基于有界干擾Hammerstein模型的化工過程的預測控制

胡本源， 彭 珂， 董宏光， 王克峰

(大連理工大學化工系統工程研究所， 大連 116024)

模型預測控制(model predictive control， MPC)因其能夠處理復雜多變量約束優化控制問題的特點，已經成為最具代表性的先進控制算法之一，廣泛地應用于化工、煉油等許多過程控制領域[1-4]。目前，在預測控制中多數工業過程系統采用線性模型進行預測和優化，然而在實際中未建模的動態模型、非線性、外部干擾等因素不可避免地存在于這些控制系統中，這無疑限制了線性預測控制的應用。所以針對這些問題非線性 MPC算法的研究和應用越來越受到重視[5-6]。

工業過程的非線性通常可以利用局部線性化方法或建模成具有某種特定結構的非線性函數來處理。其中，Hammerstein模型是一類由靜態非線性輸入函數和動態線性模型串聯組成的非線性系統。該模型可以用來描述pH中和、空氣分離、聚烯烴牌號切換等化工過程的非線性特性[7-9]。因此，基于Hammerstein模型的非線性 MPC方法在學術界和工業界得到了很多研究[10-14]。文獻[10]為優化問題提供一組凸優化松弛條件，其中代價函數和約束可分別表示成優化變量的函數和其非線性函數。在文獻[11]中，預測輸出軌跡在線線性化，通過求解二次規劃問題得到控制作用。為了準確的近似，此線性化和優化需要迭代進行。文獻[12]考慮多模型預測控制，提出一種基于夾角的自調整分解方法。利用此方法和線性模型可逼近Hammerstein系統。與這些非線性MPC控制策略不同，兩步法MPC首先用一個無約束的線性MPC計算期望中間變量(控制律)，然后求解非線性代數方程和采用解飽和方法來計算實際滿足約束的控制輸入。因此，兩步法MPC的優點是計算量較小，很適合實際系統的在線建模。文獻[13]對輸入飽和Hammerstein模型提出一種兩步法MPC方法。文獻[14]針對干擾Hammerstein系統采用二次范數有界技術表征系統穩定性。中間控制變量通過求解Riccati迭代方程取得。文獻[15]考慮具有狀態和控制約束的有界未知擾動Hammerstein模型， 提出一種具有輸入到狀態穩定和有限L2增益性能的魯棒非線性模型預測控制策略。

聚烯烴牌號切換是聚合裝置從一種穩態切換到另一種穩態的過程[16-17]。它通常可用Hammerstein系統表述并涉及裝置多個控制輸入量的調整。上述的文獻假設系統狀態已知，然而在實際生產中，狀態往往無法完全可測，而且普遍存在不確定性擾動，因此以此為背景，研究具有約束和未知干擾的多變量Hammerstein系統的非線性MPC控制方法。由于存在的干擾是未知的，這樣就使得預測模型不再準確。為了保證穩定性，本文中研究的魯棒MPC控制算法做了所有可能值的預測，從集合包含的角度，預測包含真實值。該方法采用兩步法策略，第一步考慮到實際生產中系統狀態往往不可測，所以對無約束受干擾的線性模型應用魯棒輸出反饋MPC方法計算中間變量，其中引入二次有界技術處理外部有界干擾，并設計估計誤差界的在線更新公式來保證優化問題的遞推可行性。第二步通過求解非線性代數方程和采用解飽和的方法得到最終的控制輸入，同時保證輸入約束滿足，使閉環系統魯棒穩定。

1 系統描述

考慮一非線性系統可被如下的離散時間多變量 Hammerstein模型描述:

(1)

式(1)中：x∈Rn，u∈Rm，y∈Rp，v∈Rm和w∈Rq分別為系統的不可測的狀態向量、控制輸入、輸出向量、中間變量和不確定的有界外部擾動,其中Rn為n維歐式空間;k為采樣時間;擾動滿足‖w(k)‖≤1。本方法適用于模型(1)中的A、B、C、D、E為已知的常數矩陣且{A，B，C}是一致可控且可觀。非線性函數φ(·)用來描述控制輸入和中間變量之間的靜態非線性環節，且有φ(0)=0。Hammerstein模型結構如圖1所示。

圖1 Hammerstein模型結構圖

令φ=f°sat，其中f° sat為復合函數，f為可逆的靜態非線性函數，sat表示控制輸入的飽和約束，即

(2)

MPC的控制目標是針對多變量約束系統模型(1)，設計預測控制器，使閉環系統在外部持續不確定擾動下，仍然可以保持系統魯棒穩定，同時控制輸入滿足相應的約束。

2 魯棒MPC策略

考慮式(1)線性模型

(3)

設計如下Luenberger觀測器:

(4)

(5)

注意到通過MPC方法得到的中間變量可能無法準確通過控制輸入u(k)執行，這是因為在求解非線性方程和解飽和作用過程都存在誤差[18]，所以引入期望中間變量v(k)。那么實際的控制輸入設為

u(k)=g[v(k)]

(6)

式(6)中:g(·)為φ(·)的可逆部分(或是近似可逆)。由式(1)和式(6)得v(k)=φ[u(k)]=φ°g[v(k)]。假設φ°g=1來消除輸入非線性，不考慮φ中的不確定影響。

2.1 離線估計器設計

e(k+1)=(A-LC)e(k)+(D-LE)w(k)

(7)

Ve(k)≥‖w(k)‖?Ve(k+1)-Ve(k)

(8)

(9)

(10)

根據Schur補引理，式(10)由如下不等式保證:

(11)

(12)

成立，那么e(k)將收斂到原點的鄰域εTe并且以后都屬于該鄰域。

2.2 二次有界性條件

(13)

對于k≥0，v(k)可由式(14)計算得到?；谑?4)的作用，擴展系統(13)的閉環預測模型為

(14)

根據前述的魯棒控制目標，設計經典min-max優化問題來最小化代價函數的上界，即

(15)

式(15)中:代價函數J∞(k)定義為

(16)

V(i|k)≥γ?V(i+1|k)-V(i|k)≤

(17)

將式(17)從i=0加到∞,得到J∞(k)≤V(0|k)-V(∞|k)≤V(0|k)。如果令

V(0|k)≤γ

(18)

標量γ>0 可作為代價函數J∞(k)的上界。為保證閉環系統的穩定性，優化問題式(15)進一步化為

(19)

(20)

證明:由于‖w(k+i)‖≤1，i≥0，將式(14)代入式(17)，那么二次有界性條件等價于

(21)

應用S-procedure方法，當且僅當存在一個標量ρ>0使得(為書寫簡便，省略時間標識)：

(22)

(23)

(24)

需要注意的是估計誤差e(k)是不確定的，所以需轉而研究e(k)的界以代替e(k)本身。假設e(k)屬于下列集合:

e(k)∈E(k)={e∈Rn|e(k)TH(k)·

e(k)≤1}

(25)

式(25)中:為了保證優化問題的地推可行性，H(k)在線計算公式可設計為

(26)

e(0|k)≤1

(27)

(28)

綜合上述的分析，優化問題(19)最終可表示為

(29)

定理1假設優化問題式(29)在初始采樣時刻k=0是可行的，那么在所有未來時刻k>0，優化問題式(29)都是遞推可行的，同時閉環系統也是魯棒穩定的。

定義李雅普諾夫函數γ*(k)，并選擇一個候選函數γ-(k+1)=γ*(k)。由于優化問題式(29)在采樣時刻k≥0都是遞推可行的，得到γ*(k+1)≤γ-(k+1)， 進一步有γ*(k+1)≤γ*(k)。所以可以得出結論隨著k時刻的增加，γ*(k)將會收斂，即閉環系統是魯棒穩定性的。

2.3 實際控制輸入

(30)

這樣使得輸入約束能夠滿足。需要注意的是本文中直接用期望中間變量來計算實際控制輸入，沒有充分考慮整個設計過程帶來的誤差。

下面給出MPC算法的實施步驟。

步驟2選擇合適的α，根據式(12)找到Te、Ye，從而計算出L。

步驟3對于采樣時刻k≥0， 求解優化問題[式(29)]計算魯棒反饋律F(k)， 進一步得到中間變量v(k)；根據式(26)更新H(k+1)。

步驟5令k=k+1，轉到步驟3。

3 實例仿真

聚丙烯雙環管工藝采用液相預聚合、液相本體均聚和/或氣相共聚相結合的方式生產丙烯均聚和/或共聚牌號產品，其聚合單元如圖2所示。聚合反應過程的原理可參考文獻[19]。聚丙烯牌號切換是聚合裝置從一種穩態切換到另一種穩態的過程，如果切換時間越長不合格的產品就越多，經濟損失也就越大。在實際生產中，均相聚丙烯(均聚物)的牌號一般用熔融指數(MI)，而共相聚丙烯(共聚物)的牌號用MI和乙烯含量Et來描述。假設環管反應器為連續攪拌反應器，根據丙烯聚合反應機理，建立牌號切換過程的質量指數狀態空間模型:

圖2 雙管聚丙烯工藝聚合單元原理圖

(31)

(32)

式(32)中：常數τ為聚合物平均停留時間(τ=2 h);MIc和Etc分別為聚合物的累積熔融指數和累積乙烯含量；MIi和Eti分別為聚合物的瞬時熔融指數和瞬時乙烯含量；T、CH2、Cm和Cm2分別為反應器里的溫度、氫氣濃度、丙烯濃度和乙烯濃度；模型K1，K2，…，K6和r1，r2，…，r6一般都隨著牌號變化。

由于累積熔融指數和累積乙烯含量通過離線化驗或利用軟測量技術獲得，所以不可避免存在著誤差，設測量誤差范圍是±10%，并將誤差看作模型(31)的外部干擾，即w=[w1，w2]T=[ω1lgMIc，ω2Etc]T，-0.1≤ω1，ω2≤0.1。那么基于式(31)和式(32)，變化過程的動態方程為

(33)

設控制周期Ts=0.5 h，可以得到離散時間狀態方程為

(34)

根據線性理論，容易驗證模型[式(34)]可控且可觀。在仿真中，選擇均聚牌號A、B和無規共聚牌號C及切換順序A→B→C，切換控制組態采用雙層控制結構[19]，MPC控制器位于上層用來計算穩態目標作為下層回路控制器的設定值。底層控制一般采用比例積分微分(proportional-integral-derivative， PID)控制器直接控制生產過程回路?，F不考慮A、B生產工藝中的乙烯輸入量。牌號規格及切換約束如表1所示。

表1 三種牌號規格切換過程約束

假設生產裝置在第15小時進行切換A→B，在第35小時再次進行切換B→C，控制結果如圖3～圖5所示，圖3為牌號切換過程中累計質量變化曲線，圖4是瞬時質量變化曲線，圖5為控制輸入曲線。表2表示在魯棒MPC控制下牌號切換過程的過渡時間。表3給出了各個控制量的偏差平方和，此性能指標有關于底層PID器的平穩運行。如果切換目標牌號的合格檢驗標準是聚丙烯物性規格指標5%，那么仿真圖表明盡管存在不確定測量誤差的影響， 但在均聚牌號A、B和無規共聚牌號C的兩次切換過程中，共聚物MI和乙烯含量Et都能從生產牌號的合格品區進入廢料生產區， 并最終進入目標牌號的合格品區， 同時在整個運行過程中控制輸入亦能滿足相應的約束。

表3 控制量偏差平方和

圖3 累計質量曲線

圖4 瞬時質量曲線

圖5 切換過程控制曲線

4 結論

針對具有輸入約束和干擾的Hammerstein模型，提出一種兩步法預測控制策略。第一步對無約束受干擾的線性模型采用魯棒輸出反饋預測控制方法來計算中間變量，首先設計離線觀測器增益，再引入二次有界技術處理外部有界干擾，并設計估計誤差界的在線更新公式。第二步通過求解非線性代數方程和解飽和的方法得到能保證約束滿足的控制輸入。本文中提出的控制策略經過實驗驗證能夠保證優化問題的遞推可行性和閉環系統的魯棒穩定性。