kohonen網絡的分類精度明顯高于其他標準算法。張水平等[14]針對標準WOA后期尋優速度精度低、易陷入局部最優等缺陷，提出一種動態搜索和協同進化的改進的鯨魚優化算法，通過改善初始解的質量，并對種群進行分工，提升種群多樣性并增強算法跳出局部最優的能力，根據種群進化信息動態調整搜索策略。實驗仿真證明，改進的算法與其他算法相比尋優性能更強。Chen等[15]提出了一種增強變體的改進的鯨魚優化算法，在標準WOA中引入隨機備用或隨機替換的策略提高標準WOA的收斂速度；引入雙重自適應權重策略改善算法的搜索方式，有效的解決了標準算法收斂緩慢，求解多維問題容易陷入局部最優等缺點。

現根據低壓斷路器的觸頭系統，結合影響觸頭彈簧質量體積的參數，以及彈簧約束條件，合理設計斷路器觸頭彈簧結構，構建低壓斷路器小型化數學模型，提出引入云模型與自適應權重策略改進的鯨魚優化算法，對低壓斷路器優化模型進行仿真設計，并通過實驗仿真加以證明。

1 觸頭彈簧優化模型

1.1 觸頭彈簧物理模型

對低壓斷路器中觸頭彈簧結構進行優化設計，針對HSW6系列低壓斷路器，其觸頭彈簧形狀為圓柱螺旋形，如圖1所示。

彈簧絲的體積為

(1)

式(1)中：n為彈簧圈數；L為彈簧絲的總長度，可表示為

L=π(n+2)D

(2)

彈簧的質量為

(3)

式(3)中：ρ為彈簧絲密度。

彈簧的體積為

(4)

對觸頭彈簧結構進行數學建模，需考慮彈簧的剛度、強度、應力等性能約束，具體表達式如下。

(1)彈簧的剛度約束為

(5)

在設計過程中，彈簧剛度k需控制在一個范圍內，Pmax為最大工作載荷量，kmax為彈簧受最大載荷的最大形變量，kmin為彈簧的最小形變量，G為彈簧的剪切模量，C為彈簧的旋繞比。

(2)靜強度條件約束為

(6)

式(6)中：τmax為彈簧的最大剪切力，MPa；Pmax為彈簧最大工作載荷量；[τ]為彈簧許用應力,MPa；K為彈簧曲度系數，可由彈簧的旋繞比C得出:

(7)

C=D/d

(8)

(3)彈簧疲勞強度條件約束為

(9)

式(9)中:nca為許用安全系數；nF為設計安全系數;τ0為彈簧絲的脈動循環疲勞極限;τmin為彈簧的最小剪切力,MPa。

(4) 不發生共振條件約束為

(10)

式(10)中:f為彈簧的固有頻率；Hz，fr為載荷變化頻率,Hz;n為彈簧有效圈數。

(5) 彈簧在最大工作載荷情況下不并圈條件約束為

H-δmax≥Hb

(11)

式(11)中：δmax為彈簧在最大載荷量下的形變量，mm；Hb為彈簧壓并高度，mm。

(6) 選取彈簧為兩端固定安裝形式，則穩定性條件約束為

(12)

(7) 對彈簧旋繞比C進行約束，一般情況下，旋繞比的范圍為

4≤C=D/d≤9

(13)

1.2 觸頭彈簧小型化數學模型

為了使低壓斷路器尺寸更小、性能更優，根據以上彈簧參數以及彈簧約束條件合理設計觸頭彈簧結構，構建低壓斷路器小型化數學模型，合理地優化觸頭彈簧的質量與體積，構造觸頭彈簧質量體積綜合目標函數。

觸頭彈簧的材料為碳素鋼絲，則彈簧絲的密度ρ=7.85×103kg/m3，彈簧的剪切模量G=7.9×104MPa。選取彈簧絲直徑d、彈簧有效圈數n和彈簧中徑D為自變量，分別設置為x1、x2、x3。

x=[d，n，D]T=[x1，x2，x3]T

(14)

為了便于比較，需保證質量體積函數量級相同，將觸頭彈簧質量與體積函數進行線性加權，得到綜合目標優化函數為

f=ω1M(x)+ω2V(x)×104

(15)

式(15)中:M(x)為觸頭彈簧質量函數；V(x)為觸頭彈簧體積函數；ω1、ω2為質量權重控制系數。

2 鯨魚優化算法

2.1 鯨魚優化算法概述

鯨魚優化算法是一種模擬座頭鯨狩獵行為的元啟發式優化算法，座頭鯨在捕食過程中以螺旋狀吐出氣泡，并形成氣泡網，如圖2所示。

圖2 氣泡網捕食

在鯨魚優化算法中，每一只鯨魚個體作為種群的搜索代理，視為一個候選解。其中，座頭鯨捕獵過程分為包圍獵物、泡網攻擊和搜尋獵物三個階段[16]。

(1)包圍獵物階段。假設目標獵物位置為當前的最佳候選解，其余搜索代理根據最優候選解進行迭代更新，該搜索行為的數學表達式為

D=|CX*(t)-X(t)|

(16)

X(t+1)=X*(t)-AD

(17)

式中:D為搜索代理與當前最優候選解的差值；t為當前迭代次數；X*(t)為當前最優解的位置；X(t) 為個體位置向量；A、C為系數向量，且有如下定義:

A=2ar1-a

(18)

C=2r2

(19)

式中：r1和r2分別為[0，1]中的隨機向量，并且隨著迭代過程的進行；收斂因子a由2線性下降到0，表示為

(20)

式(20)中:t為當前迭代次數；Tmax為最大迭代次數。

(2)泡網攻擊階段。利用收縮包圍機制行為與螺旋更新位置模擬座頭鯨的兩種攻擊方式。①收縮包圍機制，通過降低收斂因子a的值來實現。由式(18)可知，A的波動范圍隨著a的減少而減少。②螺旋更新位置，計算隨機鯨魚個體的位置向量與目標獵物位置向量之間的距離，然后在鯨魚個體與目標獵物之間建立螺旋方程，其數學表達式如式(21)所示:

X(t+1)=D′eblcos(2πl)+X*(t)

(21)

式(21)中：D′=|X*(t)-X(t)|；b為常數，用來定義對數螺旋線形狀；l為[-1，1]中的隨機數。

為了同步實現座頭鯨收縮包圍機制與螺旋更新位置，假設座頭鯨在選擇這兩種模型的概率P相同。則數學模型可以表示為

(22)

式(22)中：P為0～1的隨機數。

(3)搜索獵物階段。為了增強算法的全局搜索能力，在初始階段，當|A|≥1時，根據隨機選擇的鯨魚位置向量更新獵物的位置，并利用隨機數原理進行初始化，其數學表達式為

D=|CXrand(t)-X(t)|

(23)

X(t+1)=Xrand(t)-AD

(24)

式中:Xrand(t)為隨機選擇的鯨魚的位置向量。

2.2 改進的鯨魚優化算法

針對基本鯨魚優化算法后期收斂速度慢、精度低以及尋優過程容易陷入局部最優等缺陷，引入云模型與自適應權重策略對算法進行改進。

2.2.1 引入云模型改進的鯨魚優化算法

為了平衡算法全局與局部搜索能力并提高收斂精度，引入云模型。其中，基于正態分布的正態云是云模型理論的重要部分[17]，正態分布應用于社會多個領域，是一種重要的概率分布理論。正態云模型的相應轉換由正態云發生器完成，包含三個參數:期望值Ex、熵值En和超熵值He。正態云模型的曲線函數為

(25)

式(25)中:x服從分布x～N[Ex，(E′n)2]，其數字特征如圖3所示。

圖3 正態云模型數字特征

引入云模型改進鯨魚優化算法，根據鯨魚個體的適應度調整收斂因子a的大小，進而動態調整系數向量A的大小。首先對鯨魚個體與目標獵物進行如下定義，設在第k次迭代的過程中，第i條鯨魚位置向量與目標獵物之間的距離表示為Xi(k)，將接近目標獵物的鯨魚個體適應度值表示為Xbetter(k)，遠離目標獵物的個體適應度值表示為Xworse(k)，將目標獵物的適應度值表示為X*(k)。因此在正態云模型之中有:

Ex=X*(k)

(26)

En=[Xbetter(k)-X*(k)]/b1

(27)

He=En/b2

(28)

式中：b1=b2=2。

若Xi(k)小于Xbetter(k)，則證明鯨魚個體在向最優解靠近，加快了局部收斂速度，此時收斂因子a=0；若Xi(k)小于Xworse(k)，則會擴大獵物搜索范圍，加強全局搜索能力，此時收斂因子a=2；若Xworse(k)

(29)

式(29)中：E′n=normrnd(En，He)。

2.2.2 引入自適應權重策略改進的鯨魚優化算法

針對標準鯨魚優化算法后期收斂速度慢等問題，引入自適應權重策略，在WOA的位置更新公式中引入自適應權重因子[18]，加快座頭鯨的包圍機制與螺旋更新位置，使鯨魚能夠快速尋得獵物的位置，進入提升算法整體的收斂速度與精度。自適應權重因子的表達式為

(30)

X(t+1)=ωX*(t)-AD， |A|<1，P<0.5

(31)

X(t+1)=ωXrand(t)-AD， |A|≥1，P<0.5

(32)

X(t+1)=D′eblcos(2πl)+(1-ω)X*(t)，P≥0.5

(33)

在進行迭代的過程中，自適應權重因子不斷增大，在包圍獵物與隨機搜索獵物階段，座頭鯨的搜索與包圍機制加快，能夠更快的識別獵物的位置信息；在螺旋更新位置機制中引入權重因子1-ω，使鯨魚在進行螺旋更新時能夠加快收縮速度，快速接近獵物。

2.3 云模型-自適應權重鯨魚優化算法實現步驟

通過引入云模型與自適應權重因子，得到改進的鯨魚優化算法(cloud model-adaptive weights WOA，CA-WOA)，具體實現步驟如表1所示。

表1 CA-WOA步驟

2.4 仿真實驗分析

在仿真實驗中，仿真軟件為MATLAB 2018a，采用經典測試函數進行實驗分析，測試函數如表2所示。算法參數設置:種群數量N=60，最大迭代次數Tmax=100，定義對數螺旋線形狀常數b=1。

表2 經典測試函數

對測試函數進行實驗仿真，分別利用改進的自適應粒子群算法(APSO)[19]、差分進化算法(DE)、人工蜂群算法(ABC)、標準鯨魚算法(WOA)、改進的CA-WOA進行實驗仿真， 仿真對比圖如圖4所示。

圖4 測試函數尋優迭代仿真圖

通過測試函數實驗仿真證明，改進的CA-WOA相比于其他四種算法，無論是單峰函數還是多峰函數，在全局搜索尋優過程中，都具有更高的收斂速度與精度，且性能最優，因此可將其用于斷路器優化模型中，具體對比結果如表3所示。

表3 測試函數仿真結果對比圖

3 斷路器優化設計

分別利用APSO、ABC、WOA、CA-WOA四種智能優化算法對兩種不同規格的觸頭彈簧進行小型化設計。

(1)設置彈簧A實驗參數:最大工作載荷Pmax=60 N，最小工作載荷量Pmin=30 N，彈簧絲直徑0.8 mm≤d≤4 mm，彈簧圈數5≤n≤15，彈簧中徑5 mm≤D≤30 mm，彈簧安全系數nF=1.2，載荷變化頻率fr=4 Hz，彈簧許用應力[τ]=500 MPa。

根據上述實驗參數以及彈簧約束條件，得到觸頭彈簧A的約束方程為

(34)

進行仿真實驗，仿真環境為MATLAB 2018a，得到彈簧A質量體積迭代尋優收斂曲線如圖5所示。

由圖5可知，隨著迭代過程的進行，斷路器彈簧A的參數不斷減小，且改進的CA-WOA相比于其他算法性能最優，在迭代次數為99次時，得到質量最優值0.008 027 kg，在體積尋優圖中[圖5(b)]，迭代到85次時，得到的體積最優值為2.553×10-6m3，在綜合函數尋優圖[圖5(c)]中，迭代次數為85次時。達到的最優適應度值為0.016 78。

圖5 彈簧A的迭代尋優圖

(2) 設置彈簧B實驗參數:最大工作載荷Pmax=40 N，最小工作載荷量Pmin=20 N，彈簧絲直徑0.5 mm≤d≤2.5 mm，彈簧圈數10≤n≤25，彈簧中徑3 mm≤D≤15 mm，彈簧安全系數nF=1.2，載荷變化頻率fr=3Hz，彈簧許用應力[τ]=500 MPa。

根據上述實驗參數以及彈簧約束條件，得到觸頭彈簧B的約束方程為

(35)

由圖6可知，隨著迭代過程的進行，斷路器彈簧B的參數同樣在不斷減小，且改進的CA-WOA性能最優，在迭代次數為84次時，得到質量最優值0.001 626 kg，在體積尋優圖中，迭代到90次時，得到的體積最優值為1.426×10-7m3，在綜合函數尋優圖中，迭代次數為83次時,達到的最優適應度值為0.001 537。

圖6 彈簧B的迭代尋優圖

智能優化算法對觸頭彈簧參數的優化具有很好的效果，迭代尋優得到的最小質量與體積值對應的觸頭彈簧參數如表4所示。

由表4可知，改進的鯨魚優化算法相比于其他算法設計的觸頭彈簧參數最優。以彈簧A參數為例，CA-WOA下的彈簧絲直徑相比于APSO、ABC、WOA算法減小了0.07、0.03、0.01 mm；彈簧有效圈數相比于APSO算法減小了0.2圈；彈簧中徑相比于其他算法分別減少了0.26、0.26、0.15 mm。因此，改進的CA-WOA對斷路器觸頭彈簧優化設計是可行的，在保證低壓斷路器穩定工作的情況下，實現觸頭彈簧的質量體積最優，達到低壓斷路器的小型化目標，并且能夠提高低壓斷路器的產品質量與設計效率。

表4 斷路器觸頭彈簧設計參數

4 結論

提出一種改進的鯨魚優化算法，并將改進的算法應用于斷路器小型化設計中。

(1)在基本鯨魚優化算法中引入云模型，提高鯨魚群的搜索尋優能力，避免算法陷入局部最優，然后引入自適應權重因子，對鯨魚位置更新公式進行改進，加快了算法的收斂速度與精度。分別利用經典單峰函數與多峰函數仿真實驗證明，改進的CA-WOA相比于其他算法具有更優的收斂速度與精度。

(2)為了解決低壓斷路器觸頭彈簧結構設計不合理而導致斷路器尺寸過大、分斷性能差的問題，結合彈簧約束條件，對觸頭彈簧進行優化建模，構建低壓斷路器小型化數學模型。利用改進的CA-WOA對模型進行迭代尋優。試驗結果表明，CA-WOA相比于其他算法設計的觸頭彈簧參數最優。

改進的鯨魚優化算法得到的觸頭彈簧質量體積更小，并且可靠性更高，有效降低了觸頭彈簧的機械磨損，對提高低壓斷路器的產品質量與工作效率具有重要意義。